广东省汕头某校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中考试参考答案 高二 数学 命题人:曹祖志 林海观 命题时间:2024.10.14 选择题 题号 10 11 答案 BD BCD ABD 二、填空题 0 12.【答案】16 13.【答案】 14.【答案】 5 [5.52] 【部分详解】 2.【答案】A [a(a+2)-3 【详解】直线ax+3y-4=0与x+(a+2)y+2=0平行,则 2a-4 ,解得a=-3或a=1,所以命题>等价于 a=-3或a=1,命题q:a=-3. 则由命题?不能得到命题,但由命题C可得到命题P,则C是P的充分不必要条件,故选:A. 3.【答案】C 【详解】 取BC的中点G,连接AG 因为点N是△ABC的重心,所以 AN-AG=2x(A+A)=(A+AB) 所以 MN=MA+AN=SA+ (AC+A)= SA+ (S-$A+SB-$ A =-1sA+1 B+1SC=-+15+1 故选:C 4.【答案】D 【详解】由向量3共面,有=x+ 即③3.m)=x(1.-1-2)+y(123) 高二数学科第1页(共10页) $$x+ y=3$ -$+2y=3$ 故 -2x+3y=m m=4 故选:D. 5.【答案】C 1<1--<oa(1-a)<0,所以则a<0或a>1,故A正确; 【详解】选项A: a 选项B: 不等式取不到等号,最小值要大于2/2,故C错误 选项D,可令-sinr,e[0.]. 则y=sin+cost- sn(+)、0.-##[#3# sin[4) [#, 故D正确。 故选:C. 6.【答案】B 【详解】对A,正方体中A.B/DC,且A.B=DC,故平行四边形A.B.CD,故A.DlIBC,易得正aACB, 故异面直线A.D与AB所成的角为直线B.C与AB所成的角为乙AB.C=60,故A正确; 对B,因为A.D1BC,CD1平面AA.DD,故CD1A.D,又CD.BCC平面BC.D,故4.D1平面BC.D 因为BDc平面BCD,故直线4.D与BD.垂直,故B错误; 对C,因为正方形BCCB,故直线BC与BC垂直,又A.DlIB.C,故A.D与BC垂直,故C正确 对D,由A可知平行四边形A.BCD,故A.DlIBC,D正确; 故选:B 7.【答案】D 【详解】三校锥P-ABC中,PA BC 4.PB=AC=5,PC=AB=1]. 构造长方体,使得面上的对角线长分别为4,5, 则长方体的对角线长等于三梭锥P-ABC外接球的直径,如图, 设长方体的梭长分别为x,y,2,则x+y}=16,y+2=25,r+:=11,则 r2+y{+z2=26 因此三校锥P-ABC外接球的直径为26 B 2& 高二数学科第2页(共10页) 8.【答案】B 【详解】设球的半径为R(R>0),记正方形ABCD中心为O 因为ABCD为正方形,直线PO经过球心,且PQ1平面ABCD 所以PQ过点o且PQ的中点为球心 设球心为G,以O为原点,OB、OC.OP分别为x,y,2轴正半轴,建立空间直角坐标系O一xyz 设$A=OB=OC=OD=rr→0),G(o.0.t)(-R<t<R) 则Ao.-r0),Br.0.0),P(o.0.R+t).Q(o.0.R-t) 所以PA-(o,-r-R-t)B-(r0.t-R) A ,'G B 所以PA·B--(t+R)(t-R)-R-t2 所以PA--2+(R+t){},oB-rP2+(R-t){②}, 又。G2+0B-R2,即t*+r2-R2. r24(R+t){xr+(R-t) 2Rn- 当且仅当t一0时等号成立, 设直线PAQB所成的角为a,则cosa=cos(PAQB】<3 又0。<a<90。,所以8min=60。. 故选:A. 9.【答案】BD 【详解】对于A,当y=0时,x=1,即直线l:2x+y-2=0在x轴上的截距为1,A正确 对于B,由AB<0.BC<0,得直线Ax+By+C=0的斜率->0,纵截距->0 因此直线Ax+By+C-0不经过第四象限,B错误; 对于C,直线kx-y-2k+1=0,即k{x-2--1)=0恒过定点(②.1).C正确 对于D,方程y-4=kx-3不能表示平面内过点34垂直于x的直线,D错误 故选:BD 10.【答案】BCD 【解答过程】对A,:n=-2+2-0 所以l//或/ca,A错误; 对B,n=-6+8-2-0,所以1B,B正确; 对C,利用反证法的思想. 假设+55+22+三个向量共面, 则+-x(+)+y(+) 所以 高二数学科第3页(共10页) (1-)=(x-1)+(x+y) 若y=1,则{x-1)+(x+1)]-,则→共线,与[35)是空间的一组基底矛盾; 若y≠1,则=+{之,则5.→共面,与{36]是空间的组基底矛盾; 所以假设不成立,即+5.5+2+不共面,所以[a+5+.2+a]也是空间的一组基底,C正确; 对D,因为P为平面ABC上的一点,所以P.AB.C四点共面, 则由共面定理以及P=oA+mB-no(n. mER)可得,+m-=1' ,所以m-n-,D正确;故 选BCD 11.【答案】ABD 【详解】当x>0,y>0时,曲线方程可化为x2+y2=2x+2y, 即(x-1)2+(y-1)②}-2,是以(1.1)为圆心,2为半径的圆在第一象限的半圆, 同理可作出其他象限内的图象,且(0.0)在曲线C上,如图所示 A选项:曲线C围成的图形的周长为4xπx2=42n,A正确; B选项:曲线C围城的图形有4条对称轴,分别是直线x=0,y=0,y=x,y=-x,B错误; C选项:T(a.b)到直线4x+3y-18=0的距离为d-+3b-1. 且点(1.1)到直线4x+3y-18-0的距离为, 由圆的性质,曲线c上任意一点到直线4x+3y-18=0的距离最小值为-2,即d>-$ 所以l4a+3b-18|的最小值是11-52,c正确: D选项:综上,易知曲线上任意两点间的距离最大值为42<6,D正确; 故选:ABD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.【答案】16 高二数学科第4页(共10页) 【详解】因为向量a=(1.m.n).b=(m2n.32),且3/. $所以m≠0,n幸0,==,解得m=2n=。 所以mn=16故答案为:16 10 13.【答案】 5 【详解】如图,连接BC1,则BC1llAD1,:乙MBC1为异面直线AD1与BM所成角 在正四校柱AC1中,由AB=2,A1A=4,M为A1A的中点 得BM-22,BC-25,MC-2+(22)=23 (22)+(25)-(23)10 在△MBC1中,由余弦定理得:cos乙MBC1= 故答案为0 2x22x25 5 14.【答案】[5.52] 【详解】由题意可知,动直线x十2+m(y-7)=0,经过定点A(-2.7). 动直线mx-y-m+3=0即m(x-1)-y+3=0,经过定点B(13). “m:0时,动直线x+2+m(y-7)=0和动直线mx-y-m+3=0的斜率之积为-1. m=0时,也垂直, 所以两直线始终垂直,又P是两条直线的交点 :PA1PB: .|A^②}+PB^}-^{AB{-(-2-1){2}+(7-3){}-25. 设 ABP=,则|PA=5sin,|PB|=5cos 由PA>0且|PB>0,可得E[0.-]. .PA+PB|=5(sin+cos)=52sin(e+). :8E[0], :θ+E[]. . sin(+)[2. .52sin(8+)E[5521. 故答案为:[5.52]. 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 [3x+y-9=0 高二数学科第5页(共10页) 所以直线l:3x+y-9=0和l:2x-y-1=0的交点P(2.3) 2分 因为直线1与直线x+2y-1-0平行,故可设直线l:x+2y+c1=0. 又直线/过点P,则2+6十C1=0,解得C.=-8 即直线]的方程为x+2y-8-0. (2)设所求圆的标准方程为(x-a)2}+(y-b){}-r2 -.7分 直线l:3x+y-9-0的斜率为-3,故直线CP的斜率%$}$ ((-2-a)②+(5-b)2=r2 (a=-1 (2-a)②+(3-b)2-r2 由题意可得 12分 故所求圆的标准方程为(x+1){+(-2){}-10 8 8 (2)由题意可知在4.6)6.8).8.10中的总人数为(0.125+0.1875+0.0625)x2x24=18人; ............ 18 所以在[4.6)[6.8),[8.10l分别抽取4人,6人,2人, .......8分.. (3)由题图可知,答对题数在[4,6)中有6人,分别设为a,b,C,d,,f, 答对题数在[2,4)中有3人,分别设为8,,1, .9分 从答对题数在[2,6内的人中随机抽取2人的情况有 (),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(a,g),(a,h),(a,i),(b,c),(b.d),(b.e),(b,f),(b,g),(b,h), (b.i),(c,d),(c,e),(c,f),(c,g),(c,h),(c,i),(d,e),(a,f),(d,g),(d,h),(d,i),(e,f),(e,g). (e.h),(e,i),(f,g),(f,h),(f.i),(g,h),(g,i),(h,i), 共有36种... ......分. 恰有1人答对题数在[2,4)内的情况有 (a,g),(a,h),(a,i),(b,g),(b.h),(b,ì),(c,g),(c、h),(c,í),(d,g),(d,h),(d,i),(e,g),(e,h). 高二数学科第6页(共10页) (e.i),[f,g],[f.b),(f,i),共有18种 13分 362.. #) 2+c2-b2 由余弦定理cosB= 2ac b*+c2-a2、3 .2分 2 3 2 3 又$-besinA,6*+c3-a}=2becco A, 2 因此bccosA= 6分 6 a 23 -4 3 即b=4sinB.c=4sinC. 2 2 =4V3(## 2 2. ##_0# 又&ABC是锐角三角形,则有 0 66 ...-...........................-......................... .14分 所以s的取值范围是(23,33] .15分 18.【解答过程】(1)连接AC :在直四柱ABCD-ABCD中AA 1平面ABCD,AC,BCC平面ABCD:AA1AC·AA1BC. 3分 高二数学科第7页(共10页) C=3A1'AC-ACc2-A}-2、2' "AB=BC=2':AC{②}-BC^②+AB2 :BC1AB .6分 :AAABC平面ABBAAAOAB=A·BCI平面ABBA 分 (2)在直四梭柱ABCD-A.BCD.中,BB1平面ABCD,BC1AB,可得AB.BC.BB两两之间互相垂直 以B为原点,以BA·BC,BB.所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 如图所示,则A(2.0.0)·C(0.2.0)·D(1.2.0):A(2.0.1); AA=(0.0.1)·DA=(1.-21)' 。 DC-(-1.0.0) -.......1... 设=(xy.2)为平面AA.D的一个法向量,则{ AA.-z-0 A-x-2y+z=0 令x-2,得n-(21.0). ..12分 设=(a.b.c)为平面ADC的一个法向量,则f D.--a-0 DA.-a-2b+c=0 令c-2,得m=(0.1.2) -....14分 设平面AA.D与平面A.DC的夹角为,且由图可得为锐角. ##eoeco(-n)一二一_{ ..16分 故平面AA.D与平面A.DC夹角的余弦值为{} .........1.分. 19.【详解】(1)如图所示 设直线l:y=kx-1. 高二数学科第8页(共10页) 分 又直线/与线段AB: OB均相交. $则$k$ $ks$$==$ 直线AB方程为y=1, 直线OB方程为y=X, 7 分 (y=kx-1 $-2} 联立 y=1 ,解得 y=1 ,即M(}1) 4分 $x- [$y=kx-1 联立 解得·即N(); y=x 6分 8分 10分 所以△OMN的面积S=+1ON|·=*= 11分 (3)由(2)得$,# 设t=k-2>0,即k=$+$$ .12分 #S, (t+2)(t+2) 分 又t+>2. 当且仅当t-、2时等号成立, 分 一,当且仅当k=2+2时等号成立, 16分 即当k=2+2时,s取最大值为-2 17 分 高二数学科第9页(共10页) 高二数学科第10页(共10页) 2024-2025学年度第一学期期中考试 高二 数学 命题时间：2024.10.14 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．直线的倾斜角是（    ） A．150° B．90° C．60° D．30° 2．已知命题：直线与平行，命题，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知三棱锥，点是棱的中点，点是的重心，设，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 4．在空间中，若向量，，共面，则（    ） A．-3 B．-6 C．2 D．4 5．下列说法错误的是（    ） A．若，则或 B．若，，且，则的最小值为4 C．若，则的最小值为 D．函数的值域为 6．如图正方体的棱长为a，以下结论中，错误的是（    ） A． 异面直线与所成的角为 B．直线与平行 C．直线与垂直 D．直线与平行 7．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知点A，B，C，D，P，Q都在同一个球面上，为正方形，若直线PQ经过球心，且平面.则异面直线所成的角的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论不正确的有（   ） A．直线在x轴上的截距为1 B．如果，那么直线不经过第三象限 C．直线恒过定点(2,1) D．方程可以表示平面内所有过点(3,4)的直线 10．（5分）（2023上·河北石家庄·高二校考期中）下列给出的命题正确的是（    ） A．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B．两个不重合的平面的法向量分别是，则 C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D．已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且，则 11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（   ） A．曲线C围成的图形的周长是 B． 曲线C围成的图形有6条对称轴 C．若T(a,b) 是曲线C上任意一点，的最小值是 D．曲线C上的任意两点间的距离不超过6 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若，则 ． 13．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB＝2，A1A＝4，M为A1A的中点，则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为 ． 14．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题13分）已知两直线和的交点为． (1)若直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程； (2)若圆过点且与相切于点，求圆的标准方程． 16．（本题15分）为了解某年级学生对《居民家庭用电配置》的了解情况，校有关部门在该年级进行了一次问卷调查(共10道题)，从该年级学生中随机抽取24人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]五组，得到如下频率分布直方图. （1）估计这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； （2）用分层随机抽样的方法从[4，6)，[6，8)，[8，10]的组别中共抽取12人，分别求出抽取的三个组别的人数； （3）若从答对题数在[2，6)内的人中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2，4)内的概率. 17．（本题15分）在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b，c，其面积为S，且． (1)求角A的大小； (2)若，求S的取值范围． 18．（本题17分）如图，在直四棱柱中，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 19．（本题17分）已知点、，设过点的直线与的边交于点（其中点异于、两点），与边交于（其中点异于、两点），若设直线的斜率为. (1)试用来表示点和的坐标； (2)求的面积关于直线的斜率的函数关系式； (3)当为何值时，取得最大值？并求此最大值. 高二数学科第 3 页 （共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$