两直线的位置关系专题练-2025届高考数学一轮复习备考

两直线的位置关系 一、单选题 1．点为直线上不同的两点，则直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．不确定 2．如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（    ）    A．， B．， C．， D．， 3．已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A．存在，使得 B．当时， C．当时， D．对任意的，都有 4．已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 5．一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知角，角的顶点均为坐标原点，始边均与轴的非负半轴重合，终边分别过，则（    ） A．或 B．2或 C． D． 7．已知，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 8．已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 二、多选题 9．已加点P是圆上的一点．直线与直线交于点M．则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与圆O相切 C．直线被圆O截得的弦长为 D．的最小值为 10．过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线、，切点为、、不重合，设直线、分别与y轴交于点A、B，则（    ） A．、两点的纵坐标之积为定值 B．直线的斜率为定值 C．线段AB的长度为定值 D．面积的取值范围为 11．已知直线的方程为为原点，则（    ） A．若，则点一定不在直线上 B．若点在直线上，则 C．直线上存在定点 D．存在无数个点总不在直线上 12．已知直线和三点，，，过点C的直线与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点．下列结论正确的是（     ） A．P在直线l上，则的最小值为 B．直线l上一点使最大 C．当最小时的方程是 D．当最小时的方程是 三、填空题 13．已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为 . 14．点在直线上的射影是点，则直线关于直线对称的直线方程为 ． 15．已知点，点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，则的最大值为 . 16．已知直线，则点到直线的距离的最大值为 . 四、解答题 17．已知中，，边上的高线方程为，角A平分线方程为，求，边所在直线方程． 18．已知直线：． (1)若直线m与平行，且m，之间的距离为，求m的方程； (2)P为上一点，点，，求取得最大值时点P的坐标． 19．过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线． (1)已知直线：，直线：，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由． (2)在中，为坐标原点，点与点均在第一象限，且点在二次函数的图象上．若直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标． (3)已知直线与是定积直线，设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围． 参考答案： 1．A 由点为直线上不同的两点， 则直线与直线的斜率存在时一定为， 可以把这两个斜率看成直线上两点到原点的斜率的倒数， 由已知可得，则，即两直线不可能平行与重合，则只能相交; 若直线与直线的斜率有一个不存在，则另一个斜率必存在，也能判定两直线相交； 2．C 作关于轴的对称点， 作关于的对称点， 连接交轴于，交于，所以， 此时周长最小，即， 由，直线方程为，所以，解得， 所以，可得直线方程为，即， 由，解得，所以， 令可，所以.    3．D 对于A，表示过定点，且斜率不为的直线， 集合表示直线上所有的点，，A错误； 对于B，当时，，， 由得：，，B错误； 对于C，当时，，满足； 当，即时，直线与平行， ，解得：； 综上所述：当时，或，C错误； 对于D，若，则且直线与重合， ，方程组无解，，D正确. 4．D 设，则， 所以 ， 而可看做轴上动点与两定点的距离和，如图，    由图可知当运动到时，最小，最小值为， 所以的最小值为. 5．B 设点关于直线的对称点为， 则，化简得，解得， 故反射光线过点， 则反射光线所在直线的方程为. 6．D 记为坐标原点，因为，所以， 所以点，均在以原点为圆心为半径的圆上. 连接，取的中点，连接，则， 不妨设，则， 所以. 7．B 如图，过点作点关于线段的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设，则，所以， 又，所以点到轴的距离为， 所以，可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，过点作轴，显然有，当且仅当三点共线时，和有最小值. 则即为最小值，与线段的交点，即为最小值时的位置. 因为，所以的最小值为. 8．D 由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 9．ABD 由题意可知：圆的圆心，半径为3， 因为，所以，故A正确； 圆心O到的距离为，所以与圆O相切，故B正确； 圆心O到直线的距离为，所以弦长为，故C错误； 由，得，即， 所以，所以的最小值为，故D正确． 10．BCD 由函数，则， 设，， 当，时，由题意可得，，化简可得，符合题意； 当时，由题意可得，，化简可得，显然不成立； 当时，由题意可得，，化简可得，显然不成立； 对于A，，故A错误； 对于B，直线的斜率，故B正确； 对于C，易知直线，直线， 令，则，即，同理可得， ，故C正确； 对于D，联立，整理可得，解得， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增，则当时，， 所以，，故D正确. 11．BD 到直线的距离为，所以与圆相切， 因此选项A错误，B正确，D正确； 由可得，，若直线存在定点， 则，这样的不存在，因此直线上不存在定点，选项C错误. 12．BC 对于A：设点关于直线l的对称点为， 则，解得 ， 当三点共线时取最小值.A错误； 对于B：，当三点共线时取最大值， 又，即， 联立，解得， 即直线l上一点使最大，B正确； 对于C：设， 当时，，当时，， 即， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，即，C正确； 对于D：， 当且仅当，即时等号成立， 此时，即，D错误. 13． 因为直线与直线和的交点分别为， 设， 因为点是线段的中点，由中点公式可得， 解得，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 14． 由已知可得，解得， 即为. 因为直线与直线平行， 可知所求直线与直线平行，设为， 则，解得或（舍去）， 所以所求直线方程为. 故答案为：. 15． 由圆，可得圆心，半径为， 又由点，可得点在直线上的动点， 因为点O是坐标原点，点Q是圆上的动点， 则， 如图所示，设点关于直线的对称点为， 可得，解得，即， 设直线与直线的交点为， 则直线的方程为，联立方程组，解得， 即，则， 当点与重合时，此时，则， 此时取得最大值，最大值为， 所以，即的最大值为. 故答案为：. 16． 直线，即， 由,解得，，所以直线恒过定点， 当直线l与直线AP垂直时，点到直线的距离的最大，    最大值为， 所以点到直线的距离的最大值为， 故答案为： 17．：，： 因为边上的高线所在直线的方程为， 则，．边所在直线方程为． 即． 的平分线所在直线方程为，则与关于轴对称，设． 又点在直线上，，．， 点的坐标为． 直线方程为：．即， 又与关于轴对称， 所以直线的方程为， 所以直线的方程为：，直线的方程为：．    18．(1)或； (2). （1）由直线m与平行，设直线m的方程为， 由m，之间的距离为，得，解得或， 所以直线m的方程为或. （2）设点关于直线：的对称点为， 则，解得，即， 而，当且仅当三点共线时取等号， 直线的方程为，即， 由，解得，点， 所以取得最大值时点P的坐标.    19．(1)存在，理由见解析 (2) (3) （1）存在点，使得，是定积直线，理由如下： 由题意可得， 由，解得， 故存在点，使得，是定积直线，且． （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的斜率为． 依题意得，得，即或． 直线的方程为，因为点在直线上，所以． 因为点在第一象限，所以，解得或（舍去），，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 由，得，即点的坐标为． （3）设直线，直线，其中， 则 ， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，故的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$