精品解析：辽宁省锦州市第十八中学2024-—2025学年上学期九年级期中考试数学试题

辽宁省织锦州市第十八中学2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 考生注意：请在答题卡各题目规定区域内作答，答在本试卷上无效 一、选择题（本题包括10道小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的选项） 1. 已知，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，可判断A、B；根据合比性质，可判断C、D． 【详解】A、有无数个值，故A错误，符合题意； B、由比例的性质，得，故B正确，不符合题意； C、由合比性质，得，故C正确，不符合题意； D、由合比性质，得，故D正确，不符合题意； 故选：A． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数并且未知数的最高次数为2的整式方程”进行求解即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，故符合题意； B、不是一元二次方程，故不符合题意； C、当时，不是一元二次方程，故不符合题意； D、不是一元二次方程，故不符合题意； 故选A． 3. 小颖在学习“花边有多宽”时，对一元二次方程的根做了如下估计：由她所列表格的数据可知，此方程的一个根为（ ）． 0 1 2 3 40 18 4 4 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；因此此题可根据表格直接进行求解． 【详解】解：由表格可知：当时，则；所以一元二次方程的一个根为1； 故选B． 4. 将不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形各边向外平移1个单位并适当延长，得到下列图形，变化前后的两个图形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似多边形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案． 【详解】解：A、两个不等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故A选项不符合题意； B、两个等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合题意； C、两个正方形形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合题意； D、两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查相似多边形的定义，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键，相似多边形的对应角相等，对应边成比例． 5. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）． A. 函数图象经过点 B. 函数图象位于第一、三象限 C. 当时， D. 随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据反比例函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：A、令，则，所以函数图象不经过点，故错误； B、由可知该反比例函数的图象位于第二、四象限，故错误； C、由可知：该函数在每一个象限内，y随x的增大而增大，所以当时，，故正确； D、由可知：该函数在每一个象限内，y随x的增大而增大，故错误； 故选C． 6. 如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（ ）． A. ①表示有一组邻角相等 B. ②表示有一组邻边相等 C. ③表示对角线相等 D. ④表示有一个角是直角 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定，熟练掌握各个的判定定理是解题的关键；因此此题可根据菱形、矩形及正方形的判定定理进行求解． 【详解】解：A、①因为平行四边形的邻角互补且相等可知这两个邻角都为直角，所以由“有一个角为直角的平行四边形是矩形”，故不符合题意； B、②根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知正确；故不符合题意； C、③根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”可知不正确，故符合题意； D、④根据“有一个角为直角的菱形是正方形”可知正确，故不符合题意； 故选C． 7. 如图，在中，点D，E分别是边， 的中点，点F是线段上的一点，连接， ，，且，，则EF的长是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线等于的一半，相减即可求得的长． 【详解】解：∵点分别是边的中点，， ∴， ∵，且， 又∵点是边的中点， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，熟悉以上性质是解题的关键． 8. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（ ） A. 只有甲同学正确 B. 乙和丙同学都正确 C. 甲和乙同学正确 D. 三个同学都正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，全等三角形的判定和性质，在中，依据三角形外角及已知可得，结合等腰三角形易证；结合，易证，得到；当时，结合已知求得，易证，依据等腰三角形“三线合一”得． 【详解】解：在中， ， ， ，， ， ， 甲同学正确； ，，， ， ， 乙同学正确； 当时， ， ， ， ， ， ， 即为的中点， 丙同学正确； 综上所述：三个同学都正确． 故选：D． 9. 古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是（如图）：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（　　） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，在中，利用勾股定理列出关系式，把各自的长度代入，化简后与已知方程比较，即可确定出所求． 【详解】解：在中， 根据勾股定理得：， ∵，， ∴， 整理得：， 比较方程，可得的长是方程的一个正根， 故选：B． 10. 如图在中，，，，是边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点．下列说法不正确的是( ) A. 当时， B. 当点落在上时，四边形是菱形 C. 在点运动的过程中，线段的最小值为2 D. 连接，则四边形的面积始终等于 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，直角三角形的性质，根据动点的不同位置分析是解题的关键． 当时，证，当点落在上时，证，连接，证，据此逐一分析判定即可． 【详解】解：A．当时，，， ∴， ∴， ∴， ∴该选项是正确的，不符合题意； B．当点落在上时，， ∴是菱形， ∴该选项是正确，不符合题意； C．当点在点时，作于点，作于点，如图所示， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴在点运动的过程中，线段的最小值不为， 该选项是错误的，符合题意； D．连接，则， ∴四边形的面积始终等于， 该选项是正确的，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本题包括5道小题，每题3分，共15分） 11. 方程的解是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：点是的黄金分割点，线段的长为， ， ， 故答案为：． 13. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是，则估计盒子中大约有红球______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，解题的关键是根据题意，设口袋里面大约有个红球，根据摸到黄球的频率是，则，解出分式方程，即可． 【详解】解：设盒子里面大约有个红球 ∵口袋里面有个黄球，摸到黄球的频率是 ∴ 解得：． 经检验，是方程的解． 故答案为：． 14. 如图，点是反比例函数图象上的两点，过点A，B分别作轴于点轴于点，连接、，已知，则____________． 【答案】21 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可设，则有，然后根据三角形的面积可进行求解． 【详解】解：由题意可设，则有， ∵，， ∴，即， ∴； 故答案为21． 15. 如图，在矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】连接，过作于点，作于点，延长交于点，然后证明四边形是矩形，则，，，根据角平分线的性质得，，证明四边形是正方形，设，则，，由折叠性质可知，，根据勾股定理求出或，然后分情况求解即可． 【详解】解：如图，连接，过作于点，作于点，延长交于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形矩形， ∴，，， ∵点的对应点落在的角平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， 设，则，， 由折叠性质可知：，， ∵， ∴， 解得：或， 当时，则，， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 当时，则，， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 综上可知：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，折叠性质，角平分线的性质，正方形和菱形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 三、计算题（本题包括3道小题，每题4分．卷面分2分，共14分） 16. 解方程： （1） （2） （3）（配方法） 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键 （1）先化为一般式，再把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案； （2）运用十字相乘对左边进行因式分解，再求解即可； （3）先把常数项移到方程右边，再系数化为1，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ． 四、解答题（本题包括2道小题，每题8分，共16分） 17. 如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接， （1）求证：四边形是矩形； （2）若求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再由，得，，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由勾股定理的逆定理证是直角三角形，，再由面积法求出，然后由矩形的性质得，，最后由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， ∴， ∴， ，， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形，， ， ，， ， 是直角三角形，， 的面积， ， 由（1）得：四边形是矩形， ，， ． 18. 只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数.我国数学家陈景润哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”.如20=3+17. （1）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是 ； （2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率. 【答案】（1）；（2）抽到两个素数之和等于30的概率是 【解析】 【分析】(1)四个数中，抽到7只有一种可能，根据概率公式直接计算即可得； (2)画树状图得到所有等可能的情况，然后再从中找出符合条件的结果数，利用概率公式进行计算即可. 【详解】(1)总共有四个数，7是其中的一个数， 所以从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，抽到的数是7的概率是1÷4=， 故答案为； (2)画树状图如图所示： 共有12各等可能的结果，其中抽到两个数的和为30的有4种可能， ∴抽到两个素数之和等于30的概率是4÷12=. 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 五、解答题（本题包括3道小题，每题8分，共24分） 19. 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（、为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 如果只把当成数，则将符合一切实数运算规则，但要根据式变通来简便运算．（它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题：； ； 例题：， ， 同样我们也可以化简， 也可以解方程，解为，． 读完这段文字，请你解答以下问题： （1）填空：____________；____________ （2）计算： （3）在复数范围内解方程： 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则进行计算即可； （2）利用完全平方公式把原式展开，然后根据计算即可； （3）利用配方法求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，配方法解一元二次方程等知识点，深刻理解题意，能够利用进行计算并熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 20. 如图所示，直线与轴、轴分别相交于、两点，与反比例函数相交于点，轴于点，且，点的坐标为． （1）求双曲线的解析式； （2）直接写出在什么范围时，反比例函数的值大于一次函数的值； （3）若点为双曲线上点右侧的一点，且轴于，当以点、、为顶点的三角形与相似时，求点的坐标． 【答案】（1）双曲线解析式为 （2）当时，反比例函数的值大于一次函数的值 （3）或 【解析】 【分析】（1）把坐标代入直线解析式求出的值，确定出直线解析式，把代入直线解析式求出的值，确定出坐标，代入反比例解析式求出的值，即可确定出双曲线解析式； （2）根据的横坐标直接写出反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围． （3）设，代入反比例解析式得到，分两种情况考虑：当时；当时，由相似得比例求出的值，进而确定出的值，即可得出坐标． 【小问1详解】 解：把代入中，求得， ， 由，把代入中，得，即， 把代入得：， 则双曲线解析式为； 【小问2详解】 解：， 当时，反比例函数的值大于一次函数的值； 【小问3详解】 解：设， 在上， ， 当时，可得，即， ，即， 整理得：， 解得：或（舍去）， ； 当时，可得，即， 整理得：， 解得：或（舍）， ． 综上，或． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的性质，待定系数法确定直线解析式，待定系数法确定反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 素材 今年疫情开放以来，我县接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数月份为万人，月份为万人． 素材 若该景区仅有，两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示： 据预测，月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有万、万和万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降元，将有人原计划购买甲种门票的游客和人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票， 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 和 门票价格 元人 元人 元人 问题解决 任务 确定增长率 求月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几． 任务 预计人数 若丙种门票价格下降元，直接写出购买丙种门票为_______人 任务 拟定价格方案 将丙种门票价格下降多少元时，景区月份门票总收入有万元？ 【答案】任务：月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长率为； 任务：；任务：丙种门票价格下降元或元时，景区月份的门票总收入有万元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务：设月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长率为，根据题意列出出一元二次方程，然后解方程并检验即可； 任务：根据题意列出算式即可求出结论； 任务：设丙种门票价格下降元时，景区月份门票总收入有万元，根据题意列出出一元二次方程，然后解方程并检验即可． 【详解】解：任务：设月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长率为； 任务：根据题意得：（人）， 故答案为：； 任务：设丙种门票价格下降元时，景区月份的门票总收入有万元， 根据题意得：，整理得：， 解得：，， 答：丙种门票价格下降元或元时，景区月份的门票总收入有万元． 六、解答题（本题包括2道小题，22题11分，23题10分，共21分） 22. 综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点，，的对应点为，，，设旋转角为．操作中，同学们提出了如下问题，请你解答：操作探究： （1）“奋进小组”提出问题：如图2，当矩形纸片旋转到点落在上时，延长交于点． ①求证：四边形是正方形； ②连接，取的中点，连接、，若，，则线段的长为_______． 数学思考： （2）“团结小组”提出问题：如图3，连接，当矩形纸片旋转到点在的延长线上时，延长，交于点，交于点，求证：； 深入探究： （3）“善思小组”提出问题：若，．在矩形纸片旋转过程中，连接线段和，当时，直接写出的长． 【答案】（1）①见解析：②；（2）见解析；（3）的长为或 【解析】 【分析】（1）①由矩形的性质可得，，，从而得出，推出四边形是矩形，由旋转的性质可得，即可得证；②连接，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，由直角三角形斜边上的中线的性质得出，再由勾股定理求出即可得解； （2）连接，由矩形的性质可得，，，，由平行线的性质可得，由旋转的性质可得，，证明，得出，从而得到，由等角对等边对出，结合，即可得证； （3）由旋转的性质可得，点在以为圆心，为半径的圆上，由，得出点在的垂直平分线上，再两种情况：当在的上方时，令的垂直平分线交于，交于，则；当在的下方时，令的垂直平分线交于，交于，则；分别利用矩形的判定与性质、勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）①证明：∵四边形、是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 由旋转的性质可得， ∴四边形是正方形； ②解：如图，连接， ∵四边形、是矩形， ∴，，，，，， 由旋转的性质可得，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形、是矩形， ∴，，，， ∴，， 由旋转的性质可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由旋转的性质可得，点在以为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， 如图，当在的上方时，令的垂直平分线交于，交于，则， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴， 由旋转性质可得， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的下方时，令的垂直平分线交于，交于，则， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、正方形的判定、线段垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 23. 【问题发现】 （1）如图1，正方形的边长为4，点为中点．连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点．爱思考的小明做了这样的辅助线，过点作，交于点沿着小明的思路思考下去，则的面积_____________； 【变式应用】 （2）如图2，菱形的边长为3，且，连接，点为上一点，连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点，若，求的面积： 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，且，点为上一点，连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用，求出，则有，再三角形面积公式求出即可； （2）过点作，交于点，过点E作于点．则．再由（1）同理解决问题； （3）过点作，作，交延长线于点，交于点，设，则，；，，，利用，即，列方程解决问题． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ∴，，， 将绕点顺时针旋转至，点E为 中点， ，， ， 点、、三点共线， ∵， ， ， ， ， 由图可知：， ∴； 故答案为：； （2）在菱形中，，， 是等边三角形，， 由旋转可知：，， ， ，，三点共线， 如图，过点作，交于点，过点E作于点． ，，． 是等边三角形，． ，， ． ，． ． ， ． ． 在中，， ． （3）过点作，作，交延长线于点，交于点， ∵， ∴， ，， ， ， ， ，则， 设，则，；，，， 将绕点顺时针旋转 至， ， ， ， 即， 过点作，过点作， ∴四边形矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 则，， ， ， ， 解得 （负值舍去）， 经检验： 是方程的解， ． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，解直角三角形，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似求线段的长是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省织锦州市第十八中学2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 考生注意：请在答题卡各题目规定区域内作答，答在本试卷上无效 一、选择题（本题包括10道小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的选项） 1. 已知，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 小颖在学习“花边有多宽”时，对一元二次方程的根做了如下估计：由她所列表格的数据可知，此方程的一个根为（ ）． 0 1 2 3 40 18 4 4 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 将不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形各边向外平移1个单位并适当延长，得到下列图形，变化前后的两个图形不相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）． A. 函数图象经过点 B. 函数图象位于第一、三象限 C. 当时， D. 随的增大而增大 6. 如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（ ）． A. ①表示有一组邻角相等 B. ②表示有一组邻边相等 C. ③表示对角线相等 D. ④表示有一个角是直角 7. 如图，在中，点D，E分别是边， 的中点，点F是线段上的一点，连接， ，，且，，则EF的长是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（ ） A. 只有甲同学正确 B. 乙和丙同学都正确 C. 甲和乙同学正确 D. 三个同学都正确 9. 古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是（如图）：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（　　） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 10. 如图在中，，，，是边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点．下列说法不正确的是( ) A. 当时， B. 当点落在上时，四边形是菱形 C. 在点运动的过程中，线段的最小值为2 D. 连接，则四边形的面积始终等于 二、填空题（本题包括5道小题，每题3分，共15分） 11. 方程的解是_________． 12. 数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为______cm． 13. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是，则估计盒子中大约有红球______个． 14. 如图，点是反比例函数图象上的两点，过点A，B分别作轴于点轴于点，连接、，已知，则____________． 15. 如图，在矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为______． 三、计算题（本题包括3道小题，每题4分．卷面分2分，共14分） 16. 解方程： （1） （2） （3）（配方法） 四、解答题（本题包括2道小题，每题8分，共16分） 17. 如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接， （1）求证：四边形是矩形； （2）若求的长． 18. 只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数.我国数学家陈景润哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”.如20=3+17. （1）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是 ； （2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率. 五、解答题（本题包括3道小题，每题8分，共24分） 19. 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（、为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 如果只把当成数，则将符合一切实数运算规则，但要根据式变通来简便运算．（它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题：； ； 例题：， ， 同样我们也可以化简， 也可以解方程，解为，． 读完这段文字，请你解答以下问题： （1）填空：____________；____________ （2）计算： （3）在复数范围内解方程： 20. 如图所示，直线与轴、轴分别相交于、两点，与反比例函数相交于点，轴于点，且，点的坐标为． （1）求双曲线的解析式； （2）直接写出在什么范围时，反比例函数的值大于一次函数的值； （3）若点为双曲线上点右侧的一点，且轴于，当以点、、为顶点的三角形与相似时，求点的坐标． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 素材 今年疫情开放以来，我县接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数月份为万人，月份为万人． 素材 若该景区仅有，两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示： 据预测，月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有万、万和万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降元，将有人原计划购买甲种门票的游客和人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票， 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 和 门票价格 元人 元人 元人 问题解决 任务 确定增长率 求月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几． 任务 预计人数 若丙种门票价格下降元，直接写出购买丙种门票为_______人 任务 拟定价格方案 将丙种门票价格下降多少元时，景区月份的门票总收入有万元？ 六、解答题（本题包括2道小题，22题11分，23题10分，共21分） 22. 综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点，，的对应点为，，，设旋转角为．操作中，同学们提出了如下问题，请你解答：操作探究： （1）“奋进小组”提出问题：如图2，当矩形纸片旋转到点落在上时，延长交于点． ①求证：四边形是正方形； ②连接，取的中点，连接、，若，，则线段的长为_______． 数学思考： （2）“团结小组”提出问题：如图3，连接，当矩形纸片旋转到点在的延长线上时，延长，交于点，交于点，求证：； 深入探究： （3）“善思小组”提出问题：若，．在矩形纸片旋转过程中，连接线段和，当时，直接写出的长． 23. 【问题发现】 （1）如图1，正方形的边长为4，点为中点．连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点．爱思考的小明做了这样的辅助线，过点作，交于点沿着小明的思路思考下去，则的面积_____________； 【变式应用】 （2）如图2，菱形的边长为3，且，连接，点为上一点，连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点，若，求的面积： 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，且，点为上一点，连接．将绕点A顺时针旋转至，连接交于点，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $