精品解析：江苏省南京市鼓楼区2024—2025学年九年级上学期期中考试数学试题

九年级（上）期中试卷 数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 战国时期的著作《墨经》中“……，一中同长也”描述的图形是（ ） A. 等边三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 圆 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了文学常识，战国时期墨家所著的《墨经》一书中记载：“圜（圆），一中同长也．”据此解答即可． 【详解】解：战国时期的著作《墨经》中“……，一中同长也”描述的图形是圆， 故选：． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程，，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 3. 若点在内，且，则的半径可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点在圆内即可判断求解，掌握点和圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵点在内，且， ∴的半径大于， ∴的半径可能为， 故选：． 4. 正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理．连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：连接，， 、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数． 故选：B． 5. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向以及与轴的交点位置进行判断即可． 【详解】∵抛物线开口方向向下，∴a＜0. ∵抛物线与y轴交点坐标为（0，c）点，由图知，该点在x轴上方，∴c＞0. 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与各项系数之间的关系，数形结合是解题的关键． 6. 已知二次函数，当时，y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质．由二次函数解析式可求得对称轴及开口方向，再利用二次函数的增减性可分别求得y的最大值和最小值即可求得答案． 【详解】解：， ∵，对称轴为， ∴当时，y有最大值，最大值为4， ∵， ∴当时，y有最小值， ∴当时，y的取值范围是， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 一元二次方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，是解决问题的关键． 移项，提公因式x，化成两个一元一次方程解答即可． 【详解】∵， ∴移项得，， 分解因式得，， ∴， ∴． 故答案为：． 8. 已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，那么直线l与⊙O的位置关系是__． 【答案】相交 【解析】 【分析】由题意得d<r，根据直线与圆的位置关系的判定方法判定即可． 【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm， ∴d<r， ∴直线l与⊙O的位置关系是相交． 故答案为相交． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系．已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d<r时，直线与圆相交． 9. 某景区六月份游客接待量为300万人次，八月份游客接待量为363万人次．设游客接待量的月平均增长率是x，根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与增长率有关的一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系并正确列出方程是关键；根据等量关系：，列出方程即可． 【详解】解：由题意得：； 故答案为：． 10. 已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，根据（r为底面圆半径，l为母线长）进行求解即可． 【详解】解：， ∴该圆锥的侧面积为， 故答案为：． 11. 如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为40°，则∠B+∠D的度数是_____． 【答案】160°． 【解析】 【分析】连接AB，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠ABE，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：连接AB， ∵的度数为40°， ∴∠ABE＝20°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠D＝180°， ∴∠CBE+∠D＝180°﹣20°＝160°， 故答案为160°． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 12. 若二次函数的图象过三点，则的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性；确定抛物线的对称轴，利用对称性把点C变为关于对称轴对称的另一点，利用函数的增减性即可求解． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线， 而点C关于对称轴对称的另一点， ∵二次项系数为负，抛物线开口向下， ∴当时，函数值随自变量的增大而增大， ∵， ∴； 故答案为：． 13. 如图，四边形是的外切四边形，且，，若四边形的面积等于，则的半径等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，设点为四边形与的切点，连接，由切线长定理可得，，，，由，可得，进而可得，设，最后根据面积可得，据此即可求解，掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键． 【详解】解：设点为四边形与的切点，连接，则，，，， 由切线长定理得，，，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， 设， ∵四边形的面积等于， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，勾股定理，先利用勾股定理求出，再根据三角形的面积求出斜边上的高，可知当时，所作的圆与斜边相切，进而即可求解，掌握直线和圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 过点作，则， 即， 解得， 当时，所作的圆与斜边相切， ∴当时，所作的圆与斜边有两个公共点， 故答案为：． 15. 如图，在为直径的半圆中，，，则弦，与半圆围成的阴影部分的面积与半圆面积的比值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识点，如图，连接、、，分别用表示出阴影面积和半圆面积，然后计算比值即可得解，熟练掌握其性质，正确的作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，连接、、， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设圆的半径为r，过C点作于点F， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴, 故答案为：． 16. 如图，的半径为5，，若将沿某条弦所在的直线翻折，翻折后的弧恰好经过点P，则这条弦的长度a的范围是______． 【答案】 【解析】 分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．由垂径定理知，当弦垂直平分时，弦最短，当弦垂直平分时，弦最长，利用垂径定理和勾股定理计算即可求解． 【详解】解：过点作的直径，由垂径定理知，当弦垂直平分时，弦最短，当弦垂直平分时，弦最长， 如图，连接， ∵的半径为5，， ∴， ∴， 在中，， ∴； 如图，连接， ∵的半径为5，， ∴， ∴， 在中，， ∴； ∴这条弦的长度a的范围是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法． （1）先求得的值，再利用公式法求解即可． （2）方程的左边可以利用平方差公式分解因式，则方程可以变形成左边是两个一次式的乘积，右边是0的形式，依据两个式子的乘积是0，则每个式子中至少有一个是0，即可转化成两个一元一次方程，从而求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 即，； 【小问2详解】 解：∵． ∴ ∴，， ∴方程的解是：，． 18. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有实数根； （2）不论k为何值，方程总有一个确定的实数根为______． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程； （1）计算出判别式，根据判别式的符号即可证明； （2）方程左边可分解因式，因此用因式分解法即可求解，在解中有一个与k无关的解，即可求解． 【小问1详解】 证明： ， ∴不论k为何值，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：原方程可化为， 即或， 解得：； ∴方程有一个确定的实数根1． 故答案为：1． 19. 如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质． （1）根据弧与圆心角的关系，可得，又由点D，E分别是，的中点，可得，继而可证得，则可得； （2）由得到，推出，再得到，则． 【小问1详解】 解：，理由如下， 证明：过点作直径，如图， ，，是的半径，， ， 点D，E分别是，的中点，， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，点P出发几秒后，？ 【答案】点P出发3秒后， 【解析】 【分析】本题是动态几何问题，考查了解一元二次方程，勾股定理，掌握勾股定理内容是关键；由题意得，在中，由勾股定理求得；再由，得到关于t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得， 在中，，， 由勾股定理得； ∵，即， ∴， 整理得：， 解得：； ∵，且， ∴； 即点P出发3秒后，． 21. 已知，图象由的图象平移得到，为了探究如何平移，小明列出了下表： x … 0 1 2 3 4 5 … … 18 8 2 0 2 8 18 … … 18 m 2 0 2 8 18 … … 20 n 4 2 4 p 20 … （1）直接写出m的值和的函数表达式； （2）将二次函数的图象先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求得到的抛物线顶点坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，仔细观察表格函数值的变化，找到平移的规律是解题的关键． （1）观察表格知，的图象向左平移了2个单位得到的图象，由此可确定m的值及的函数解析式； （2）由表格可得的解析式，即可确定二次函数的图象先向左平移3个单位，再向下平移1个单位的解析式，从而确定顶点坐标． 【小问1详解】 解：由表格知，自变量取时函数的函数值，等于函数的自变量取时的函数值，因此相当于把函数的图象向左平移2个单位长度，得到函数的图象， ∴，； 【小问2详解】 解：由表格知，函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到函数的图象， ∴； ∴二次函数的图象先向左平移3个单位，再向下平移1个单位的解析式为， 即． ∴的顶点坐标为． 22. 如图，为的直径，射线交于C点，的平分线交于D点，过点D作交于E点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）连接，若要证明为的切线，只要证明即可； （2）过点作于F，证明四边形是矩形，利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：过点作于F， ∴ 又 ∴四边形是矩形， ∴ 设则 在中，， ∴， 解得， 即的半径为5． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、平行线的判定与性质、矩形的判定和性质以及勾股定理的运用，正确作出辅助线构造矩形和直角三角形是解答本题的关键． 23. 小韦在解方程时突发奇想，按照如下步骤进行： ①将原方程中一次项系数除以10，常数项除以100，得到新方程； ②解得新方程的两个根分别是m和n； ③将m和n分别乘以10，得到原方程的两个根，． （1）直接写出m和n的值； （2）请你说明其中的道理． 【答案】（1），； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根与系数关系． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：解方程， 因式分解得， 解得，， ∴，； 【小问2详解】 解：设方程的两个根为，， 由根与系数的关系得，， 设，， ∴，， 解得，， ∴m和n是方程两个根． 24. 如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的边衬（图中阴影部分）所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，则上、下边衬的宽度约为多少？（，结果保留整数） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据矩形的面积公式建立方程是关键．由条件知道中间矩形的长宽比是，设中间的矩形的长为，宽为，根据封面的面积关系建立方程求出其解即可． 【详解】封面长，宽， 封面的长宽比为， 设中间的矩形的长为，宽为， 则有， 解得， 当不合题意舍去， ， 上下边衬为， 上、下边衬的宽度约为 25. 已知二次函数（h是常数），且． （1）当时，求函数的最大值； （2）若函数的最大值为，求h的值． 【答案】（1）函数的最大值为0； （2）h的值是4或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据顶点式可直接得出答案； （2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可． 【小问1详解】 解：当时，二次函数为， ∴当时，函数有最大值0； 【小问2详解】 解：∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为， ∴若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 综上，h的值是4或． 26. 类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】（）；（）；（） 【解析】 【分析】（）根据学习材料得，据此即可求解； （）结合（）的结果，再根据即可求解； （）由题意可得，，进而得是方程的两根，由和可得，即得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关键，一元二次方程根的判别式，多项式的乘法运算，掌握一元二次方程中根与系数的关系以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）根据学习材料提示得， ， ， ， ∴，， ∴的值为； （）∵的三个根分别为，，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （）∵，， ∴，， ∵是方程的两根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴正数的最小值为． 27. 尺规作图 已知线段和，将线段沿某条直线翻折后，A、B两点恰好落在上，请按照下列要求分别作出翻折后的线段．（①保留作图痕迹；②写出必要的文字说明）． （1）如图1，的长度等于的直径； （2）如图2，的长度小于的直径． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了作圆以及线段垂直平分线的相关作图题． （1）作线段的垂直平分线，取线段的中点，以为圆心，为半径作，连接作的垂直平分线l，作点B关于直线l的对称点；连接并延长交于点，线段即为所求． （2）位于两侧，有两种情况，作线段的垂直平分线m，在直线m上取点，使得等于的半径长，作的等圆；连接，作的垂直平分线l，作点B关于直线l的对称点，A关于直线l的对称点；连接，线段即为所求． 【小问1详解】 解：作法如下∶ ①作线段的垂直平分线，取线段的中点； ②以为圆心，为半径作，连接； ③作的垂直平分线l，作点B关于直线的对称点； ④连接并延长交于点，线段即为所求． 【小问2详解】 解：作法如下∶ 注∶ 位于两侧，有两种情况，作法相同∶ ①作线段的垂直平分线m，在直线m上取点，使得等于的半径长，作的等圆； ②连接，作的垂直平分线l，作点B关于直线l的对称点，A关于直线l的对称点； ③连接，线段即为所求． 当位于的右侧时：如下图线段即为所求： 当位于的左侧时：如下图线段即为所求： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级（上）期中试卷 数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 战国时期的著作《墨经》中“……，一中同长也”描述的图形是（ ） A. 等边三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 圆 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 3. 若点在内，且，则的半径可能为（ ） A B. C. D. 4. 正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 5. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知二次函数，当时，y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 一元二次方程的解是________． 8. 已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，那么直线l与⊙O的位置关系是__． 9. 某景区六月份游客接待量为300万人次，八月份游客接待量为363万人次．设游客接待量月平均增长率是x，根据题意可列方程为______． 10. 已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，则该圆锥的侧面积为________． 11. 如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为40°，则∠B+∠D的度数是_____． 12. 若二次函数的图象过三点，则的大小关系是________．（用“”连接） 13. 如图，四边形是的外切四边形，且，，若四边形的面积等于，则的半径等于______． 14. 在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是______． 15. 如图，在为直径的半圆中，，，则弦，与半圆围成的阴影部分的面积与半圆面积的比值等于______． 16. 如图，的半径为5，，若将沿某条弦所在的直线翻折，翻折后的弧恰好经过点P，则这条弦的长度a的范围是______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程． （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有实数根； （2）不论k为何值，方程总有一个确定的实数根为______． 19. 如图，，是半径，且，弦分别经过，的中点D，E． （1）求证：； （2）求证：． 20. 如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，点P出发几秒后，？ 21. 已知，的图象由的图象平移得到，为了探究如何平移，小明列出了下表： x … 0 1 2 3 4 5 … … 18 8 2 0 2 8 18 … … 18 m 2 0 2 8 18 … … 20 n 4 2 4 p 20 … （1）直接写出m的值和的函数表达式； （2）将二次函数的图象先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求得到的抛物线顶点坐标． 22. 如图，为的直径，射线交于C点，的平分线交于D点，过点D作交于E点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 23. 小韦在解方程时突发奇想，按照如下步骤进行： ①将原方程中一次项系数除以10，常数项除以100，得到新方程； ②解得新方程的两个根分别是m和n； ③将m和n分别乘以10，得到原方程两个根，． （1）直接写出m和n的值； （2）请你说明其中的道理． 24. 如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的边衬（图中阴影部分）所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，则上、下边衬的宽度约为多少？（，结果保留整数） 25. 已知二次函数（h是常数），且． （1）当时，求函数的最大值； （2）若函数的最大值为，求h的值． 26. 类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数最小值． 27. 尺规作图 已知线段和，将线段沿某条直线翻折后，A、B两点恰好落在上，请按照下列要求分别作出翻折后的线段．（①保留作图痕迹；②写出必要的文字说明）． （1）如图1，的长度等于的直径； （2）如图2，的长度小于的直径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$