精品解析：广东省云浮市罗定市2024-2025学年 九年级上学期数学试卷

2024-2025学年度第一学期阶段检测 九年级数学 说明：全卷共3页，满分为120分，考试用时120分钟。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 国内某地图软件自2005年上线以来，秉持“科技让出行更简单”的品牌使命，以科技为手段不断探索创新，如今已经发展成为国内领先的互联网地图服务商．下面是该地图软件中的四个图标，其文字左边的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，根据“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形就叫做中心对称图形”判断即可， 熟练掌握中心对称图形的概念是解决此题的关键． 【详解】A、图案不是中心对称图形，不符合题意； B、图案不是中心对称图形，不符合题意； C、图案是中心对称图形，符合题意； D、图案不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 5 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号，根据一元二次方程的一般形式，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故选：B． 3. 已知是抛物线上一点，则a的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数上的点的坐标，由抛物线得，当时，，即可得． 【详解】解：∵是抛物线上一点， ∴当时，， 故选：A． 4. 风车山因其山顶的风车而得名，这些巨大的风车在山巅屹立，仿佛守护着这片净土．如图是罗定风车山的图片，图中风力发电装置的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原图案重合，则n的值可以是（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称，将除以转子叶片个数即可求出的值． 【详解】解： 故选：C． 5. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，得或，解这两个一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：， ∴或， ∴，， 故选：C． 6. 将抛物线向下平移个单位长度，得到新抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数图象的平移规则：左加右减，上加下减，求解即可． 【详解】解：抛物线向下平移个单位长度，得到新抛物线的解析式为， 故选：A． 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”． 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在边上．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，由旋转性质可得，，则是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可求解，熟练掌握旋转的性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：． 9. “北看红旗渠，南看长岗坡”，长岗坡渡槽凌空飞架，宛如天上银河、巨龙游动，气势雄伟壮观，景色如画．长岗坡渡槽是罗定市最大的水利工程——金银河水利枢纽工程的主体设施，如图是某摄影爱好者拍摄的一张长为，宽为的长岗坡渡槽风景照，现要在风景照四周镶一条等宽的边，制成一幅矩形挂图．若使整个挂图的面积是，设风景照四周所镶边的宽为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查了一元二次方程的运用，如果风景照四周所镶边的宽为，那么挂图的长和宽应该为和，根据总面积即可列出方程． 【详解】解：设风景照四周所镶边的宽为，那么挂图的长和宽应该为和， 根据题意可得出方程为：， 故选：C． 10. 如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，对称轴为，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，能熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．①根据函数图像的开口方向，即可判断；②由函数图像得：，，由对称轴可判断的符号，即可判断；③由对称轴得图像与轴交于另一点，可得，即可判断；④由，对称轴为直线，可得当时，函数有最小值为，即可判断． 【详解】解：①由图像知，二次函数开口向上，则，故①正确； ②由函数图像得：，， 对称轴为直线， ， ，故②不正确； ③对称轴为直线，图像与轴交于点， 图像与轴交于另一点， ，故③正确； ④，对称轴为直线， 当时，函数有最小值为， ， ，故④正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是关于x的二次函数，则m的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：． 12. 如图，已知与关于点A中心对称，若，则的长为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质和全等三角形的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．先根据中心对称的性质得到，得到，进而可得出的长． 详解】解∶∵与关于点A中心对称， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为∶6． 13. 若，是方程的两个根，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，程的两根分别为和，则根据根与系数的关系直接计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， 故答案为：． 14. 如图是二次函数的图象和一次函数的图象，当时，x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数、一次函数的图象和性质，根据图象可以得到，使得的自变量x的取值范围就是二次函数的图象落在直线上方的部分对应的自变量x的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象为抛物线，一次函数的图象为直线， ∴根据图象可得到，两函数图象的交点的横坐标为，2， 且当时，抛物线在直线下方，即， 当时，抛物线在直线上方，即， 当时，抛物线在直线下方，即， ∴当时，x的取值范围是． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，勾股定理，通过全等三角形求出点C的坐标是解题的关键．过点C作x轴的垂线，求出点C的坐标即可解决问题． 【详解】解：过点C作x轴的垂线，垂足为M， ∵， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴，． 在中，． 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，利用公式法解一元二次方程解题即可． 【详解】解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 17. 智慧养老，让老年人享受数字经济红利．近年来，智慧养老成为老龄事业与产业发展的方向之一，广东省正致力于打造智慧养老的新标杆，为老年人提供更加贴心、高效的养老服务，同时为数字经济的发展注入新活力．某养老服务机构8月份为800名老人提供服务，10月份为1352名老人提供服务，求该机构9、10月份服务老人人数的月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该机构9、10月份服务老人人数的月平均增长率为x．根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设该机构9、10月份服务老人人数的月平均增长率为x． 根据题意，得， 解得 (不合题意，舍去)． 答：该机构9、10月份服务老人人数的月平均增长率为． 18. 方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的位置如图所示，点A，B，C都在格点上． （1）画出关于原点O的中心对称图形； （2）连接，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，则点的坐标为________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称作图、旋转作图． （1）先根据中心对称的定义分别画出点，，，再顺次连接即可得； （2）先根据旋转画出图形，再根据图形写出坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作． 【小问2详解】 解：如图，交轴于， ∵将线段绕点O顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵由图可得， ∴， ∴， ∴， ∴与关于轴对称， ∴， 故答案为：． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知抛物线经过点，． （1）求，的值； （2）若，是抛物线上不同的两点，求的值． 【答案】（1）1, （2） 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入解析式，构造二元一次方程组求解； （2）点坐标即解析式对应的方程的解，将代入求得n，进而求得m． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，， ∴，解得， ∴． 【小问2详解】 解：时，， ∴． 当时，，即， ； 解得，或， ∴或（舍去） ∴. 【点睛】本题考查二次函数解析式，二次函数与一元二次方程的联系；运用方程（组）的思想解决函数问题是解题的关键． 20. 阅读理解 了解方程，可以将看作一个整体． 设，则原方程化为，解得，． 当时，，即，所以； 当时，，即，所以． 综上，原方程的根是，，，． 小试牛刀 请利用以上方法解方程：． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查用换元法和因式分解法解一元二次方程，令，得，用因式分解法解方程求出t的值，再求出x的值即可． 详解】解：令，则， 解得，， 当时，，解得，， 当时，，解得， 综上，原方程的解是，，． 21. 海豚是生活在海洋里的一种动物，它行动敏捷，弹跳能力强，罗定海洋公园里的海豚表演吸引了众多家庭前来观看．在进行跳水训练时，海豚身体（看成一点）在空中的运动路线可以近似看成抛物线的一部分．如图，在某次训练中，以海豚起跳点（出水点）O为原点，点O与海豚落水点（水面）所在直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，海豚离水面的高度y（单位：）与距离起跳点O的水平距离x（单位：）之间具有函数关系，海豚在跳起过程中碰到（不改变海豚的运动路径）饲养员吊在空中的小球，小球与点O的水平距离为，与水面的高度为． （1）求海豚此次训练中离水面的最大高度； （2）当海豚离水面的高度是时，求与起跳点O的水平距离． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际问题，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式然后配方得到最大值即可； （2）令，解一元二次方程方程即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 解得， 所以， 所以海豚此次训练中离水面的最大高度是； 【小问2详解】 解：由题意，得， 解得，， 答：海豚与起跳点O的水平距离是或． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 在中，，将在平面内绕点顺时针旋转得到，其中点的对应点为点，连接． （1）若，如图①，求的度数； （2）当点在边上时，如图②，若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由旋转性质，得，，根据等腰三角形的性质即可得解； （2）过点作，设，根据旋转性质得，证明是等边三角形，可得，继而得到，在，代入数值求解即可． 【小问1详解】 解：∵将在平面内绕点顺时针旋转得到，， ∴，， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 解：过点作，连接，设， ∵将在平面内绕点顺时针旋转得到，点在边上， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查旋转性质，等腰三角形性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，掌握旋转的性质是解题的关键． 23. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值； （3）点在抛物线上移动，连接，存在，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）4 （3）点的坐标为：或． 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由面积，即可求解； （3）当点在轴上方时，则点和点关于抛物线对称轴对称，即可求解；当点在轴下方时，由，求出点，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：①； 【小问2详解】 解：过点作轴交于点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则面积， ， 故面积有最大值，当时，面积的最大值为4； 【小问3详解】 解：当点在轴上方时， 所以平行于x轴 则点和点关于抛物线对称轴对称， 则点； 当点在轴下方时， 设交轴于点，设点， ， 则， 则， 解得：， 即点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：（舍去）或， 即点的坐标为：； 综上，点的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期阶段检测 九年级数学 说明：全卷共3页，满分为120分，考试用时120分钟。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 国内某地图软件自2005年上线以来，秉持“科技让出行更简单”的品牌使命，以科技为手段不断探索创新，如今已经发展成为国内领先的互联网地图服务商．下面是该地图软件中的四个图标，其文字左边的图案是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 5 B. C. 2 D. 3. 已知是抛物线上一点，则a的值为（ ） A. B. C. 0 D. 3 4. 风车山因其山顶的风车而得名，这些巨大的风车在山巅屹立，仿佛守护着这片净土．如图是罗定风车山的图片，图中风力发电装置的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原图案重合，则n的值可以是（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 180 5. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 6. 将抛物线向下平移个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在边上．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 9. “北看红旗渠，南看长岗坡”，长岗坡渡槽凌空飞架，宛如天上银河、巨龙游动，气势雄伟壮观，景色如画．长岗坡渡槽是罗定市最大的水利工程——金银河水利枢纽工程的主体设施，如图是某摄影爱好者拍摄的一张长为，宽为的长岗坡渡槽风景照，现要在风景照四周镶一条等宽的边，制成一幅矩形挂图．若使整个挂图的面积是，设风景照四周所镶边的宽为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，对称轴为，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是关于x的二次函数，则m的值为____________． 12. 如图，已知与关于点A中心对称，若，则的长为____________． 13. 若，是方程两个根，则的值为____________． 14. 如图是二次函数图象和一次函数的图象，当时，x的取值范围是____________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为_____________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 智慧养老，让老年人享受数字经济红利．近年来，智慧养老成为老龄事业与产业发展的方向之一，广东省正致力于打造智慧养老的新标杆，为老年人提供更加贴心、高效的养老服务，同时为数字经济的发展注入新活力．某养老服务机构8月份为800名老人提供服务，10月份为1352名老人提供服务，求该机构9、10月份服务老人人数的月平均增长率． 18. 方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的位置如图所示，点A，B，C都在格点上． （1）画出关于原点O的中心对称图形； （2）连接，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，则点的坐标为________． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知抛物线经过点，． （1）求，的值； （2）若，是抛物线上不同的两点，求的值． 20. 阅读理解 为了解方程，可以将看作一个整体． 设，则原方程化为，解得，． 当时，，即，所以； 当时，，即，所以． 综上，原方程的根是，，，． 小试牛刀 请利用以上方法解方程：． 21. 海豚是生活在海洋里的一种动物，它行动敏捷，弹跳能力强，罗定海洋公园里的海豚表演吸引了众多家庭前来观看．在进行跳水训练时，海豚身体（看成一点）在空中的运动路线可以近似看成抛物线的一部分．如图，在某次训练中，以海豚起跳点（出水点）O为原点，点O与海豚落水点（水面）所在直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，海豚离水面的高度y（单位：）与距离起跳点O的水平距离x（单位：）之间具有函数关系，海豚在跳起过程中碰到（不改变海豚的运动路径）饲养员吊在空中的小球，小球与点O的水平距离为，与水面的高度为． （1）求海豚此次训练中离水面的最大高度； （2）当海豚离水面的高度是时，求与起跳点O的水平距离． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 在中，，将在平面内绕点顺时针旋转得到，其中点的对应点为点，连接． （1）若，如图①，求度数； （2）当点在边上时，如图②，若，，求的长． 23. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D在第一象限内抛物线上，连接，，请求出面积的最大值； （3）点在抛物线上移动，连接，存在，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$