福建省莆田市莆田砺志学校2024-2025学年高三上学期第二次阶段性质量检测数学试卷

莆田砺志学校2024-2025学年（上）第二次阶段性质量检测 高三年级 数学学科试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合,则 A. B. C. D. 2.设,则 A. B. C. D. 3.若，则下列不等式成立的是 A. B. C. D. 4.函数的定义域为 A. B. C. D. 5.天上有三颗星星，地上有四个孩子。每个孩子向一颗星星许愿,如果一颗星星只收到一个孩子的愿望,那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是 A. B. C. D. 6.设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题: ①若,则或 ②若，则或 ③若且,则 ④若与所成的角相等,则 其中所有真命题的编号是 A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ 7.石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕.源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派。苏派砖雕被称为"南方之秀"，是南方地区砖雕艺术的典型代表,被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中.图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2）,砖雕厚度为,所对的圆心角为直角,则该梅花砖雕的表面积为(单位: A. B. С. D. 8.已知四边形中,,点在四边形的边上运动,则的最小值是 A. B. C. D.-1 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设正实数满足，则 A.的最小值为 B.的最小值为 C.的最大值为1 D.的最小值为 10.已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为2187，则下列说法正确的是 A.展开式中奇数项的二项式系数之和为64 B.展开式中存在常数项 C.展开式中含项的系数为560 D.展开式中系数最大的项为 11.如图，几何体的底面是边长为6的正方形,底面,,则 A.当时,该几何体的体积为45 B.当时,该几何体为台体 C.当时，在该几何体内放置一个表面积为的球,则的最大值为 D.当点到直线距离最大时，则 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.平行四边形中,为线段的中点,为线段上的点，且,若,则________. 13.已知,当时,恒成立,则实数的取值范围是________. 14.排球比赛实行"每球得分制",即每次发球后,谁取胜谁就得1分,得分的队有发球权,最后先得25分的队获得本局比赛胜利,若出现比分,要继续比赛至某队领先2分才能取胜,该局比赛结束,甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为,乙队发球时甲队获胜的概率为,且各次发球的胜负结果相互独立.若此时甲、乙两队双方比分为24:24平,且甲队拥有发球权,则两队共再发2次球就结束比赛的概率为________；若此时甲、乙两队双方比分为平,且甲队拥有发球权,则甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.如图,四棱锥的底面是矩形，底面,为的中点,且. (1)证明：平面平面; (2)若，求四棱锥的体积. 16.一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需,还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标。数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017-2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），设2017-2022年对应的年份代码依次为。 年份代码 1 2 3 4 5 6 中国夜间经济的市场发展 规模万亿元 20.5 22.9 26.4 30.9 36.4 42.4 （1）已知可用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）； （2）某传媒公司发布的2023年中国夜间经济城市发展指数排行榜前10名中，吸引力超过90分的有4个，从这10个城市中随机抽取5个，记吸引力超过90分的城市数量为,求的分布列与数学期望。 参考数据: 3.366 73.282 17.25 1.16 其中。参考公式：对于一组数据,，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为,. 17.某工厂生产一批机器零件,现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测,得到一组数据,如表: 性能指标 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1) 求该项性能指标的样本平均数的值.若这批零件的该项指标近似服从正态分布,其中近似为样本平均数的值,,试求的值. (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件,且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02,乙机床生产的零件的次品率为0.03,现从这批零件中随机抽取一件. ①求这件零件是次品的概率; ②若检测出这件零件是次品,求这件零件是甲机床生产的概率; ③在①的条件下，若从这批机器零件中随机抽取300件，每次抽取的结果相互独立，记抽出的零件是次品,且该项性能指标恰好在内的零件个数为,求随机变量的数学期望（精确到整数）。 参考数据：若随机变量服从正态分布，则 ,,. 18. 如图,在四棱柱中,侧棱底面 ,,且点和分别为和的中点 (1)求证:平面 (2)求二面角的正弦值; (3)设为棱上的点, 若直线和平面所成角的正弦值为,求线段的长. 19.利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设定义在上的函数，若对于中任意两点,都有,则称是"-利普希兹条件函数". (I)判断函数在上是否为"1-利普希兹条件函数"; (II)若函数是"-利普希兹条件函数"，求的最小值; (III)设,若存在,使是"2024-利普希兹条件函数"，且关于的方程在上有两个不相等实根,求的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莆田砺志学校2024-2025学年（上）第二次阶段性质量检测 高三年级 数学参考答案 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足，则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 2．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，则. 故选：B. 3．若，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，取，满足，但，故B错误； 对于D，取，则，故D错误； 对于C，因为，则，又，所以，故C正确. 故选：C. 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由，得，又因为，即，得 故，的取值范围是，且．定义域就是 故选：B． 5．天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】四个孩子向三颗星星许愿，一共有种可能的许愿方式. 由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人的愿望， 所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选， 可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星， 有种情况，所以所求概率为. 故选：C. 6．设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或          ②若，则或 ③若且，则       ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 7．石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 延长与交于点．由，，得，． 因为所对的圆心角为直角，所以，． 所以该梅花砖雕的侧面积， 扇环的面积为， 则该梅花砖雕的表面积． 故选：C． 8．已知四边形中，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（    ） A． B． C．-1 D． 【答案】D 【详解】 如图所示，因为，且，所以垂直且平分， 则为等腰三角形，又，所以为等边三角形, 则四边形关于直线对称，故点E在四边形上运动时， 只需考虑点E在边上的运动情况即可， 因为，，知，即， 则， ①当点E在边上运动时，设，则， 则, 当时，最小值为； ②当点E在边上运动时， 设,则, 则， 当时，的最小值为； 综上，的最小值为； 故选：D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9．设正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为正实数，满足， 所以， 当且仅当且，即，时等号成立，故A正确； 对于B，， 则，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，故C错误； 对于D，由，可得， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 10．已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为2187，则下列说法正确的是（    ） A．展开式中奇数项的二项式系数之和为64 B．展开式中存在常数项 C．展开式中含项的系数为560 D．展开式中系数最大的项为 【答案】ACD 【详解】由二项式的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以，解得， 又展开式的各项系数之和为2187，即当时，，解得， 所以二项式的系数之和为， 又由奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等， 则奇数项的二项式系数之和为，故A正确； 由的展开式的通项，令， 解得，故展开式中不存在常数项，故B错误； 又令，解得，所以展开式中含项的系数为，故正确； 由得，，又，所以5， 所以展开式中系数最大的项为，故D正确. 故选：ACD. 11．如图，几何体的底面是边长为6的正方形底面，，则（    ） A．当时，该几何体的体积为45 B．当时，该几何体为台体 C．当时，在该几何体内放置一个表面积为S的球，则S的最大值为 D．当点到直线距离最大时，则 【答案】ACD 【详解】若，即，可知为矩形， 对于选项A：当时，即， 取的中点，连接，如图所示： 因为底面，底面，则， 且为正方形，则， ，平面，可得平面， 又因为，∥，可知为平行四边形，则∥， 可知为直三棱柱，底面， 所以该几何体的体积为，故A正确； 对于选项B：当时，即，可知，所以该几何体不为台体，故B错误； 对于选项C：当时，即，则，所以该几何体为台体， 如图所示，为相应边的中点，则为正方形， 因为底面，且，可知所求球的半径， 且正方形的内切球的半径即为， 所以最大球的半径，即S的最大值为，故C正确； 对于选项D：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，可得， 则点到直线距离为， 可知在内单调递增，所以当点到直线距离最大时，则，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 12．平行四边形中，，为线段的中点，为线段上的点，且，若，则 . 【答案】/ 【详解】由题意可得，，， 所以 ， 又，所以，， 所以. 故答案为：. 13．已知，当时，恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由可知，函数对称轴为， 当时，在上单调递增，， 所以要使恒成立，即，即，解得； 当时，在上单调递增，所以， 则，解得； 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 14．排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球后，谁取胜谁就得1分，得分的队有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24：24，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束，甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为，乙队发球时甲队获胜的概率为，且各次发球的胜负结果相互独立.若此时甲、乙两队双方比分为24：24平，且甲队拥有发球权，则两队共再发2次球就结束比赛的概率为 （2分）；若此时甲、乙两队双方比分为22：22平，且甲队拥有发球权，则甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为 （3分）. 【答案】 【详解】后两队共发2次球就结束比赛，则这两个球均由甲队得分，或均由乙队得分，且两者互斥． 记事件“后两队共发2次球就结束比赛”，因为各次发球的胜负结果相互独立，所以． 即后两队共发2次球就结束比赛的概率为． 时，甲队得25分且取得该局比赛胜利，则甲以25：22或25：23取得该局胜利． 记事件“甲以25：22取得该局胜利”，“甲以25：23取得该局胜利”， “时，甲队得25分且取得该局比赛胜利”， 因为各次发球的胜负结果相互独立，且B，C互斥，所以 ， ， ． 所以时，甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为. 故答案为：，. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【详解】（1）因为底面，平面， 所以， 又，， 所以平面， 而平面， 所以平面平面． （2）[方法一]：相似三角形法 由（1）可知． 于是，故． 因为，所以，即． 故四棱锥的体积． [方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法    由（2）知,所以． 建立如图所示的平面直角坐标系，设． 因为，所以，，，． 从而． 所以，即．下同方法一. [方法三]【最优解】：空间直角坐标系法  建立如图所示的空间直角坐标系如图所示， 设，所以，，，，． 所以，，． 所以． 所以，即．下同方法一. 16．一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），设2017—2022年对应的年份代码依次为1~6． 年份代码x 1 2 3 4 5 6 中国夜间经济的市场发展规模y/万亿元 20.5 22.9 26.4 30.9 36.4 42.4 (1)已知可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0. 01）； (2)某传媒公司发布的2023年中国夜间经济城市发展指数排行榜前10名中，吸引力超过90分的有4个，从这10个城市中随机抽取5个，记吸引力超过90分的城市数量为X，求X的分布列与数学期望． 参考数据： 3.366 73.282 17.25 1.16 其中． 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，． 【答案】(1)；(2)分布列见解析，2 【详解】（1）将的等号两边同时取对数得，所以． ，． 所以， ． 所以，即， 所以． （2）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，，． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P ． 17．某工厂生产一批机器零件，现随机抽取 100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表: 性能指标 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值.若这批零件的该项指标 X 近似服从正态分布 ，其中近似为样本平均数的值，，试求的值. (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.03，现从这批零件中随机抽取一件. ①求这件零件是次品的概率； ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③在①的条件下，若从这批机器零件中随机抽取300件，每次抽取的结果相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则 ，，. 【答案】(1)；0.1359；(2)①；②；③1 【详解】（1）， 因为，所以， 则； （2）①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件，“抽取的零件为乙机床生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件， 则，，，， 则； ②； ③由（1）及（2）①可知，这批零件是次品且性能指标在内的概率， 且随机变量， 所以， 所以随机变量Y的数学期望为1. 18．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）设为棱上的点， 若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系， 依题意可得， 又因为分别为和的中点，得. （Ⅰ）证明：依题意，可得为平面的一个法向量， ，由此可得，， 又因为直线平面，所以平面 （Ⅱ）， 设为平面的法向量，则，即，设，可得， 设为平面的一个法向量，则，得，设，可得 因此有，于是， 所以二面角的正弦值为. （Ⅲ）依题意，可设，其中，则，从而， 又为平面的一个法向量， 由已知得，整理得， 又因为，解得， 所以线段的长为. 19．利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设定义在上的函数，若对于中任意两点，都有，则称是“-利普希兹条件函数”. (1)判断函数，在上是否为“1-利普希兹条件函数”； (2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值； (3)设，若存在，使是“2024-利普希兹条件函数”，且关于的方程在上有两个不相等实根，求的取值范围. 【答案】(1)函数在上是，函数在上不是；(2)1；(3) 【详解】（1）由题知，函数，定义域为， 所以， 所以函数在上是“1-利普希兹条件函数”. 函数，所以， 当时，则， 函数在上不是“1-利普希兹条件函数”. （2）若函数是“利普希兹条件函数” 则对于定义域上任意两个，均有成立， 则恒成立 因为，，所以，得， 所以的最小值为1. （3）解：因为函数是“2024-利普希兹条件函数”， 所以在上恒成立，即在上恒成立，由，得 原方程在上有两个不相等实根等价于 ①,在上有两个不相等实根 令，， 则①式等价于关于的方程在上有两个不相等实根， 即，令, 所以问题等价于直线与函数的图象在上有两个不同的交点，如图. 　　 则，所以 又，所以使得以上不等式成立， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$