精品解析：上海市进才中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

上海市进才中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 （时间90分钟，满分100分） 2024年11月5日 命题教师 毕仁伟 审题教师 姚红 一、填空题（本大题共12题，满分36分，每题3分，请将正确答案直接填写在答题纸相应空格上） 1. 函数的定义域为集合A，集合，则______. 【答案】{4} 【解析】 【分析】先求出函数定义域A，再求A与B的交集即可. 【详解】由不等式，求得， 所以， 所以. 故答案为：. 2. 已知指数函数的图象经过点，则该指数函数的解析式为______. 【答案】 【解析】 【分析】设出解析式为，且，将代入，求出，求出解析式. 【详解】设指数函数解析式为，且，将代入得 ，解得，负值舍去，故指数函数解析式为. 故答案为： 3. 已知，化简______. 【答案】a 【解析】 【分析】根据根式与指数幂的互化与指数幂的运算公式化简可得解. 【详解】因为， 故答案为：. 4. 若，则，这是一个________命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】先得出同号，在得出同为正数. 【详解】由，知为同号， 又，知， 所以这是一个真命题. 故答案为：真 5. 已知，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，9必定是集合中的某一个元素，再分别讨论当和两种情况，结合元素的互异性得出正确答案即可. 【详解】由题意得，， 若，则，此时， 不满足集合元素的互异性， 若，则（舍去）或， 此时，满足题意. 故答案为：. 6. 幂函数的图象关于轴对称，则实数＝_______. 【答案】2 【解析】 【分析】由幂函数系数为1得或，再检验对称性即可. 【详解】函数是幂函数， ∴，解得或， 当时，函数的图象不关于轴对称，舍去； 当时，函数的图象关于轴对称； ∴实数． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了求解幂函数的解析式，解题的关键是熟悉幂函数的性质，属于基础题. 7. 若关于的不等式对任意恒成立，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】由不等式恒成立可知，将不等式左侧看作一个函数，若不等式恒成立，则恒成立.由此可得，只需的最大值即可，求出，则的最小值即为的最大值. 【详解】由题意得，若对任意恒成立， 设，则只需， 又因为， 当时取得最大值， 所以，故的最小值为4. 故答案为：4. 8. 不等式与不等式 解集相同，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据在上单调递增，判断大小列不等式进行解答即可. 【详解】， 在上单调递增, ，即， ， . 故答案为： 9. 已知实数a，b满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】，利用对数运算法则得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】，， 故，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 10. ，若，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式和绝对值不等式成立的条件可求得当时各自的取值范围，进而求出的取值范围. 【详解】由题意得，因为， 所以， 故由基本不等式，， 由绝对值不等式得，， 而由题意， 所以，， 由基本不等式等号成立的条件，当时， 当且仅当， 若， 即数轴上y到0的距离与到1的距离之和为1，则， 所以， 故答案为：. 11. 若集合中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 先得或，根据判别式，以及集合中元素个数，确定方程有两个根，方程有一个根；求出，以及三个元素，再由三个元素恰为直角三角形的三边，求出，得出，即可得出结果. 【详解】由得或， 方程的判别式为， 方程的判别式为， 显然， 又集合中有且只有3个元素， 所以方程和共三个根， 且只能方程有两个根，方程有一个根； 即，即； 所以方程可化为，解得或， 方程可化为，解得， 则， 又这三个元素恰为直角三角形的三边，所以， 解得， 则，因此. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查由集合中元素个数求参数的问题，属于常考题型. 12. 设函数，集合，则下列命题正确的有______. ①当时，集合； ②当时，； ③当，则的取值范围是； ④若（其中），则. 【答案】①④ 【解析】 【分析】对于①，画出的图象，当时，解得或，数形结合解得； 对于②，当时，，解得，②错误； 对于③，令，不妨设，此时满足，但，③错误； 对于④，分析出至少一个为负值，不妨令，对应的解只有一个，为，故要对应3个解，故，则，，结合，求出，④正确. 【详解】对于①，画出的图象，如下： 当时，，解得或， 显然由图象可知，需令，解得， 需令，解得，故，①正确； 对于②，当时，，解得， 由图象可知，需令，解得，故，②错误； 对于③，令，则， ，解得， 设的两根分别为，则， 不妨设， 当，即，由图象可知，， 当，即，令，解得， 满足，但此时，③错误； 对于④，（其中）， 由于，故至少一个为负值，不妨令， 对应的解只有一个，为，故要对应3个解， 故，此时设对应的3个解分别为， 则，，故， 又，故，解得， 则，④正确. 故答案为：①④ 【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填涂在答题纸对应位置．） 13. 如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以，所以. 故选：A 14. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解． 【详解】当时，， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故选：C 15. 已知，则“对任意，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合分析判断即可 【详解】因为对任意，有，而对任意，， 所以， 因为是的真子集， 所以“对任意，”是“”的充分不必要条件， 故选：A 16. 已知a、b、c是三角形的三边，对于代数式，有下列说法：①有最小值，②有最大值3，则（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】C 【解析】 【分析】设，将利用表示，从而可将利用表示，再利用基本不等式可求得最小值，可判断①；由三个不等式相加可判断②，进而可得正确选项 【详解】设， 则， ， 当且仅当即时等号成立，有最小值，故①对， 因为是三角形的三边，所以， ， 即， ， 即, , 即， 所以， 故，故②错， 故选：C 三、解答题（本大题共5题，满分52分，解答要有详细的论证过程与运算步骤，请将解答过程写在答题纸对应位置．） 17. 已知函数（其中，且）. （1）若，求的值. （2）求关于的方程的解. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式，结合完全平方公式可求得的值. （2）将代入函数解析式可得具体方程，再结合完全平方公式可解得方程的解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为， 则， 所以， 又因为，且， 所以. 18. （1）已知，求证：. （2）证明：是无理数. 【答案】（1）证明：， 左式， 右式， 所以左式=右式. （2）证明：假设是有理数， 则，其中为既约分数， 则 ， 则， 这与为偶数，为奇数相矛盾， 所以假设不成立，所以是无理数． 【解析】 【分析】（1）指数式化为对数式，得到左式，右式，证毕； （2）反证法进行证明，假设是有理数，则，其中为既约分数，则，但为偶数，为奇数，相矛盾，故为无理数. 【详解】（1）略 （2）略 19. 随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施．某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时． （1）若车流速度不小于20千米/小时，求车流密度的取值范围； （2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）． 【答案】（1） （2）2450辆/小时，70辆/千米 【解析】 【分析】（1）根据题意令，分别代入两段函数求出对应取值范围即可. （2）根据题意先求出y关于x的函数关系式，再分段讨论y的最大取值以及对应的x的值. 【小问1详解】 当时，，符合题意； 当时，令，解得，所以. 所以，若车流速度不小于20千米/小时，则车流密度的取值范围是. 【小问2详解】 由题意得， 当时，为增函数，所以，当时等号成立； 当时， . 又因为， 所以 当且仅当，即时等号成立. 所以，隧道内车流量的最大值为2450辆/小时，此时车流密度约为70辆/千米. 20. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）当时，若存在，使得，求的取值范围； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将解析式代入不等式后可得关于a的绝对值不等式，解不等式后再结合解集为，可得a的值. （2）将代入函数解析式，将不等式变形后可构造新函数，将不等式能成立问题转化为函数的最值问题后求出t的取值范围. （3）对a进行分类讨论，分析当a取不同取值范围时不等式的解集是否为R，进而求出a最终的取值范围. 【小问1详解】 不等式的解集为， 所以的解集为， 由，可得，求得， 又因为解集为， 故有， 故． 【小问2详解】 当时，， 若存在，使得， 即存在，使得， 令， 故的最小值， 又， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18， 故， 故使有解的实数的范围为. 【小问3详解】 若恒成立， 则恒成立， 则或恒成立， 即或恒成立. ①当时，解得或， 不等式解集不为（舍）， ②当时，解得或， 不等式解集不为（舍）， ③当时， 解得或， 若不等式解集为， 则， 所以，解得， ④当时，解得或，解集不为（舍）， ⑤当时，解得或，解集不为（舍）， 综上所述，的取值范围是. 21. 若函数对任意的均有，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）全集为，函数，试证明具有性质； （3）具有性质，且，求证：对任意，均有. 【答案】（1）具有性质，理由如下： 对于， 因， 故对任意的成立，即函数具有性质. （2） 当为有理数时，具有性质.理由如下： 而， 显然对任意有理数恒成立，故具有性质； 当为无理数时，具有性质，理由如下： ，故具有性质. 综上所述，当时，均有，故函数具有性质. （3） 假设为中第一个大于0的值，则， 因具有性质，故， 则， 故， 这与矛盾，故假设不成立， 所以对任意，均有. 【解析】 【分析】（1）直接将解析式代入不等式后化简，再结合基本不等式判断是否对任意实数都成立即可. （2）将函数分段讨论，每一段都根据性质的定义判断是否具有性质，再得出在R上是否具有性质. （3）利用反证法，先提出假设为大于0的值，再结合性质的定义可推导出，与题干条件相矛盾，从而得出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市进才中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 （时间90分钟，满分100分） 2024年11月5日 命题教师 毕仁伟 审题教师 姚红 一、填空题（本大题共12题，满分36分，每题3分，请将正确答案直接填写在答题纸相应空格上） 1. 函数的定义域为集合A，集合，则______. 2. 已知指数函数的图象经过点，则该指数函数的解析式为______. 3. 已知，化简______. 4. 若，则，这是一个________命题.（填“真”或“假”） 5. 已知，则实数______. 6. 幂函数的图象关于轴对称，则实数＝_______. 7. 若关于的不等式对任意恒成立，则的最小值为______. 8. 不等式与不等式 解集相同，则______. 9. 已知实数a，b满足，则的最小值为______. 10. ，若，则的取值范围为______. 11. 若集合中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则________. 12. 设函数，集合，则下列命题正确的有______. ①当时，集合； ②当时，； ③当，则的取值范围是； ④若（其中），则. 二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填涂在答题纸对应位置．） 13. 如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（ ） A. B. C. D. 14. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 已知，则“对任意，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 已知a、b、c是三角形的三边，对于代数式，有下列说法：①有最小值，②有最大值3，则（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三、解答题（本大题共5题，满分52分，解答要有详细的论证过程与运算步骤，请将解答过程写在答题纸对应位置．） 17. 已知函数（其中，且）. （1）若，求的值. （2）求关于的方程的解. 18. （1）已知，求证：. （2）证明：是无理数. 19. 随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施．某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时． （1）若车流速度不小于20千米/小时，求车流密度的取值范围； （2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）． 20. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）当时，若存在，使得，求的取值范围； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 21. 若函数对任意的均有，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）全集为，函数，试证明具有性质； （3）具有性质，且，求证：对任意，均有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $