广东省深圳市龙岗区2024—2025学年九年级上学期学科素养期中 试题

2024一2025学年第一学期学科素养期中诊断 九年级数学（第一章~第五章) 说明：全卷共6页，满分100分，考试时长90分钟.请在答题卡上作答，在本卷上作答无效。 第一部分 选择题 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分） 1.如图，隋朝时期的青瓷高足盘是湖北省博物馆重要馆藏文物之一，具有极高的历史价值、文化价值。 关于它的三视图，下列说法中正确的是() A.主视图与左视图相同 B.主视图与俯视图相同 C.左视图与俯视图相同 D.三种视图都相同 正面 2.关于x的一元二次方程x2+x一10=0的一个根为2，则b的值为() (第1题) A.-3 B.2 C.3 D.7 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O.若∠AOB=50, D 则∠ADB的度数为() A.65 B.50° B C.25 D.20° (第3题) 4.如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B和8的两条线段（两条线段的另一端在刻 度尺上分别对应3和5)相互平行.若点A在数轴上表示的数是 一2且点A与刻度尺上的0刻度重合，则AB的长度是() A.3 B.4 C.5 D.6 (第4题) 5. 宽与长的比等于5，-1（≈Q.618)的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感。 2 世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的 设计，如古希腊的帕提依庙等.如图，帕提侬神庙平面图的长约为30 米，则它的宽约为() A.12.36米 B.18.54米 长 C.21.21米 D.48.54米 (第5题) 6.七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧.如图是一个由“七巧板”地砖铺成的地板， 一个小球在该地板上自由地滚动，并随机停留在某块地砖上，已知小球停在任意一点的可能性都 相同，那么小球停在④号地砖上的概率是() ⊙ A号 B.I ⑧ 4 c哈 D. ⑦ ⑥ (第6题) 7.如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心.若OA=2AD,△ABC的周长为4，则 △DEF的周长为() A.6 B.8 C.9 D.12 8.我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根） 的几何解法.以方程x2+5x-14=0即x(x+5)=14为例说明，记载的方法是：构造如图面积是 (+x+5}的大正方形.同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+=81， 因此x=2.则在下列四个构图中，能正确说明方程x2-3x一10=0解法的构图是() A B D x+5 x+5 x+5 D x+5 (第7题) (第8题) 第二部分非选择题 二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分） 9已知号号则。2的值为 0 10.为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会，如图 ()所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品.转动转盘若干次，其中指 针落入优胜奖区域的频率如图(6)所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角近似为 度 小频率 0.5h A 0.4 0.3 优胜奖>0 0.2 纪念奖 0.1 0123456次数（百次） (a) (b) (第10题) 1,若关于x的一元二次方程x?+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 12图(a)是燕尾夹，图(b)是燕尾夹简化的示意图，夹臂AC,BD可分别绕点M,V旋转，不考 患夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即C,D两点重合），AM=BN=20mm,CM=DN=l5mm, MW=8mm.如图(c),当夹子完全张开时（即A,B两点重合），夹嘴间的距离CD的长为 mm. CD) (b) [c) (第12题) (第13题) I3.如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点且满足∠CBE=30°，将△BCE沿BE折叠得到 △CC阳与对角线D交于点K、则的值为 三、解答题（本大题有7小题，共61分） 14.(6分)解一元二次方程： (1)x2+2x=0: (2)x2-6x-391=0. 15.(7分)化学实验课上，杨老师带来了Mg(镁)、A1(铝)、Zn(锌)、Cu(铜)四种金属材料 及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学 生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气.（根据金属活动顺序可知：Mg A1、Zn可以置换出氢气，而Cu不能置换出氢气) Mg Al Zn Cu 12镁 13铝 30锌 29铜 (1)小云同学从中随机抽取一张卡片，抽到“A1”的概率为 (2)小云同学从中随机抽取一张卡片，记下金属名称后，放回洗匀，小南同学再从中随机抽取一张， 请用列表或画树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率. 16.(8分)如图，在平行四边形ABCD中，∠BDC=90,E是AD边上一点，延长BE与CD的处长 线交于点F,连接4F, (1)请从下列条件中选择一个能证明四边形ABDF是矩形的条件，并写出证明过程： ①AE=DE:②BF=BC:③AE=BE (2)若四边形ABDF是矩形，且AB=3,AD=5,求四边形ABCF的面积。 B (第16题) 17.(8分)已知甲商品每件的进价为20元，售价为每件40元. (1)若商场计划对甲商品降价促销，预备从原来售价的每件40元进行两次调价后将售价降为每件 32.4元.若甲商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，甲商品每降价1元时，每月可多销售10件.已知甲商品在原售价为每件40元时的 月销售量为100件.若商场希望甲商品该月的获利为2250元，请问甲商品在原售价的基础上 应降价多少元？ 九年级数学第4页（共6页） 18.(10分)综合与实践 晚上小明在广场上散步，如图(a)所示，AB,CD是广场上的两根电线杆，小明站 在点E处，在两盏路灯B,D的照射下，地面上形成了他的两个影子EH,EG, D 背景 (a) (b) 素村1 两盏路灯B,D的高均为10m,两盏路灯相距40m,小明的身高EF为I5m 素村2 A,C,E,G,H在同一平面内，电线杆和人均垂直于地面 问题 小明在广场中走动时（始终保证影子EG,EH不为0），两个影子端点间的距离GH 提出 是否会发生政变？ 问题解决 (1)如图(b),当小明影子EG长为4.5m时，此时小明到电线杆CD的距 任务1 计算 离EC为多少？ (2)小明在广场上走动的过程中两个影子端点间的距离GH是否会改变？若 任务2 说理 GH的长不变，请求出GH的长；若GH的长度发生变化，请说明理由 任务3 (3)小明在广场的某个位置向上跳起再落下，在该过程中GH最长达到10m, 拓展 请直接写出小明从起跳到落下的过程中，头顶距离地面的最大高度 19.(11分)综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程a2+br+c=0与c2+bx+a=0(ac≠0，a≠c)称为一对“友 好方程” 【示例】如22+7x-3=0的“友好方程”是-3x2+7x+2=0. (1)写出一元二次方程122-7x+1=0的“友好方程”是 【探究】 (2)已知一元二次方程12-7x+1=0的两根为-号名=子请求出它的“友好方程”的两个根. 【猜想】 (3)当△=-4ac≥0时，方程a2+bx+c=0的两根x,名与其“友好方程”c2+bx+a=0的 两根名，x4之间存在的一种特殊关系为 ·(ac≠0，a≠c) 【证明】 :方程a+x+c=0的两根为6=-b+分4c,为=-b-个一4运 2a 2a 方程cd+x+a=0的两根为=-b+-4ac ① 2c (4)请完成上述填空①，并补全证明过程，（备注：证明一组关系即可） h年级数学第5页（共6页） 【拓展】 (5)已知关于x的方程2024x+bx-c=0的两根是，=-1，名=2024 请利用上述结论，直接写 出关于x的方程c(-12-bx+b=2024的两根. 20.(11分)综合与探究 如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，ME与BF交于点P. (1)【特例感知】 如图(a),若四边形ABCD是正方形，当∠APB=∠D时，则线段AB与F的数量关系是 (2)【深入探究】 如图(b),若四边形ABCD是菱形，且∠APB=∠D,则线段AE与BF满足怎样的数量关系？ 请证明你的猜想； 关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路。请选择其中一种思路解决问题。 思路一 思路二 如图，在BC边上取一点M使 如图，在CB的延长线上取一点N使 AM=AB,… AN=AE,… E C (3)【类比迁移】 如图(c,若四边形ABCD是菱形，E为BC的中点，∠APB=∠C=6O°，请求出E的值： BE (4)【联系拓广】 如图(d),在平行四边形ABCD中，AD=3,AB=4,∠C=60°，F是CD边的中点，当点E 在直线BC上运动，且直线AE与直线BF所夹的锐角为6O°时，请直接写BE的长. 】 (c) (备用图) (第20题) 九年级数学第6页（共6页） 2024-2025学年第一学期学科素养期中诊断 九年级数学（第一章～第五章） 参考答案 一、选择题（每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C D B D A C 二、填空题（每小题3分，共15分） 题号 9 10 11 12 13 答案 （或0.5） 72 14 （评分建议：第10题多带了单位“度（°）”不扣分，答案在“69~75”之间都算对，因为是估计，要允许误差的存在。） 三、解答题（共61分） 14.（1） 解： ……………………………………1分 或 ∴， ………………………………3分 （2） 解： ………………………………1分 ………………………………2分 ∴， ………………………………3分 （法2）解：………………………………2分 或 ∴，………………………………3分 （评分建议：解方程的过程如果有问题，则对一个解给1分；若解方程没有过程，直接给出2个根，则按对一个给1分，即最多给2分。） 15. （1）；………………………………2分 （2）解：用分别表示、、、，画树状图如下： ………………………………5分 由树状图可知，共有中等结果，其中小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的结果有种， ∴小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率为。………………………………6分 （评分建议：第（2）问，若用树状图的方法，不要求列出所有结果，即树状图正确3分，最后概率正确1分；若用列表法，必须有结果的呈现，若表格内只打“勾叉”，则列表这3分不给，结果正确给1分。） 16. （1）（法1）选择的条件分别是 ① ； …………1分 证明：∵平行四边形ABCD， ∴AB//CF， ………………………………………2分 ∴， ∵AE=DE， ∴△AEB≌△DEF ………………………………3分 ∴， ∴四边形ABDF是平行四边形，…………………4分 ∵， ∴四边形是矩形；…………………………5分 （法1）选择的条件分别是 ② ；……………………1分 ∵平行四边形ABCD， ∴AD=BC，AB//CF ………………………………2分 ∵BF=BC，∠BDC=90°， ∴DF=CD=AB ………………………………3分 ∵AB//DF ∴四边形ABDF是平行四边形，…………………4分 ∵， ∴四边形是矩形；…………………………5分 （评分建议：第（1）问中，若选择条件③，则不给这1分，看证明过程是否有得分点，酌情给分；证明过程中，建议“平行四边形的性质1分，全等的证明或三线合一1分，平行四边形判定1分，矩形判定1分”，合4分。） （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，…………………………………………………6分 ∴四边形的面积．……………………8分 17.解：（1）设两次调价的降价率为m，则 ………………………………………………2分 解得： ，（舍去） ……………………………………3分 答：这个降价率为10%。……………………………………………………4分 （2）设甲商品降价x元，则 …………………………………………6分 解得： ………………………………………………………7分 答：甲商品在原售价的基础上应降价5元。………………………………8分 （评分建议：若两个问用了同一个字母x，则需扣1分；若解设和答的表述不清楚（如没有带单位），全题只扣1分。） 18. 解：（1）由题意可知EF⊥CG，CD⊥CG， ∴∠G=∠G，∠GEF=∠GCD=90°， ∴△GEF∽△GCD，………………………………1分 ∴………………………………………2分 即，解得：EC=25.5……………3分 答：小明到路灯CD的距离EC为25.5米。………………4分 （评分建议：没有证相似直接写比例式的，扣1分。） （2）由（1）同理可证：△HEF∽△HAB， ∴，…………………………………………5分 由（1）可知， ∵AB=CD， ∴ ∴………………………………………6分 又∵∠GEH=∠CEA， ∴△GEH∽△CEA，……………………………………7分 ∴ 解得：， 答：GH的长不变，长为m。 ……………………8分 （3） 2 。……………………10分 19. 解：（1）；………………………2分 （2） 或 ∴，………………………………………5分 （3），；（或两方程的根互为倒数；或两方程的根乘积为1）………6分 （评分建议：这里猜想只要有根的乘积为1的意思就可以给分） （4）【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为， ；……………7分 ∴…………………………………………………8分 ……………………………………9分 同理，。 （评分建议：证出一组乘积为1即可，另一组乘积可以忽略） （5）0或2025。……………………………11分 解析：方程的“友好方程”是，解为 ，。 ∵ 即，， ∴，。 20. （1）AE=BF；……………………………………………………………………2分 （2）（法1）在BC边上取一点M使得AM=AB，则∠AMB=∠ABM， ∴∠AME=∠C …………………………3分 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，AB//CD，∠ABC=∠D=∠APB，…………………………………………4分 ∴∠1=∠2 ∵∠APB=∠PBE+∠3=∠PBE+∠2=∠ABC ∴∠1=∠2=∠3 ………………………5分 又∵AM=AB=BC， ∴△AME≌△BCF ∴AE=BF。………………………………6分 （法2）在CB的延长线上取一点N使得AN=AE，则∠3=∠N， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，AD//BC，AB//CD，………………………3分 ∴∠ABC=∠D=∠APB，∠1=∠2 ∴∠ABN=∠C ………………………4分 ∠APB=∠PBE+∠3=∠PBE+∠2=∠ABC ∴∠1=∠2=∠3=∠N………………………5分 ∴△ABN≌△BCF ∴AE=AN=BF。……………………………6分 （评分建议：全等的三个条件各1分，结论1分。） （3）（法1）在BC边上找一点M使得FC=FM， 则∠FMC=∠C=∠APB=60°，△FMC为等边三角形。 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB//CD， ∴∠ABE=∠BMF=120°，…………………………7分 ∵∠APB=∠FBC+∠1=∠FBC +∠2=∠FMC ∴∠1=∠2 ∴△ABE∽△BMF…………………………………8分 ∵E是BC的中点， ∴,即BM=2CM， ∴ …………………………9分 （法2）在CB延长上找一点N使得AN=AB，连接BD ∵四边形ABCD是菱形，∠APB=∠C=60°， ∴△ANB、△BCD为等边三角形 ∴∠N=∠4=60°………………………………7分 ∵∠APB=∠1+∠PBE=∠3+∠PBE=∠DBC ∴∠1=∠3 ∴△ENA∽△BDF………………………8分 ∵E是BC的中点，即BD=NB=2BE, ∴。………………………9分 （评分建议：相似的两个判定条件各1分，结论1分。） （4）。………………………11分 （评分建议：1个正确答案给1分，共2分。） 解析：当点E在点B的左侧时，如图数据，易证△GBA∽△GAP， 则，， 由 △PEB∽△PAG得； 当点E在点B的右侧时，如图数据，易证△BPA∽△BAG， 则，， 由 △APG∽△EPB得。 学科网（北京）股份有限公司 $$