江苏省无锡市江阴市江华士片区2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

贴条形码区 正面朝上，切勿贴出虚线方框 2024—2025学年度第一学期期中考试 初二数学 姓名： 班级： 学号： 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19.（8分） （1）①作图；②作图 （2）作图 第1页   共6页 20.（6分） 21.（6分） 第2页   共6页 22.（8分） 23.（8分） 第3页   共6页 24.（10分） 第4页   共6页 25.（10分） （1） （2） （3） 米 第5页   共6页 26.（10分） （1）BM = . （2） （3）当 t = s时，点M在∠BCA的角平分线上。 第6页   共6页 初二数学期中考试参考答案 1、 选择题 1.C 2.A 3.B 4.C 5.A 6.C 7. B 8.D 9. D 10.D 2、 填空题 11. 3265 12. 15° 13. 15 14. 12 15. 5 16. 20 17. 32 18. 7.5 三、解答题 19. （1）①如图所示，△A′B′C′即为所求；（2分） ②如图所示，连接A'B，与直线l的交点P即为所求．（2分） （2）点P即为所求（角平分线及垂直平分线各2分） 20. 证明：（1）∵AC∥DF， ∴∠A=∠FDE（1分） 在△ABC和△DEF中， AC = FD ∠ A =∠ FDE AB = DE ∴△ABC≌△DEF（SAS）（4分） （2）∵△ABC≌△DEF， ∴∠ABC=∠E，（5分） ∴BC∥EF． （6分） 21. （1）解：∵DE为AB的垂直平分线， ∴DA=DB(1分） ∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=AC+BC=10+6=16（cm） (3分） （2）解：∵AB=AC，∠A=50°， ∴∠ABC=∠C=65°（4分） ∵DA=DB，∠A=∠ABD=50°（5分） ∴∠CBD=65°-50°=15°（6分）． 22.（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°．(2分） 在Rt△BDE和Rt△CDF中，∠BED=∠CFD=90°， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴EB=FC．（4分） （2）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC ∠EAD=∠FAD ∠BED=∠AFD=90°（6分） 在△ADE和△ADF中， ∠EAD=∠FAD ∠BED=∠AFD AD=AD ∴△ADE≌△ADF（AAS） ∴AE=AF（7分）， ∵EB=FC=3， ∴AE=AF=AC-CF=16-3=13，∴AB=AE-BE=13-3=10，（8分） 23. （1）由勾股定理得，CD2=BC2-BD2=252-152=400 （1分） 由CD>0,得CD=20 （2分） ∴CE=CD+DE=20+1.6=21.6 （3分） 答：风筝的垂直高度CE为21.6米 （4分） （2）如图，由题意的，DF=CD-CF=8，(5分) 由勾股定理的，BF2=BD2+DF2=152+82=289（6分） 由BF>0得BF=17 ∴BC-BF=25-17=8（米）（7分）， ∴他应该往回收线8米．（8分） 24.解：（1）EF⊥BD．（1分） 理由如下：连接BE、DE ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为AC中点， ∴BE=AC， DE=AC ∴BE=DE (3分) ∵F是BD的中点， ∴EF⊥BD；（4分） （2）∵AC=10，BD=10，E、F分别是边AC、BD的中点， ∴BE=AC=5，BF=BD=3，(7分) ∵EF⊥BD． ∴∠BFE=90° （8分） 由勾股定理得，EF2=BE2-BF2=52-32=16 (9分) 由EF>0得EF=4. （10分） 25．（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD，（1分） ∵AD⊥BC， ∴∠BDA=∠CDA=90°， ∴∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°，（3分） ∴∠B=∠C， ∴AB=AC；（4分） （2）证明：如图2，延长BD交AC于E点， ∵AD平分∠BAC，AD⊥BD， 由（1）可得∠ABE=∠AEB，AB=AE， ∴BE=2BD(6分) ∵AC-AB=2BD ∴AC-AE=BE 即BE=CE ∴∠C=∠EBC（7分） ∵∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC=2∠C ∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=2∠C+∠C=3∠C（8分） （3）答：需要40米的围挡才能将△CMN围成一圈．（2分） 26.（1）21-2t （1分） （2）作CH⊥AB，垂足H 设BH=X,则AH=21-XH 由勾股定理可得，BC2-BH2=AC2-AH2 ∴102-x2=172-（21-x）2，求出x=6 ∴BH=6,CH=8 (4分） ①当BM=BC时，21-2t=10，t=5.5（5分） ②当BC=CM时，21-2t=12，t=4.5 （6分） ③当BM=CM时，（15-2t）2+82=（21-2t）2，t=（7分） 综上所述，当t是5.5、4.5、t=是等腰三角形（8分） （3）t= (10分） 学科网（北京）股份有限公司 $$初二数学期中考试参考答案 一、选择题 1.C 2.A 3.B 4.C 5.A 6.C 7. B 8.D 9. D 10.D 二、 填空题 11. 3265 12. 15° 13. 15 14. 12 15. 5 16. 20 17. 32 18. 7.5 三、解答题 19. （1）①如图所示，△A′B′C′即为所求；（2 分） ②如图所示，连接 A'B，与直线 l 的交点 P 即为所求．（2 分） （2）点 P 即为所求（角平分线及垂直平分线各 2 分） 20. 证明：（1）∵AC∥DF， ∴∠A=∠FDE（1 分） 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF（SAS）（4 分） （2）∵△ABC≌△DEF， ∴∠ABC=∠E，（5 分） ∴BC∥EF． （6 分） 21. （1）解：∵DE 为 AB 的垂直平分线， ∴DA=DB(1 分） ∴△BCD 的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=AC+BC=10+6=16（cm） (3 分） （2）解：∵AB=AC，∠A=50°， ∴∠ABC=∠C=65°（4 分） ∵DA=DB，∠A=∠ABD=50°（5 分） ∴∠CBD=65°-50°=15°（6 分）． 22.（1）证明：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F， ∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°．(2 分） 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，∠BED=∠CFD=90°， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴EB=FC．（4 分） （2）解：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC ∠EAD=∠FAD ∠BED=∠AFD=90°（6 分） 在△ADE 和△ADF 中， ∴△ADE≌△ADF（AAS） ∴AE=AF（7 分）， ∵EB=FC=3， ∴AE=AF=AC-CF=16-3=13，∴AB=AE-BE=13-3=10，（8 分） ∠EAD=∠FAD ∠BED=∠AFD AD=AD 23. （1）由勾股定理得，CD2=BC2-BD2=252-152=400 （1 分） 由 CD>0,得 CD=20 （2 分） ∴CE=CD+DE=20+1.6=21.6 （3 分） 答：风筝的垂直高度 CE 为 21.6 米 （4 分） （2）如图，由题意的，DF=CD-CF=8，(5 分) 由勾股定理的，BF2=BD2+DF2=152+82=289（6 分） 由 BF>0 得 BF=17 ∴BC-BF=25-17=8（米）（7 分）， ∴他应该往回收线 8 米．（8 分） 24.解：（1）EF⊥BD．（1 分） 理由如下：连接 BE、DE ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E 为 AC 中点， ∴BE= 2 1 AC， DE= 2 1 AC ∴BE=DE (3 分) ∵F 是 BD 的中点， ∴EF⊥BD；（4 分） （2）∵AC=10，BD=10，E、F 分别是边 AC、BD 的中点， ∴BE= 2 1 AC=5，BF= 2 1 BD=3，(7 分) ∵EF⊥BD． ∴∠BFE=90° （8 分） 由勾股定理得，EF2=BE2-BF2=52-32=16 (9 分) 由 EF>0 得 EF=4. （10 分） 25．（1）证明：∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD，（1 分） ∵AD⊥BC， ∴∠BDA=∠CDA=90°， ∴∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°，（3 分） ∴∠B=∠C， ∴AB=AC；（4 分） （2）证明：如图 2，延长 BD 交 AC 于 E 点， ∵AD 平分∠BAC，AD⊥BD， 由（1）可得∠ABE=∠AEB，AB=AE， ∴BE=2BD(6 分) ∵AC-AB=2BD ∴AC-AE=BE 即 BE=CE ∴∠C=∠EBC（7 分） ∵∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC=2∠C ∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=2∠C+∠C=3∠C（8 分） （3）答：需要 40 米的围挡才能将△CMN 围成一圈．（2 分） 26.（1）21-2t （1 分） （2）作 CH⊥AB，垂足 H 设 BH=X,则 AH=21-X 由勾股定理可得，BC2-BH2=AC2-AH2 ∴102-x2=172-（21-x）2，求出 x=6 ∴BH=6,CH=8 (4 分） ①当 BM=BC 时，21-2t=10， t=5.5（5 分） ②当 BC=CM 时，21-2t=12， t=4.5 （6 分） ③当 BM=CM 时，（15-2t） 2+82=（21-2t） 2， t= 3 19 （7 分） 综上所述，当 t 是 5.5、4.5、 t= 3 19 是等腰三角形（8 分） （3） t= 18 119 (10 分） H 1 2024—2025 学年度第一学期期中考试试卷 初 二 数 学 命题人：郭明其 审核人：华晓忠 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题所给出的四 个选项中，只有一项是正确） 1．下列汽车标志中，不是轴对称图形的是 （ ） A． B． C． D． 2.如图，△ABC≌△DEC，B、C、D 在同一直线上，且 CE=8，AC=10，则 BD 长( ) A.18 B.20 C.22 D.21 3．在下列说法中，正确的是 （ ） A．如果两个三角形全等，则它们一定能关于某直线成轴对称 B．成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分； C．等腰三角形的对称轴是底边上的高 D．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧 4.如图，若 AB=AC，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD 的是 （ ） A.∠B=∠C B．AE=AD C．BE=CD D．∠AEB=∠ADC 5.第三届“一带一路”国际合作高峰论坛于 2023 年 10 月 17 日至 18 日 在北京举行．“一带一路”正在成为惠及各国人民的“发展带”“幸福 路”．如图，若记北京为 A 地，莫斯科为 B 地，雅典为 C 地，若想建立 一个货物中转仓，使其到 A、B、C 三地的距离相等，则中转仓的位置应 选在 （ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 6. 等腰三角形的一个外角为 130°，则这个三角形的底角的大小是（ ） A．50° B．50°或 80° C．50°或 65° D．80° 第 2 题图 第 4题图 第 5题图 2 第 8 题图 第 9题图 第 10题图 7．在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c，下列条件中，不能判 断△ABC 是直角三角形的是 （ ） A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝b，∠C＝45° C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．a＝7，b＝24，c＝25 8.如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所 示的“三等分角仪“能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB 组成，两根棒在 O点相连并可绕 O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点 D、E可在 槽中滑动，若∠BDE＝78°，则∠CDE 的度数是 （ ） A．70° B．72° C．74° D．76° 9.如图，长方体的底面边长分别为 3cm 和 9cm,高为 7cm.若一只蚂蚁从 P点开 始经过 4个侧面爬行一圈到达 Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长 ( ) A.20 B. 22 C.24 D.25 10.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EF∥BC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，过点 O作 OD⊥AC 于点 D，下列四个结论： ①BE＝EF﹣CF；②点 O到△ABC 各边的距离相等；③AD= 2 1 （AB+AC-BC）； ④设 OD＝2m，AE+AF＝n，则 S△AEF＝mn，其中正确结论的个数有 （ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．不需写出解答过程， 只需把答案直接填写在答卷的相应的位置） 11．如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 ． 12．若△ABC≌△DEF，∠A＝105°，∠E＝60°，则∠C＝ ． 13.等腰三角形的两边长分别是 3和 6，那么这个三角形的周长是 ． 14. 已知等腰△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC 的面积为 ． 15．如图是 3×3 的正方形网格，要在图中再涂黑一个小正方形，使得图中黑色 的部分成为轴对称图形，这样的小正方形有 个． 16．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，若正方形 A，B，C，D的面积分别是 5，3，5，7，则最大 的正方形 E 的面积是 ． 第 11题图 第 15题图 第 16题图 3 17．如图，四边形 ABCD 中，AC=BC，∠ACB=∠ADC=90°，CD=8，则△BCD 的面积为 ． 18.如图，△ABC 中，AB＝9，AC＝12，BC＝15．将△ABC 沿射线 BM 折叠，使点 A 与 BC 边上的点 D 重合，E 为射线 BM 上一个动点，当△CDE 周长最小时，CE 的长为 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分．请在答卷的指定区域内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题 8分）（1）如图 1，在长度为 1个单位长度的小正方形组成的正 方形网格中，点 A，B，C在小正方形的顶点上． ①在图中画出与△ABC 关于直线 l成轴对称的△A'B'C'； ②在图中直线 l上找一点 P，使 PA+PB 的长最短． （2）在图 2的△ABC 中，试求作一点 P，使得点 P到 B、C两点的距离相等， 并且到 AB、BC 两边的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 20.（本题 6分）已知：如图，AC∥DF，AC＝DF，AB＝DE． 求证：（1）△ABC≌△DEF； （2）BC∥EF． 第 17 题图 第 18题图 图 1 图 2 4 21．（本题 6 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，∠A＝50°， DE 为 AB 的垂直平分线，分别交 AB、AC 于点 E、D． （1）求△BCD 的周长； （2）求∠CBD 的度数． 22.（本题 8分）如图，如图，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，且 DB=DC. （1）求证：EB=FC； （2）已知 AC=16，BE=3，求 AB 的长． 23．（本题 8分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”.又到了放风筝的最佳 时节.某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风 筝的垂直高 CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离 BD 的长为 15 米；②根 据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC 的长为 25 米；③牵线放风筝的小明的身 高为 1.6 米. （1）求风筝的垂直高度 CE； （2）如果小明想风筝沿 CD 方向下降 12 米，则他应该往回收线多少米？ 5 24．（本题 10 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别 是 AC、BD 的中点． （1）请你猜想 EF 与 BD 的位置关系，并给予证明． （2）若 AC＝10，BD＝6，求 EF 的长． 25.（本题 10 分）【情境建模】（1）我们知道“等腰三角形底边上的 高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向 思考：如图 1，点 D 在△ABC 的边 BC 上，AD 平分∠BAC，且 AD⊥BC，则 AB=AC．请你帮助小明完成证明． 【理解内化】（2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论 解决下列问题： 如图 2，已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC，AD⊥BD，AC-AB=2BD． 求证：∠ABC=3∠C 【拓展应用】（3）如图 3，△ABC 是两条公路岔路口绿化施工的一块区 域示意图，其中∠ACB=90°，AC=60 米，BC=80 米，该绿化带中修建了 健身步道 OA、OB、OM、ON、MN，其中入口 M、N 分别在 AC、BC 上，步道 OA、OB 分别平分∠BAC 和∠ABC，OM⊥OA，ON⊥OB．现要在△CMN 区域修 建公共设施，试求需要多少米的围挡才能将△CMN 围成一圈？（步道宽 度忽略不计）请直接写出需要围栏为 米。 6 26.（本题 10 分）如图，△ABC 中，AB=21cm,AC=17cm,BC=10cm,点 M 从 A 点开始以 2cm/s 的速度沿 AB 向 B 点运动，设出发的时间为 t 秒． （1）BM= (用含 t 的代数式表示） （2）问 t 为何值时，△BCM 为等腰三角形？ （3）当 t= s 时，点 M 在∠BCA 的角平分线上。 备用图 2024—2025学年度第一学期期中考试试卷 初 二 数 学 命题人：郭明其 审核人：华晓忠 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确） 1．下列汽车标志中，不是轴对称图形的是 （ ） A． B． C． D． 2.如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE=8，AC=10，则BD长( ) A.18 B.20 C.22 D.21 3．在下列说法中，正确的是 （　 ） A．如果两个三角形全等，则它们一定能关于某直线成轴对称 B．成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分； C．等腰三角形的对称轴是底边上的高 D．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧 4.如图，若AB=AC，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是 （　） A.∠B=∠C B．AE=AD C．BE=CD D．∠AEB=∠ADC 5.第三届“一带一路”国际合作高峰论坛于2023年10月17日至18日 在北京举行．“一带一路”正在成为惠及各国人民的“发展带”“幸福路”．如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应 选在 （　） A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 第5题图 第4题图 第2题图 6. 等腰三角形的一个外角为130°，则这个三角形的底角的大小是（　　） A．50° B．50°或80° C．50°或65° D．80° 7．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是 （ ） A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝b，∠C＝45° C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．a＝7，b＝24，c＝25 8.如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所 示的“三等分角仪“能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动，若∠BDE＝78°，则∠CDE的度数是 （ ） A．70° B．72° C．74° D．76° 9.如图，长方体的底面边长分别为3cm和9cm,高为7cm.若一只蚂蚁从P点开 始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长 ( ) A.20 B. 22 C.24 D.25 10.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论： ①BE＝EF﹣CF；②点O到△ABC各边的距离相等；③AD=（AB+AC-BC）； ④设OD＝2m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，其中正确结论的个数有 （　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第8题图 第10题图 第9题图 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答卷的相应的位置） 11．如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 ． 12．若△ABC≌△DEF，∠A＝105°，∠E＝60°，则∠C＝ ． 13.等腰三角形的两边长分别是3和6，那么这个三角形的周长是 　 　． 14. 已知等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC的面积为 ． 15．如图是3×3的正方形网格，要在图中再涂黑一个小正方形，使得图中黑色的部分成为轴对称图形，这样的小正方形有 个． 16．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别是5，3，5，7，则最大的正方形E的面积是 　 　． 第16题图 第11题图 第15题图 17．如图，四边形ABCD中，AC=BC，∠ACB=∠ADC=90°，CD=8，则△BCD的面积为 ． 18.如图，△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝15．将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合，E为射线BM上一个动点，当△CDE周长最小时，CE的长为 第17题图 第18题图 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答卷的指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题8分）（1）如图1，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上． ①在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'； ②在图中直线l上找一点P，使PA+PB的长最短． （2）在图2的△ABC中，试求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到AB、BC两边的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 图2 图1 20.（本题6分）已知：如图，AC∥DF，AC＝DF，AB＝DE． 求证：（1）△ABC≌△DEF； （2）BC∥EF． 21．（本题6分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，∠A＝50°，DE为AB的垂直平分线，分别交AB、AC于点E、D． （1）求△BCD的周长； （2）求∠CBD的度数． 22.（本题8分）如图，如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC. （1）求证：EB=FC； （2）已知AC=16，BE=3，求AB的长． 23．（本题8分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”.又到了放风筝的最佳时节.某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米. （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 24．（本题10分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）请你猜想EF与BD的位置关系，并给予证明． （2）若AC＝10，BD＝6，求EF的长． 25.（本题10分）【情境建模】（1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考：如图1，点D在△ABC的边BC上，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则AB=AC．请你帮助小明完成证明． 【理解内化】（2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题： 如图2，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD，AC-AB=2BD． 求证：∠ABC=3∠C 【拓展应用】（3）如图3，△ABC是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中∠ACB=90°，AC=60米，BC=80米，该绿化带中修建了健身步道OA、OB、OM、ON、MN，其中入口M、N分别在AC、BC上，步道OA、OB分别平分∠BAC和∠ABC，OM⊥OA，ON⊥OB．现要在△CMN区域修建公共设施，试求需要多少米的围挡才能将△CMN围成一圈？（步道宽度忽略不计）请直接写出需要围栏为 米。 26.（本题10分）如图，△ABC中，AB=21cm,AC=17cm,BC=10cm,点M从A点开始以2cm/s的速度沿AB向B点运动，设出发的时间为t秒． （1）BM= (用含t的代数式表示） （2）问t为何值时，△BCM为等腰三角形？ （3）当t= s时，点M在∠BCA的角平分线上。 备用图 6 学科网（北京）股份有限公司 $$