专题4.1 实数中的综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题4.1 实数中的综合 · 思想方法 整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 方程思想：指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程（组），然后通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式。 · 知识点总结 一、平方根的概念及表示 1.定义：如果，那么叫做的平方根，也称为二次方根. 2.表示方法：正数的正的平方根记作，负的平方根记作，正数的两个平方根记作，读作正、 负根号，其中叫做被开方数. 二、平方根的性质 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 三、开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方． 四、算术平方根的概念 正数有两个平方根，我们把正数的正的平方根，叫做的算术平方根． 五、算术平方根的性质 1.正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0； 2.负数没有算术平方根.当时，； 3.算术平方根具有双重非负性：；. 六、立方根的概念及性质 1.一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。 2.正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 七、开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 八、无理数的概念 无理数：无限不循环小数叫无理数． 无理数常见的三种类型： （1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数． 九、实数的分类 · 典例分析 【典例1】新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： （1）的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； （2）若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． （3）实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【思路点拨】 （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）根据“青一区间”的定义求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可； （3）利用非负性求出的值，再进行求解即可． 【解题过程】 解：（1）∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）∵无理数“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∵无理数的“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为2或． （3）∵ ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． · 学霸必刷 1．（2023下·安徽亳州·七年级校考阶段练习）若与是同一个数的平方根，则的值是（    ）． A． B．或1 C．1 D． 2．（2023上·浙江杭州·七年级统考期中）已知a是的整数部分，b是的小数部分，则的平方根是（    ） A．3 B．±3 C．5 D．±5 3．（2023下·重庆彭水·七年级校联考期末）对实数，定义一种新运算，规定：（其中为非零常数）；例如：；已知，给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2023上·浙江温州·七年级校联考期中）若，其中a，b均为整数，则 ． 5．（2023下·重庆潼南·七年级校联考期中）对于一个三位正整数，若各个数位上的数字都不为，且百位数字与个位数字之和恰好等于十位数字的两倍，则称这个三位正整数叫“中项两倍数”把“中项两倍数”的各个数字之和被整除的商记为其中，能被整除，且为有理数的所有“中项两倍数”的值为 ． 6．（2023上·浙江杭州·七年级校考期中）将、、、……按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，则： ①（6，6）表示的数是 ； ②若在（x，y），则（2x﹣y）3的值为 ． 7．（2023上·湖南岳阳·八年级统考期末）若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为 ． 8．（2023上·河南周口·八年级校考期中）计算． （1） （2） 9．（2023下·山东济宁·七年级统考期中）已知，x为的整数部分，y为的小数部分．求的值． 10．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）探究发散： （1）完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； （2）计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ （3）利用你总结的规律，计算：若，则______； （4）有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 11．（2023上·河南开封·八年级校考阶段练习）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．    （1）求的值； （2）在数轴上另有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求线段的中点与点之间的距离． 12．（2023上·山东·八年级专题练习）如图，数轴上A点表示的数是，P是数轴上一动点．    （1）在数轴上，把点A向左平移4个单位长度得到点B，求点B表示的数； （2）若点C表示的数是B所表示数的相反数，求点C表示的数； （3）若点P从点A向点B以每秒3个单位长度向B运动，到达点B后又向A运动，到达A后再向B运动，如此往复运动问当点P运动2022秒时，点P与点C的位置有什么关系？请说明理由． 13．（2023下·安徽六安·七年级校考阶段练习）由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数，为无理数，且，则，． （1）如果，其中a，b为有理数，求的平方根； （2）如果，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值． 14．（2023下·安徽淮北·七年级淮北一中校联考阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． （1）依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； （2）81的四次方根为______；的五次方根为______； （3）若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； （4）求的值：． 15．（2023下·山东济宁·七年级统考期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： （1）的小数部分是________，的小数部分是________． （2）若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． （3）若，其中x是整数，且，求的值． 16．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： （1）由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______； （2）已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根． 17．（2023上·浙江温州·七年级校考期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了图1样式的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4．    （1） A类正方形的边长是________； （2）求长方形邀请函的周长； （3）小李建议将图1正中间的正方形去掉，以中间的“工”形代表“工作之星”的含意，如图2所示，则修改后的阴影部分的周长是________． 18．（2023上·广东河源·八年级校考阶段练习）根据下表回答下列问题： 17 18 （1）的算术平方根是 ，的平方根是 ； （2） ；（保留一位小数） （3） ， ； （4）若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； （5）若这个数的整数部分为m，求的值． 19．（2023下·湖南长沙·七年级长沙麓山外国语实验中学校考阶段练习）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． （1）无理数的“麓外区间”是_________； （2）若其中一个无理数的“麓外区间”为且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求值． （3）实数x，y，m满足关系式： ，求的算术平方根的“麓外区间”． 20．（2023下·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考期中）单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5 （1）仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； （2）继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； （3）综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 实数中的综合 · 思想方法 整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 方程思想：指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程（组），然后通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式。 · 知识点总结 一、平方根的概念及表示 1.定义：如果，那么叫做的平方根，也称为二次方根. 2.表示方法：正数的正的平方根记作，负的平方根记作，正数的两个平方根记作，读作正、 负根号，其中叫做被开方数. 二、平方根的性质 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 三、开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方． 四、算术平方根的概念 正数有两个平方根，我们把正数的正的平方根，叫做的算术平方根． 五、算术平方根的性质 1.正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0； 2.负数没有算术平方根.当时，； 3.算术平方根具有双重非负性：；. 六、立方根的概念及性质 1.一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。 2.正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 七、开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 八、无理数的概念 无理数：无限不循环小数叫无理数． 无理数常见的三种类型： （1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数． 九、实数的分类 · 典例分析 【典例1】新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： （1）的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； （2）若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． （3）实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【思路点拨】 （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）根据“青一区间”的定义求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可； （3）利用非负性求出的值，再进行求解即可． 【解题过程】 解：（1）∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）∵无理数“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∵无理数的“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为2或． （3）∵ ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． · 学霸必刷 1．（2023下·安徽亳州·七年级校考阶段练习）若与是同一个数的平方根，则的值是（    ）． A． B．或1 C．1 D． 【思路点拨】 分两种情况讨论：当与相等，当与互为相反数，再建立方程求解即可. 【解题过程】 解：∵与是同一个数的平方根， 当与相等时，则， 解得：， 当与互为相反数时， ∴， 解得：； 综上：或； 故选B. 2．（2023上·浙江杭州·七年级统考期中）已知a是的整数部分，b是的小数部分，则的平方根是（    ） A．3 B．±3 C．5 D．±5 【思路点拨】 本题考查估算无理数大小，平方根，代数式求值．先通过估算无理数求得到a、b值，再代入求出代数式值，然后根据平方根定义求解即可． 【解题过程】 解：∵ ∴ ∵a是的整数部分，b是的小数部分 ∴， ∴ ∴的平方根 故选：D． 3．（2023下·重庆彭水·七年级校联考期末）对实数，定义一种新运算，规定：（其中为非零常数）；例如：；已知，给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 根据新定义运算法则，一元一次不等式的解法，平方根的定义判断即可． 【解题过程】 解：， ， 解得：，故①正确； 若，， 则，故②正确； ， 解得：，故③错误； ， 当时，有最小值，故④错误． 故选：B． 4．（2023上·浙江温州·七年级校联考期中）若，其中a，b均为整数，则 ． 【思路点拨】 先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解 【解题过程】 解：∵，其中a，b均为整数， 又∵， ①当，时， ∴， ∴ ②当，时， ∴或， ∴或 ③当，时， ∴或， ∴或 故答案为：4或2或0． 5．（2023下·重庆潼南·七年级校联考期中）对于一个三位正整数，若各个数位上的数字都不为，且百位数字与个位数字之和恰好等于十位数字的两倍，则称这个三位正整数叫“中项两倍数”把“中项两倍数”的各个数字之和被整除的商记为其中，能被整除，且为有理数的所有“中项两倍数”的值为 ． 【思路点拨】 由是“中项两倍数”，得，再由能被整除，可得为整数，从而求得的值，再根据为有理数，为有理数，求得的值，最后由求得的值，便可求得． 【解题过程】 解：是“中项两倍数”， ， 能被整除， 为整数， ， 为有理数， 为有理数， 或或， 当，时，， 解得舍， 当，时，， 解得，此时， 当，时，， 解得舍， 综上，， 故答案为：． 6．（2023上·浙江杭州·七年级校考期中）将、、、……按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，则： ①（6，6）表示的数是 ； ②若在（x，y），则（2x﹣y）3的值为 ． 【思路点拨】 观察式子，得到如下规律，第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，根据规律求解即可． 【解题过程】 解：观察式子可得， 第1排的个数为，前1排的总数为， 第2排的个数为，前2排的总数为，从右到左依次增大排列， 第3排的个数为，前3排的总数为，从左到右依次增大排列， 第4排的个数为，前4排的总数为，从右到左依次增大排列， …… 第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列， （6，6）表示第6排从左向右第6个数 前5排的总数为25，第6排的个数为11个，为偶数排，从右向左依次增大， 第6排中，从左向右第6个数，也就是从右向左第6个数， 所以（6，6）表示的数为； 因为， 所以是在第45排，即 第45排，为奇数排，从左向右依次增大， 因为，所以 将，代入得 故答案为：，． 7．（2023上·湖南岳阳·八年级统考期末）若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为 ． 【思路点拨】 按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算． 【解题过程】 解：∵即时，，此时n=1，2，3， ∴； ∵即时，，此时n=4，5，6，7，8， ∴； ∵即时，，此时n=9，10，11，12，13，14，15， ∴=； 由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3， ∵，， ∴即时，， ∴=-44， ∴ =1-2+3-4+5-6+…+43-44 =(1-2)+(3-4)+…+(43-44) = =-22， 故答案为：-22． 8．（2023上·河南周口·八年级校考期中）计算． （1） （2） 【思路点拨】 本题考查了实数的运算． （1）根据立方根、算术平方根的性质化简，再合并即可求解； （2）根据立方根、算术平方根、乘方和绝对值的性质化简，再合并即可求解． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： 9．（2023下·山东济宁·七年级统考期中）已知，x为的整数部分，y为的小数部分．求的值． 【思路点拨】 由，可得a+b=33，再根据x为的整数部分，y为的小数部分，确定x、y的值代入计算即可． 【解题过程】 解：∵，，， ∴∴． ∵，x为的整数部分，y为的小数部分， ∴，．∴． 答：的值为． 10．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）探究发散： （1）完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； （2）计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ （3）利用你总结的规律，计算：若，则______； （4）有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 【思路点拨】 （1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； （2）结合（1）中计算可知不一定等于，并发现其中规律． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可； （4）结合数轴可知，且，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可． 【解题过程】 （1）解：①，②，③， ④，⑤，⑥． 故答案为：3，0.5，6,0，，； （2）由（1）可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 故答案为：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数； （3）若，则， 所以． 故答案为：； （4）由在数轴上的位置可知， ，且， 所以 ． 11．（2023上·河南开封·八年级校考阶段练习）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．    （1）求的值； （2）在数轴上另有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求线段的中点与点之间的距离． 【思路点拨】 （1）利用数轴两点间的距离公式计算即可； （2）利用非负数的性质，得到，的值，代入求值即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴，， ∴点、点所表示的数是一对相反数，即线段的中点为原点， ∴线段中点（即原点）与点之间的距离为． 12．（2023上·山东·八年级专题练习）如图，数轴上A点表示的数是，P是数轴上一动点．    （1）在数轴上，把点A向左平移4个单位长度得到点B，求点B表示的数； （2）若点C表示的数是B所表示数的相反数，求点C表示的数； （3）若点P从点A向点B以每秒3个单位长度向B运动，到达点B后又向A运动，到达A后再向B运动，如此往复运动问当点P运动2022秒时，点P与点C的位置有什么关系？请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，实数的加减运算，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离即可求解； （2）根据相反数的定义即可求解； （3）根据题意，得出P运动2022秒时，P在A点左侧个单位长度，即P表示的数为，进而判断所表示的数的大小，进而即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵数轴上A点表示的数是，把A点向左平移4个单位长度得到B点， ∴B点表示的数为； （2）解：∵点表示的数是B所表示数的相反数， ∴点表示的数为； （3）解：， ∴P运动2022秒时，P在A点左侧2个单位长度，即P表示的数为， 因为表示的数是， ∴， ∵， ∴，即． ∴P在C点的左侧．                                  13．（2023下·安徽六安·七年级校考阶段练习）由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数，为无理数，且，则，． （1）如果，其中a，b为有理数，求的平方根； （2）如果，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值． 【思路点拨】 （1）根据已知可得，，从而可得，，然后代入式子中进行计算即可解答； （2）根据已知易得，从而可得，进而可得，然后利用平方根的意义，进行计算即可解答． 【解题过程】 （1）解：，其中，为有理数， ，， ，， ， 的平方根是； （2）， ， ， ，为有理数， ， 解得：， ，为有理数且是的平方根， ， 的值为． 14．（2023下·安徽淮北·七年级淮北一中校联考阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． （1）依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； （2）81的四次方根为______；的五次方根为______； （3）若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； （4）求的值：． 【思路点拨】 （1）根据题意，进行作答即可； （2）进行开方运算即可； （3）根据定义，进行计算即可； （4）利用四次方根解方程即可． 【解题过程】 （1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根； （2）解：； 故答案为：； （3）解：∵是一个数的四次方， ∴， ∴； ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的五次方， ∴为任意实数． 故答案为：，为任意实数； （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 15．（2023下·山东济宁·七年级统考期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： （1）的小数部分是________，的小数部分是________． （2）若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． （3）若，其中x是整数，且，求的值． 【思路点拨】 （1）确定的整数部分，即可确定它的小数部分；确定的整数部分，即可确定的整数部分，从而确定的小数部分； （2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值，从而求得其平方根； （3）由得即，从而得x=9，y=，将x、y的值代入原式即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为， ∵， ∴， ∴即， ∴的整数部分为1， ∴的小数部分为， 故答案为：，； （2）解：∵，a是的整数部分， ∴a=9， ∵， ∴的整数部分为1， ∵b是的小数部分， ∴， ∴ ∵9的平方根等于， ∴的平方根等于； （3）解：∵， ∴即， ∵，其中x是整数，且， ∴x=9，y=， ∴． 16．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： （1）由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______； （2）已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根． 【思路点拨】 （1）按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）按照题给方法，依次推算即可； 【解题过程】 （1）∵ ∴ 是两位数 ∵ 的个位上的数是 9 ∴ 的个位上的数字是 9 ∵划去59319后面的三位 319 得到数 59 ， ∴ 的十位上的数字是 3 故答案是：两，9，3 ； （2）①求 32768 的立方根 ∵ ∴ 的立方根是两位数 ∵ 个位数是 8 ∴ 的立方根个位数是 2 ∵ ∴ 的立方根十位数是 3 综合可得 32768 的立方根是 32 ②求立方根 ∵ ∴ 的立方根是两位数 ∵ 个位数是 5 ∴ 的立方根个位数是 5 ∵ ∴274625的立方根十位数是6 ∴274625的立方根65 ∴的立方根是． 17．（2023上·浙江温州·七年级校考期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了图1样式的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4．    （1） A类正方形的边长是________； （2）求长方形邀请函的周长； （3）小李建议将图1正中间的正方形去掉，以中间的“工”形代表“工作之星”的含意，如图2所示，则修改后的阴影部分的周长是________． 【思路点拨】 本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是，则长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解即可； （3）如图，由题意知，阴影部分由两个类长方形，两个类长方形，一个类正方形组成，则类长方形的长为，宽为2，周长为；类长方形的长为2，宽为，周长为；根据阴影部分的周长为，计算求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴长方形的长为，宽为， ∵， ∴长方形邀请函的周长为； （3）解：如图，由题意知，阴影部分由两个类长方形，两个类长方形，一个类正方形组成，    类长方形的长为，宽为2，周长为； 类长方形的长为2，宽为，周长为； ∴阴影部分的周长为， 故答案为：． 18．（2023上·广东河源·八年级校考阶段练习）根据下表回答下列问题： 17 18 （1）的算术平方根是 ，的平方根是 ； （2） ；（保留一位小数） （3） ， ； （4）若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； （5）若这个数的整数部分为m，求的值． 【思路点拨】 （1）可得，，由算术平方根和平方根的定义即可求解； （2）可得，由，，即可求解； （3）开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；据此即可求解； （4）可得，从而可求，即可求解； （5）由可求，代值计算即可求解． 【解题过程】 （1）解：由表格得 ， ， 的算术平方根是， ， 的平方根为， 故答案：，． （2）解：， ，， ， 故答案：． （3）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；， ， ， ； 故答案：，． （4）解： 介于17．6与17．7之间， ， ， 可取、、、， 整数n有个， 故答案：． （5）解：，， 的整数部分是， ， ． 19．（2023下·湖南长沙·七年级长沙麓山外国语实验中学校考阶段练习）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． （1）无理数的“麓外区间”是_________； （2）若其中一个无理数的“麓外区间”为且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求值． （3）实数x，y，m满足关系式： ，求的算术平方根的“麓外区间”． 【思路点拨】 （1）只需要估算出的取值范围即可得到答案； （2）由是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，得到是一个完全平方数，，再由，可得满足题意的m、n的值为：或，由此代入方程中进行求解即可； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“麓外区间”的定义即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴， ∴， ∴无理数的“麓外区间”是， 故答案为： （2）解：由题意得，m、n是两个相邻的正整数， ∵是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解， ∴是一个完全平方数，， ∵， ∴满足题意的m、n的值为：或， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 综上所述，C的值为1或37； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，， 两式相减，得， ∴， ∴的算术平方根为， ∵， ∴， ∴的算术平方根的“麓外区间”是． 20．（2023下·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考期中）单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5 （1）仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； （2）继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； （3）综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值． 【思路点拨】 （1）设＝2.6＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案； （2）设＝2.64＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案； （3）设，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴＞2.6，设＝2.6＋r， 如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵r2较小故略去，得5.2r＋6.76≈7， ∴r≈0.05，即≈2.65； （2）∵， ∴＞2.64，设＝2.64＋r， 如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵r2较小故略去，得5.28r＋6.970≈7， ∴r≈0.006，即≈2.646； （3）∵n＜＜n＋1，且b＝n2＋m ∴设， 如下图所示，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵r2较小故略去，得， ∴， ∵b＝n2＋m， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$