江苏省无锡市江阴市六校2024-2025学年高二上学期11月期中大联考数学试题

2024-2025学年度秋学期期中联考试卷 高二数学参考答案及评分建议 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.C 2.D 3.C 4.B 5.D 6.B 7.A 8.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9.ABD 10.BD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.解：（1）证明：因为平面，平面，所以,……………1分 又因为四边形为正方形，所以, 由，平面，平面， 所以平面，…………………3分 又平面，所以，由，为的中点，所以，，平面，平面， 所以平面.…………………6分 （2） 以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，由，，令， 则，…………………9分 又，所以，…………………11分 设直线和平面所成的角为，则，即直线和平面所成的角的正弦值为.…………………13分 16.解：（1）由，为实数，则为实数，……………2分 所以，即，，…………………5分 .…………………7分 （2）由在复平面内对应的点在第四象限， 所以，…………………10分 又为实系数方程的根， 则，所以，，…………………13分 又，所以.…………………15分 17.解：（1）由图知直线斜率存在，设的方程为：，……………1分 因为截圆所得的弦长为，所以到的距离为，…………………3分 所以，解得或者，…………………5分 所以的方程为或者.…………………7分 （2）因为圆经过点和，所以设，又圆与圆外切于点， 所以，，与点共线，则，得， …………………9分 则圆半径为，圆方程为，…………………11分 又,与圆相切，所以四点在以为直径的圆上， 圆的方程为，即，…13分 直线为圆与圆的公共点所在的直线，则由， 两式相减得直线的方程为.…………………15分 18.解：（1）当在中点处时，面. 证明如下：在直棱柱中，，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，.设平面的一个法向量为，，， ，令，得， 即.………………3分 设，则，又平面， 则令，解得，…………………5分 故在中点处时，平面.………………6分 （2）设，为平面的一个法向量. ，， ，.………………8分 令得即.………………9分 到平面的距离为，………………11分 当时，到平面的距离的最大值为.………………13分 （3）由（2）知平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，则，.…………15分 所以平面与平面夹角的余弦值为，则平面与平面夹角的大小为..………............…17分 19.解：（1）因为直线与圆相切，切点为，所以，..............1分 由，所以△为以为斜边的等腰直角三角形， 由第一象限的点在轴上的射影为，所以为的中点， ..................2分 所以点的坐标为. .....................3分 （2）①设，，则，即， ，..................5分 又，解得，， 所以的坐标为或者，......................7分 此时，取为线段的中点，则，由，且为 中点，则，所以...................10分 ②证明：因为为线段的中点，所以， 设直线方程为，，， 联立方程组，得， ，且，，，.......................12分 直线方程为，直线方程为，得，....13分 则 ， ...................16分 所以，又，所以与轴平行........................17分 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年度秋学期期中联考试卷 高二数学参考答案及评分建议 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.c 2.D 3.C 4.B 5.D 6.B 7.A 8.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9.ABD 10.BD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.x-√3y+2=0 13.V5 14.45 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以 PA⊥CD,…1分 又因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD, 由PA∩AD=A,PAC平面PAD,ADC平面PAD, 所以CD⊥平面PAD,…3分 又AEC平面PAD,所以AE⊥CD,由PA=AD,E为PD的中点，所以 AE⊥PD,CD∩PD=D,CDc平面PCD,PDC平面PAD, 所以AE⊥平面PCD.…6分 (2)以A为原点，以AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间 直角坐标系，则400.0C010,E(0, 2'2P0.0, 4C=0,正=02，设平面4CE的一个法向量为=，”》，由 n·AC=0 r+y=0 )+2=0’令x=2=1,y=-1， →11 n.AE=0 则n=(1,-1,l）,…9分 又PC=l,-),所以cos(mPC=-】 …11分 设直线PC和平面ACE所成的角为0，则sin0=kos(mPC=},即直线PC和 平面4CE所成的角的正弦值为兮…3分 16,解：(（1D由2=bi,+2为实数，则2+bi-b+2+b-21为实数，…2分 1+i 1+i22 所以b,2=0.b=2,即2=21,2=-4，…5分 2 2+z=4+2=25…7分 (2)由(m+z)2=(m+2i)2=m2-4+4mi在复平面内对应的点在第四象限， 所以 m2-4>0→m<-2,…10分 4m<0 又z=2i为实系数方程x2+(m2-9)x+4=0的根， 则4+2(m2-9)i-4=0,所以m2-9=0,m=土3，…13分 又m<-2,所以m=-3.…15分 17.解：(1)由图知直线l斜率存在，设1的方程为：kx-y+4k=0,…1分 因为I截圆M所得的弦长为2，所以M(-)到1的距离为1，…3分 3k-1 所以 1,解得收=或者k=0,5分 √k2+1 所以1的方程为y=0或者3x-4y+12=0.…7分 (2)因为圆N经过点(0,2)和(0,6)，所以设N(1,4),又圆N与圆M外切于点(0,2)， 所以M(-1,),N(1,4),与点(0,2)共线， 2-14-2 0-)1-0,得1=2，N2,4 …9分 则圆N半径为2√2，圆N方程为(x-2)2+(y-4)2=8,…11分 又AP,AQ与圆N相切，所以A,P,Q,N四点在以AN为直径的圆E上， 圆E的方程为(x+4)(x-2)+y(y-4)=0,即x2+y2+2x-4y-8=0,13分 x2+y2+2x-4y-8=0 直线PQ为圆E与圆N的公共点所在的直线，则由 x2+y2-4x-8y+12=0 两式相减得直线PQ的方程为3x+2y-10=0.…15分 18.解：(1)当P在BB中点处时，MP∥面ABC. 证明如下：在直棱柱ABC-A,B,C中，BC⊥AB,以B为坐标原点，以BC,BA, BB,所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则A(0,2,0),B(0,0,0),C(2,0,0),B(0,0,2),A(0,2,2),C(2,0,2),M(1,1,2): 设平面ABC的-个法向量为n=(x,八，z),BC=(2,0,0),BA=(0,2,2), n⊥BCn-BC=2x=0 x=0 nLBA nBA=2y+22=0 令y=1,得y=1, z=-1 即n=(0,l,-1)3分 设P(0,0,)(0≤1≤2)，则PM=(1,1,2-),又MP女平面APC, 则令PMn=1+元-2=0，解得元=1,5分 故P在BB中点处时，MP∥平面AB,C6分 (2)设P(0,0,t)(0≤t≤2)，m=(a,b,c)为平面APC的一个法向量. AC=(2,-2,-2),CP=(-2,0,),C℃=(0,0,2) mL4C m.AC=2x-2y-22=0 m LCP m.CP=-2x+tz=0 8分 x=1 令x=t得 y=1-2即m=(1,1-2,2).9分 z=2 CC,·m 4 C,到平面A,PC的距离为 11分 m V22-41+8 当1=1时，G到平面4PC的距离的最大值为2 13分 3 (3)由(2)知平面4PC的一个法向量为m=(1,-1,2),又平面4BC的一个法向量 为n=(0l,-1),，则cos(m,n) m·n -3 6x12 2 ，15分 所以平面APC与平面4BC夹角的余弦值为，则平面4PC与平面4AC夹角的 大小为？ .17分 19.解：(1)因为直线PM与圆O相切，切点为M,所以OM⊥PM,1分 由OP=4.OM=2√2，所以△OMP为以OP为斜边的等腰直角三角形， 由第一象限的点M在x轴上的射影为F,所以F为OP的中点，2分 所以点F的坐标为(2,0).3分 (2)①设A),FM上PB,则k×k4=-1,即×，=-1， xo-4 xo-2 %2=-x02+6x0-8,…5分 又2=8-x02,解得x 3′%=±2 8 3· 所以1的坐标为2)或者学2 82W2 7分 3 3 此时AP川=2V6 ,取H为线段AB的中点，则OH⊥AB,由FA⊥PB,且F为OP 中点，则AP=AH,所以A=AP= 3 10分 ②证明：因为N为线段FP的中点，所以N(3,0), 设直线AB方程为y=k(x-4),(k≠0)，A(x,y),B(x2:2): 联立方程组 x2+y2=8 得1+k2)x2-8k2x+16k2-8=0, y=k(x-4) 8k2 x+X2= 1+k2 ，且△>0，<1，k≠0,12分 16k2-8 》+2= 1+k2 直线BN方程为y=片，（K-3),直线MF方程为x=2,得Q(2,片)，13分 x2-3 3-X 则-%=男-3片=3别业.6-x-4--4 3-x2 3-X2 3-x2 8+s5-80- =1+2-8) 一=0， 3-x2 3-x2 3-x2 16分 所以另=g,又片≠0，所以A视与x轴平行17分 2024-2025学年度秋学期期中联考试卷 高二数学 命题人：江春 复核人：沈宏 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线的一个方向向量为，则的倾斜角为 A. B. C. D. 2.若，则 A. B. C. D. 3.经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 A. B. C. 或 D. 或 4.已知直线与直线平行，则这两条平行直线间的距离为 A. B. C. D. 5.设为空间的一个基底，，，，若共面，则 A. B. C. D. 6.圆与圆的公切线条数是 A. B. C. D. 7.已知直线与圆交于两点，则的最小值为 A. B. C. D. 8.在正四棱柱中，，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A.直线的横截距与纵截距之积为 B.方程（R）能表示平行轴的直线 C.过点引直线，使点，到的距离相等，则的方程为 D.点关于直线对称的点为 10.对于复数，下列说法正确的是 A.若，则 B. C.一定是纯虚数 D.若，，则 11.已知曲线：（不同时为零），则 A.上的点的到点的距离的最大值为 B.上的点的横坐标的取值范围是 C.围成的图形的面积为 D.若上有四个点到直线的距离等于，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.经过圆上的点的的切线方程为____________. 13.已知斜三棱柱的所有棱长均为，， ，分别为，的中点，则________. 14.已知两条互相垂直的直线，分别经过点，，公共点为，，则当取最小值时，_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，， 为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线和平面所成的角的正弦值. 16.（15分）已知复数（R），为实数. （1）求； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程 的根，求实数的值. 17.（15分）已知圆，点. （1） 过的直线截所得的弦长为，求的方程； （2）经过点和的圆与外切，过作的两条切线，切点分别为，，求直线的方程. 18.（17分）如图，直三棱柱中，，，为棱的中点，为棱上一动点. （1）试确定的位置，使得平面； （2）求点到平面距离的最大值； （3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的大小. 19.（17分）已知圆，过点的直线与相切，切点在第一象限，在轴上的射影为点. （1）求的坐标； （2）过且斜率不为零的另一条直线与交于两点，在线段上. ①若，求的坐标及线段的长； ②设为线段的中点，直线交直线于点，证明：与轴平行. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 4 页 2024-2025 学年度秋学期期中联考试卷 高二数学 命题人：江春 复核人：沈宏 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知直线 l的一个方向向量为 )322( ， ，则 l的倾斜角为 A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 2.若 i z i  2 ，则 z A. i 5 2 5 1  B. i 5 2 5 1  C. i 5 2 5 1  D. i 5 2 5 1  3.经过点  2 4 ， 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 A. 6y x  B. 2 8y x  C. 2y x  或 6y x  D. 2y x  或 2 8y x  4.已知直线 02  aayx 与直线 02)3(2  yax 平行，则这两条平行直线间的距离为 A. 4 B. 2 10 C. 5 102 D. 5 10 5.设 }{ cba ，， 为空间的一个基底， cbaOA 532  ， cbaOB 22  ， cbakOC 3 ， 若 OCOBOA ，， 共面，则 k A. 4 1 B. 2 1 C. 3 2 D. 4 3 6.圆 0204222  yxyx 与圆 014422  yxyx 的公切线条数是 A.1 B. 2 C.3 D. 4 7.已知直线 02  mymx 与圆 25)2( 22  yx 交于 BA， 两点，则 AB 的最小值为 A. 34 B. 32 C. 54 D. 52 8.在正四棱柱 1111 DCBAABCD  中， ABAA 21  ，E为棱 AB的中点，F 为线段 1CC 上的 一点，且 EFCA 1 ，则直线 BF 与直线 CA1 所成角的余弦值为 A． 15 3 B． 15 6 C． 5 1 D． 15 15 第 2 页 共 4 页 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9.下列说法正确的是 A.直线 01223  yx 的横截距与纵截距之积为 24 B.方程 032  tyx （ t R）能表示平行 y轴的直线 C.过点 )1,2(P 引直线 l，使点 )3,2(A ， )2,1(B 到 l的距离相等，则 l的方程为 053  yx D.点 )02( ， 关于直线 01 yx 对称的点为 )11(， 10.对于复数 z，下列说法正确的是 A.若 1z ，则 1z B. zzi 2)3(  C. zz  一定是纯虚数 D.若 0z ， zzz  ，则 1z 11.已知曲线C： yxyx 2222  （ yx， 不同时为零），则 A.C上的点的到点 )33( ， 的距离的最大值为 25 B.C上的点的横坐标的取值范围是 ]2121[  ， C.C围成的图形的面积为 84  D.若C上有四个点到直线 mxy  的距离等于 2 2 ，则 33  m 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分。 12.经过圆 :E 2 2( 2) 4x y   上的点 )31(， 的 E的切线方程为____________. 13.已知斜三棱柱 1 1 1ABC ABC 的所有棱长均为 2， 6011  CBBABBABC ， M ， N 分别为 AB， 11CB 的中点，则 MN ________. 14.已知两条互相垂直的直线 1l ， 2l 分别经过点 )04( ，A ， )22( ，B ，公共点为T ， )00( ，O ， 则当 OT 取最小值时， TABS△ _________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13 分）如图，在四棱锥 ABCDP  中，底面 ABCD为正方形， PA 平面 ABCD， 1 ADPA ， E为棱 PD的中点. （1）求证： AE 平面 PCD； （2）求直线 PC和平面 ACE所成的角的正弦值. 第 3 页 共 4 页 16.（15分）已知复数 biz  （ b R）， i z   1 2 为实数. （1）求 2zz  ； （2）若复数 2)( zm  在复平面内对应的点在第四象限，且 z为实系数方程 04)9( 22  xmx 的根，求实数m的值. 17.（15分）已知圆 :M 2 2( 1) ( 1) 2x y    ，点 )04( ，A . （1）过 A的直线 l截M 所得的弦长为 2，求 l的方程； （2）经过点 )20( ， 和 )60( ， 的圆 N 与M 外切，过 A作 N 的两条切线，切点分别为 P，Q， 求直线 PQ的方程. 18.（17 分）如图，直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1 2AA AB BC   ， BC  AB，M 为 棱 1 1AC 的中点， P为棱 1BB 上一动点. （1）试确定 P的位置，使得 / /MP 平面 1A BC； （2）求点 1C 到平面 1A PC距离的最大值； （3）在（2）的条件下，求平面 1A PC与平面 1A BC夹角的大小. 第 4 页 共 4 页 19.（17分）已知圆 8: 22  yxO ，过点 )04( ，P 的直线与O相切，切点M 在第一象限，M 在 x轴上的射影为点 F . （1）求 F 的坐标； （2）过 P且斜率不为零的另一条直线与O交于 BA, 两点， A在线段 PB上. ①若 PBFA  ，求 A的坐标及线段 AB的长； ②设 N 为线段 FP的中点，直线 BN 交直线MF于点Q，证明： AQ与 x轴平行.