江西省南昌市江西师范大学附属中学等校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

九年级数学期中试卷 第 1页（共 6页） 九年级（上）数学期中试卷 时间：2024.11 一．选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1．垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心 对称图形的是（ ） A． B． C． D． 厨余垃圾 有害垃圾 其他垃圾 可回收物 2．下列计算正确的是（ ） A．x6÷x4＝x2 B． 5 + 6 = 11 C．（x3）2＝x5 D．（x+y）2＝x2+y2 3．人体内一种细胞的直径约为 1.56 微米，相当于 0.00000156 米，数字 0.00000156 用科学记数法表示为 （ ） A．1.56×10﹣5 B．0.156×10﹣5 C．1.56×10﹣6 D．15.6×10﹣7 4．如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交 AC于 F．当α＝40°时，点 D恰好落在 BC上，此时∠AFE等于（ ） A．80° B．85° C．90° D．95° 5. 若一个圆锥的侧面积是底面积的 3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于（ ） A．60° B．120° C．135° D．150° 6．二次函数 y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线 x＝﹣1，则过点 M（c，2a﹣b）和点 N（b2﹣4ac， a﹣b+c）的直线一定不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二．填空题（每小题 3 分，共 18 分） 九年级数学期中试卷 第 2页（共 6页） 7．计算：3 −8 = ． 8．如图，把 R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路 AB上的电流为 I，电压为 U，则 U＝IR1+IR2+IR3，当 R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2时，U的值为 ． 9．为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取 40株，分别量出每株高度，计算发现 三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是 3.6，10.8，15.8，由此可知 种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 10．如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若四边形 OABC是菱形，则∠D＝ ． 11．铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成， 六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点 O，��所在圆的圆心 C恰好是△ABO的内心，若 AB ＝2 3，则花窗的周长（图中实线部分的长度）＝ ．（结果保留π） 12. 等腰△AOB中，∠AOB＝120°，AO＝BO= 2 2，点 C为平面内一点，满足∠ACB＝60°，且 OC的 长度为整数，则所有满足题意的 OC长度的可能值为 ． 三．解答题（每小题 6 分，共 30 分） 13．（1）计算：﹣2×（﹣3）− 9 +|﹣2|﹣（1﹣π）0； （2）已知，如图，在△ABC中，CF平分∠ACB，CA＝CD，AE＝EB，求证：EF= 12BD． 14．先化简，再代入求值：(1 − 2�+1 ) ÷ �2−2�+1 �+1 ，其中� = 2 + 1． 九年级数学期中试卷 第 3页（共 6页） 15．已知关于 x的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m﹣2＝0． （1）求证：无论 m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根 x1，x2，且 x1+x2+3x1x2＝1，求 m的值． 16. 请仅用无刻度的直尺作图．．．．．．．．．．．． （1）如图 1，△ABC是⊙O的内接三角形，点 P在⊙O上一点，且�� = ��．画出△ABC中∠BAC的 平分线； （2）如图 2，△ABC是⊙O的内接三角形，D是 BC的中点．画出△ABC的∠BAC的平分线； （3）如图 3，△ABC是⊙O的内接三角形，点 P在⊙O上一点，且�� = ��，画出△ABC的外角∠BAD 的角平分线 AG． 17．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为 E，F，且 BE＝DF． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若 AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积． 四．解答题（每小题 8 分，共 24 分） 18．中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线， 加大研发投入形成了领先的技术优势.2023年，中国新能源汽车产销量均突破 900万辆，连续 9年位居 全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的 调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和 扇形统计图． 九年级数学期中试卷 第 4页（共 6页） 类型 人数 百分比 纯电 m 54% 混动 n a% 氢燃料 3 b% 油车 5 c% 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了 人；表中 a＝ ，b＝ ； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有 4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的 有多少人？ 19．刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时 50天之 际，某国际旅游公司计划购买 A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买 1件 A种湘绣作品 与 2件 B种湘绣作品共需要 700元，购买 2件 A种湘绣作品与 3件 B种湘绣作品共需要 1200元． （1）求 A种湘绣作品和 B种湘绣作品的单价分别为多少元？ （2）该国际旅游公司计划购买 A种湘绣作品和 B种湘绣作品共 200件，总费用不超过 50000元，那么 最多能购买 A种湘绣作品多少件？ 20．区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段 上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为 20千米的区间测 速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶 1 12 小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不 计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为 100千米/时．汽车 在区间测速路段行驶的路程 y（千米）与在此路段行驶的时间 x（时）之间的函数图象如图所示． 九年级数学期中试卷 第 5页（共 6页） （1）a的值为 ； （2）当 1 12 ≤x≤a时，求 y与 x之间的函数关系式； （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不 得超过 120千米/时） 五．解答题（每小题 9 分，共 18 分） 21．如图，⊙A过▱OBCD的三顶点 O、D、C，边 OB与⊙A相切于点 O，边 BC与⊙O相交于点 H，射 线 OA交边 CD于点 E，交⊙A于点 F，点 P在射线 OA上，且∠PCD＝2∠DOF，以 O为原点，OP所 在的直线为 x轴建立平面直角坐标系，点 B的坐标为（0，﹣2）． （1）若∠BOH＝30°，求点 H的坐标；（2）求证：直线 PC是⊙A的切线；（3）若 OD= 10，求⊙A 的半径． 22．如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面 图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在 C处，对称轴 OC与水平线 OA垂直，OC＝9， 点 A在抛物线上，且点 A到对称轴的距离 OA＝3，点 B在抛物线上，点 B到对称轴的距离是 1． （1）求抛物线的表达式； 九年级数学期中试卷 第 6页（共 6页） （2）如图②，为更加稳固，小星想在 OC上找一点 P，加装拉杆 PA，PB，同时使拉杆的长度之和最 短，请你帮小星找到点 P的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为 y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），当 4≤x≤6 时，函数 y的值总大于等于 9．求 b的取值范围． 六．解答题（本大题共 12 分） 23．综合与实践 问题情境 数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片 ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同学们将 纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论． 问题发现 奋进小组在边 AC上取一点 D，连接 BD，将这个纸片沿 BD翻折，点 A的对应点为 E，如图 1所示． 如图 2，小明发现，当点 E落在边 BC上时，∠DEC＝2∠ACB． 如图 3，小红发现，当点 D是 AC的中点时，连接 CE，若已知 AB和 CE的长，则可求 BD的长． …… 问题提出与解决 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题 1，请你解答． 问题 1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，点 D是边 AC上一点，将△ABD沿 BD翻折得到△EBD． （1）如图 2，当点 E在边 BC上时，∠BAC=120°，图中∠DEC的度数为____________． （2）如图 2，当点 E在边 BC上时，求证：∠DEC＝2∠ACB． （3）如图 3，当点 D是 AC的中点时，连接 CE，若 AB＝4，CE＝3，求 BD的长． 拓展延伸 小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为锐角，尝试画图，并提出问题 2，请你解答． 问题 2：如图 4，点 D是△ABC外一点，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求 BC的长． 参考答案与试题解析 一，选择题 BACBBC 1.【解答】解：A是轴对称图形，但它不是中心对称图形，则A不符合题意： B既是轴对称图形，也是中心对称图形，则B符合题意； C不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则C不符合题意： D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则D不符合题意： 故选：B 2.【解答】解：A、x6÷x4=x2,故此选项符合题意； B、√5与V6不能合并，故此选项不符合题意： C、(x3)2=x6,故此选项不符合题意： D、(+y)2=x2+2y+y2,故此选项不符合题意： 故选：A. 3.【解答】解：0.00000156=1.56×106， 故选：C 4.【解答】解：.将△ABC逆时针旋转a(0°<a<55°)，得到△ADE, .∠BAC=∠DAE,∠BAD=∠CAE=40°，AB=AD,∠C=∠E, .∠B=70°， ∴.∠C=∠E=55°， .∠AFE=180°-55°-40°=85°， 故选：B 5.【解答】解：设圆锥的母线长为R,底面圆的半径为r,这个圆锥侧面展开图的圆心角为n°， ,圆锥的侧面积是底面积的3倍， .1 。×2mrX1=3π2， ”2 .1=3r, 2= 180 即2m=nmx3r 180 .∴.n=120, 即这个圆锥侧面展开图的圆心角等于120°· 第1页（共13页） 故选：B. 6.【解答】解：，函数图像开口向上，与y轴交于坐正半轴，与x轴没有交点 ∴.a>0,c>0,b2-4ac<0, “对称轴为=一名=-1， ∴.b=2a>0, .2a-b=0, ,∴.M（c,2a-b)在x轴正半轴上， 当x=-1时，a-b+c>0, 则N(b2-4ac,a-b+c)在第二象限， ∴.过点M(c,2a-b)和点N(b2-4ac,a-b+c)的直线一定不经过第三象限. 故选：C 二。填空题 7.【解答】解：原式=-2 8.【解答】解：由题意可得U=2.2×（20.3+31.9+47.8)=220. 故答案为：220， 9.【解答】解：甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6,10.8,15.8， .甲组秧苗高度的方差最小， ∴.甲种秧苗长势更整齐， 故答案为：甲， 10.【解答】解：，四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠B+∠D=180°， ,四边形OABC是菱形， ∴.∠B=∠AOC ∴.∠AOC+∠D=180°， 由圆周角定理得：∠D=∠A0C, .∠D=60°， 故答案为：60. I1.【解答】解：如图，过点C作CMLAB于点M,则AM=BM=AB=V3, 六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O, 第2页（共13页） ∠40B=360°=60°， 6 .OA=OB, ∴.△AOB是正三角形， ,点O是△AOB的内心， ∠CAB=∠CBA=2×60°=30°，∠ACB=2∠A0B=120°， 在Rt△ACM中，AM=V3,∠CAM=30°， AC=、AM c0s30° =2， 120π×24 .AB的长为 180 3， 4 六花窗的周长为2X6=8m. 故答案为：8π. M B 12.【解答】解：∠AOB=120°，∠ACB=60°， ①当点C在△ABO的外接圆上，且点C在优弧AB上，OC为直径，此时OC最大，如图1， 图1 ,0A=2V2,∠A0C=60°，∠AC0=30°，∠OAC=90°， ∴.0C=20A=2×2V2=4V2; ②当点C在以O为圆心、OA为半径的圆上，此时OC最小，如图2， 第3页（共13页） 图2 则OC=0A=22, .2V2≤0C≤4V2, 所以OC长度的可能值为3、4、5， 故答案为：3、4、5. 三.解答题 13.【解答】(1)原式=6-3+2-1=4 （2)证明： CA=CD,CF平分∠ACB, ∴CF为AD边上的中线， F为AD的中点， 又AE=EB, .E为AB中点， ∴.EF为△ABD的BD边上的中位线， EF=BD )÷2-2at1 14.【解答】解：(1-2 a+1 =+1-2,a+1 a+1(a-1)2 =a-1,a+1 -a+1(a-1)2 1 =a-1 1-12 当Q=2+1时，原式-2+1=应=艺 15.【解答】(1)证明：，△=(2m+1)2-4×1×(m-2) =4m2+4m+1-4m+8 =4m2+9>0, .无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根： 第4页（共13页） (2)解：由根与系数的关系得出+2=一(2m+1), (x1x2=m-2 由x1+x2+3x12=-1得-(2m+1)+3(m-2)=-1, 解得m=6. 16.【解答】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D, .AE⊥BC,AF⊥CD, ∴.∠AEB=∠AFD=90°， .BE=DF, ∴.△AEB≌△AFD ..AB=AD, ∴.四边形ABCD是菱形 B E (2)连接BD交AC于O ,四边形ABCD是菱形，AC=6, AC⊥BD, A0=0c=24C=2×6=3, AB=5,AO=3, ∴.B0=VAB2-A0z=V52-32=4, ∴.BD=2BO=8, S平行图边形ABCD=乞XACXBD=24. 17.【解答】解：(1)如图1，连接AP,则射线AP即为所求， .AP BP, ∴.∠CAP=∠BAP, .AP是∠BAC的角平分线： 第5页（共13页） A B C 图1 (2)如图2，连接OD并延长与圆交于点E,连接AE,则射线AE即为所求， :D是BC的中点， ∴.CD=BD, ..BE CE, .∠CAE=∠BAE, ∴.AE是∠BAC的平分线： y 0 D E 图2 (3)解：如图3，延长PO交⊙O于G,则射线AG为所求. D o B P 图3 理由：连接GB,GC, ,OP经过圆心，BP=CP, ∴.GP垂直平分BC, ∴.GB=GC, ∴.∠GBC=∠GCB, 根据圆内接四边形的性质得：∠CAG+∠GBC=180°， 第6页（共13页） :∠CAG+∠DAG=180°， ∴.∠GBC=∠DAG, :∠GCB=∠GAB, .∠DAG=∠GAB,即AG平分∠BAD. 18.【解答】解：(1)本次调查活动随机抽取了27÷54%=50（人）， ∴.n=50-27-3-5=15, ∴u%=5×100%=30%,b9=品×10%=6%， .a=30,b=6: 故答案为：50,30,6 (2)补全条形统计图如图所示： 人致 30 04 15 15 10, 5 5 3 纯电混动氢燃料油车车型 (3)360°×30%=108°， 答：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为108°： (4)4000×(54%+30%+6%)=3600(人)， 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人. 19.【解答】解：(1)设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元， 根据题意得： x+2y=700 2x+3y=1200' ∫x=300 解得：=200 答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元： (2)设购买A种湘绣作品m件，则购买B种湘绣作品(200-m)件， 根据题意得：300m+200(200-m)≤50000， 解得：m≤100， .m的最大值为100. 答：最多能购买100件A种湘绣作品. 第7页（共13页） 20.【解答】解：(1)由题意得，100a=20, 解得a= 故答案为：写 1 当2≤x≤，V与x之间的函数关系式为=k+b及 6k+b=17 号k+b=20 解得6三”。 y=90x+2( 12 (3)当x=壹时，=90x立+2=95， 先匀速行品小时的速度为：95+=4（千米时。 114<120, ∴.这辆汽车减速前没有超速. 21.【解答】(1)解：如图，过点H作HM⊥y轴，垂足为H. ,四边形OBCD是平行四边形， .∠B=∠ODC ,四边形OHCD是圆内接四边形 ∴.∠OHB=∠ODC ∴.∠OHB=∠B ∴.OH=OB=2 ∴.在Rt△OMH中， .∠BOH=30°， .MH=J0H-1,OM=V3MH=3, 点H的坐标为(1，-V3), (2)连接AC. .OA=AD, ∴.∠DOF=∠ADO 第8页（共13页） ∴.∠DAE=2∠DOF :∠PCD=2∠DOF, ∴.∠PCD=∠DAE ,OB与⊙O相切于点A .OB⊥OF .OB∥CD ∴CD⊥AF ∴∠DAE=∠CAE ∴.∠PCD=∠CAE ∴.∠PCA=∠PCD+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90 .直线PC是OA的切线： (3)解：⊙0的半径为r 在R△OED中，DE=CD=0B=1,OD=V而， ∴.OE=3 .OA=AD=r,AE=3-r. 在Rt△DEA中，根据勾股定理得，2-(3-r)2=1 解得=3 5 A M B 22.【解答】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+9, 把点A(3,0)代入，得： 9a+9=0, 解得：a=-1, 第9页（共13页） 抛物线的解析式为：y=-x2+9; (2)作A点关于y轴的对称点A'(-3,0),连接A'B交OC于点P,则P点即为所求； y P A 把x=1代入y=-x2+9,得： y=8, .B(1,8) 设直线A'B的解析式为y=+m, 收待。0 解得：货二6 y=2x+6, 令x=0,得y=6, .P点的坐标为(0,6)： (3)y=-x2+2bx+b-1=-(x-b)2+b2+b-1, .抛物线的对称轴为直线x=b,顶点坐标为(b,b2+b-1), 当0<b≤4时，得： -62+12b+b-1≥9， 解得：b≥给 当4<b<6时， 由b-4>6-b,得： b>5, ∴.-42+8b+b-1≥9， 第10页（共13页）