第五章 函数应用（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（北师大版2019必修第一册）

第五章 函数应用（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用零点的定义代入计算即得. 【详解】依题意，，即，所以. 故选：C 2．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理判断即可. 【详解】因为是上的连续增函数，可知函数 是上的连续增函数， 又因为，可得， 所以函数的唯一零点所在的区间是. 故选：D. 3．下列函数中，不能用二分法求函数零点的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法零点判断规则即可得到正确选项. 【详解】选项A：由，可得在上存在零点，故A错误； 选项B：由，可得在上存在零点，故B错误； 选项C：，则其零点为， 但不存在实数满足，因而不能用二分法求此函数零点，故C正确； 选项D：由，可得在上存在零点，故D错误. 故选：C. 4．函数零点的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数形结合思想，分别作出和的图象即可求解. 【详解】解：由，得函数的定义域为， 函数零点的个数零点个数， 即函数的图象和函数的图象的交点个数， 如图所示： 数形结合可得函数的图象和函数的图象的交点个数为． 故选:C． 5．已知函数，方程有3个实数解，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出的图象，方程有3个实数解，转化为与的图象有3个不同的交点，然后根据图象求解即可. 【详解】的图象如图所示， 因为方程有3个实数解， 所以与的图象有3个不同的交点， 由图可知. 故选：A 6．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，且（b为常数），经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意有，解得，，由此能得出结果． 【详解】依题意有，即， 两边取对数得，所以，得到， 当容器中只有开始时的时，则有，所以， 两边取对数得，所以， 故选：C． 7．已知分别是函数的零点，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意可得函数与直线的交点为，与直线的交点为，而与互为反函数，则由反函数的性质可得和关于直线对称，从而得，，进而可求得答案. 【详解】由题意可得函数的零点为函数与直线的交点的横坐标， 则两函数图象的交点坐标为， ， 函数的零点为函数与直线的交点的横坐标， 则两函数图象的交点坐标为，， 因为与互为反函数，其图象关于直线对称，直线也关于直线对称， 所以点和关于直线对称， 所以， 所以. 故选：C 8．已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数的图象，由图象可知，方程只有个根，则方程有个根，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】当时，， 由可得或， 由题意可知，关于的方程、共有五个根， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，方程只有个根，故方程有个根，则. 故选：B. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数有两个零点，则以下结论中正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．函数有四个零点 【答案】BC 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断A；利用韦达定理计算判断B；利用二次函数对称性判断C；举例判断D作答. 【详解】函数对应的二次方程根的判别式，，A错误； 由韦达定理知，，显然，则，B正确； 因为图象的对称轴为直线，则点，关于该直线对称，C正确； 取时，方程的根为，此时只有两个零点，D错误． 故选：BC 10．已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】画出函数草图，数形结合，分析各选项的准确性. 【详解】如图： 由图象可知，若方程有4个不同的解，须有，故A错误； 当时，方程有4个不同的解，且. 所以，且，故B正确； 又，且关于直线对称，所以，故C错误； 由，又.所以，故D正确. 故选：BD 【点睛】方法点睛：根据函数的解析式，作出函数草图，数形结合，可非常直观的得到方程的根的性质. 11．定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（    ） A．方程有且仅有3个解 B．方程有且仅有3个解 C．方程有且仅有5个解 D．方程有且仅有1个解 【答案】ABD 【分析】根据复合函数的零点求解方法，从外到内数形结合分析，即可判断和选择. 【详解】对于选项A：由数形结合可知：令, 或或; 令,, 因为，所以， 由数形结合可知：,都有一个根， 故方程有且仅有3个解，故选项A正确; 对于选项B：由数形结合可知：令, ;令， 因为，由数形结合可知：都有3个根， 方程有且仅有3个解，故选项B正确; 对于选项C: 由数形结合可知：令, 或或; 令,, 由题可知：，， 由数形结合可知，,各有三解， 故方程有且仅有9个解,故选项C错误； 对于选项D：由数形结合可知：令, ;令， 因为，所以只有1解， 故方程有且仅有1个解,故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数，则可得到函数的零点个数. 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数有唯一零点，则实数k的值为 ． 【答案】1或2 【分析】结合零点定义，函数有唯一零点，即方程只有一个解.对二次项系数分类讨论： 时，令，满足只有一个解；时，令即可求解. 【详解】①当，即时， ， 令得， 所以函数有唯一零点， ②当时，函数有唯一零点， 则，解得． 综上，实数的值为1或2． 故答案为：1或2. 13．若关于的方程有两解，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】作出函数的图象，根据图象求解即可. 【详解】令函数， 当时，， 当时，， 则函数图象如图所示， 因为关于的方程有两解， 所以或， 解得或. 故答案为：或.    14．已知，则函数的零点个数是 . 【答案】6 【分析】先由函数的零点转化为方程和2的根，再利用数形结合求出零点个数即可； 【详解】令，即， 解得或2， 画出图象，如下： 由图可知，实线和虚线共有6个交点，所以函数的零点个数是6. 故答案为：6. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知与3是函数的两个零点 (1)求的解析式； (2)若求的取值范围； (3)若，求函数的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数零点定义将其转化成方程组，解之即得； （2）由（1）的结论解不等式即得； （3）将二次函数配方得到对称轴，结合图象单调性计算即得函数的值域. 【详解】（1）由题知函数的图象经过两点，则解得,所以解析式为； （2）由解得，所以的取值范围为； （3）因为，函数图象的对称轴为直线，因，则函数在时为减函数，在为增函数， 于是时，又，故得函数的值域为. 16．设且，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上有零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）化简不等式为，按照和分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式即可； （2）将零点问题转化为有解，设，则，利用函数的单调性求解参数范围即可. 【详解】（1）当时，不等式可化为， 若，则，解得， 所以不等式的解集为； 若，则，解得， 所以不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （2）由题意可知， 令，即，因为，所以， 所以，所以， 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以，所以. 17．正安县是中国白茶之乡．在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关．经实验表明，用100℃的水泡制，待茶水温度降至60℃时，饮用口感最佳．某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温℃ 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从100℃经过后温度变为℃，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③． (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少．（参考数据：） 【答案】(1)选模型②，且； (2)； (3)约为10℃. 【分析】（1）根据表格数据判断函数的单调性及增长率，根据一次函数、指对数函数性质确定模型，再结合数据求解析式； （2）令，利用指对数关系及对数运算性质求结果； （3）根据指数函数性质求函数的值域，即可确定进行实验时的室温. 【详解】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合， 选模型②，则，即，可得， 所以且. （2）令，则. 所以泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间为. （3）由，即，所以进行实验时的室温约为10℃. 18．已知函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求､的值； (2)设. ①若时，，求实数的取值范围； ②若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由已知可得在上单调递增，列关于的方程组求解； （2）①利用换元法将问题化为，利用配方法求不等式右侧的最小值，从而得解； ②将问题转化为有两个，数形结合得到或，从而转化为关于的不等式组求解. 【详解】（1）， 在上单调递增， 故，解得； （2）①由（1）知，， ， 不等式可化为， 即，令，则， ，原命题等价于， 记，则， 的取值范围是； ②方程可化为： ， 令，则方程化为， 方程有三个不同实数解， 由的图象知， 方程有两个， 且或， 记， 则或，解得， 实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：关于方程根的个数问题的思路有： （1）对方程进行整体换元； （2）根据换元的对象，由图象变换，画出其图象； （3）根据方程根的个数，分析函数值的取值范围及二次方程根的个数； （4）利用二次函数根的分布问题进行解决即可. 19．已知函数，，的定义域均为定义：若存在n个互不相同的实数，使得，则称与关于“n维交换”. (1)判断函数与是否关于“n维交换”，并说明理由； (2)设，，若与关于“维交换”，求实数k的值. 【答案】(1)与关于是“n维交换”，理由见解析 (2) 【分析】（1）由题意求出，，令，解出的值即可判断； （2）找到等量关系，构造函数转化零点个数问题求解即可. 【详解】（1）因为，， 令，所以，解得， 所以有唯一实数解， 即与关于是“维交换”， 所以与关于是“n维交换”. （2）令，依题意，函数在R上有3个零点， 显然，即是函数的零点， 当时，若，则，，即函数在时无零点， 若，则在上单调递增， ，函数在时只有1个零点，不符合题意， 因此，①当时，， 显然函数的图象恒过点， 则当时，函数的图象开口向上，在时仅只一个零点， 当时，，在时没有零点， ②当时，， 显然函数的图象恒过点， ，当，即时，在时仅只一个零点， 当，即时，在时有2个零点， 当，即时，在时没有零点， ③当时，， 显然函数的图象恒过点， 当时，在时无零点，当时，在时有1个零点， 综上所述，当时，有3个零点， 所以当与关于“3维交换”时，. 【点睛】关键点点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找到等量关系，转化零点个数问题是本题的解题关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 函数应用（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，不能用二分法求函数零点的有（    ） A． B． C． D． 4．函数零点的个数为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，方程有3个实数解，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时剩余的细沙量为，且（b为常数），经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（    ） A． B． C． D． 7．已知分别是函数的零点，则（    ） A． B． C．3 D．4 8．已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数有两个零点，则以下结论中正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．函数有四个零点 10．已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（   ） A． B． C． D． 11．定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（    ） A．方程有且仅有3个解 B．方程有且仅有3个解 C．方程有且仅有5个解 D．方程有且仅有1个解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数有唯一零点，则实数k的值为 ． 13．若关于的方程有两解，则的取值范围是 ． 14．已知，则函数的零点个数是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知与3是函数的两个零点 (1)求的解析式； (2)若求的取值范围； (3)若，求函数的值域. 16．（15分）设且，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上有零点，求的取值范围. 17．（15分）正安县是中国白茶之乡．在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关．经实验表明，用100℃的水泡制，待茶水温度降至60℃时，饮用口感最佳．某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温℃ 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从100℃经过后温度变为℃，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③． (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少．（参考数据：） 18．（17分）已知函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求､的值； (2)设. ①若时，，求实数的取值范围； ②若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 19．（17分）已知函数，，的定义域均为定义：若存在n个互不相同的实数，使得，则称与关于“n维交换”. (1)判断函数与是否关于“n维交换”，并说明理由； (2)设，，若与关于“维交换”，求实数k的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$