第五章 函数应用（3知识点+8题型）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（北师大版2019必修第一册）

第五章 函数应用（3知识点+8题型） 知识点一：函数的零点的概念 1.概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. 2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 知识点二：零点存在性定理 （1）零点存在性定理：如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根. （2）零点存在定理注意事项 ①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线； ②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立. 满足上述两个条件，则函数y＝f(x)的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数根c，但不能确定有几个，只有再借助于f(x)在(a，b)内的单调性才能确定f(x)在(a，b)内零点的个数. 知识点三：二分法概念及应用 （1）定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. （2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤： ①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0； ②求区间(a，b)的中点c； ③计算f(c)，进一步确定零点所在的区间： ④若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ⑤若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ⑥若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. （3） 判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).　 题型一 求函数零点 例1．函数的零点是（    ） A． B．1，2 C． D． 【答案】D 【分析】利用零点定义解方程可得结论. 【详解】令，解得， 由零点定义可得函数的零点是. 故选：D 例2．函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据零点定义计算即可. 【详解】令，解得，则其零点为2. 故选：C. 例3．已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 【答案】C 【分析】先根据函数解析式，求出的解析式，再由函数的零点定义，解对数方程即得. 【详解】由可得， 由可得，，解得. 故选：C. 巩固训练 1．已知分别是函数的零点，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意可得函数与直线的交点为，与直线的交点为，而与互为反函数，则由反函数的性质可得和关于直线对称，从而得，，进而可求得答案. 【详解】由题意可得函数的零点为函数与直线的交点的横坐标， 则两函数图象的交点坐标为， ， 函数的零点为函数与直线的交点的横坐标， 则两函数图象的交点坐标为，， 因为与互为反函数，其图象关于直线对称，直线也关于直线对称， 所以点和关于直线对称， 所以， 所以. 故选：C 2．函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】令，求解方程即得. 【详解】由，设，则得， 解得，从而，所以. 故选：C. 3．已知函数则方程的所有根之积为 ． 【答案】/ 【分析】解方程，可得出该方程的根，再将所有根全部相乘，即可得解. 【详解】令，由可得， 当时，由，即，则，即方程无解； 当时，由，可得或. （1）当时，当时，由可得， 解得，， 当时，由可得，； （2）当时，当时，由可得， ，方程无解， 当时，由可得，， 因此，方程的所有根之积为. 故答案为：. 4．已知函数，则函数的零点是 ． 【答案】和 【分析】根据分段函数解析式，由求得正确答案. 【详解】依题意，或， 解得或（负根舍去）. 故答案为：和 5．已知函数，则函数的所有零点构成的集合为 . 【答案】 【分析】根据复合函数与分段函数的性质化简方程，分别解方程即可. 【详解】因为函数 所以等价于或, 求解可得，， 即或或或， 求解可得，， 故答案为：. 题型二 求函数零点个数 例1．函数零点的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数形结合思想，分别作出和的图象即可求解. 【详解】解：由，得函数的定义域为， 函数零点的个数零点个数， 即函数的图象和函数的图象的交点个数， 如图所示： 数形结合可得函数的图象和函数的图象的交点个数为． 故选:C． 例2．函数零点的个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】判断出函数单调性，结合零点存在性定理得到答案. 【详解】单调递增，又，， 故在上有唯一的零点. 故选：B 例3．已知，则方程实数根的个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由方程先求出或或，再解方程即可． 【详解】解：①当时， ， 解得，， 或， 或， 故或； ②若，则， 或， 或， 若，则或， 则或或； 若，则或， 则（舍去）或或， 综上所述，方程实数根的个数是7， 故选：C． 巩固训练 1．方程的解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或3或4 【答案】A 【分析】将方程根的个数转化为函数交点的个数问题，数形结合作出函数图象计算即可. 【详解】方程的解的个数， 等价于函数和函数的图象的交点个数， 作出两函数的图象，如图所示． 数形结合可得，函数和函数的图象的交点个数为2， 故方程的解的个数为2． 故选：A 2．函数的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意，转化为函数与的图象的交点的个数，结合指数函数与二次函数图象与性质，即可求解. 【详解】由函数的零点的个数，即为方程解的个数， 即为函数与的图象的交点的个数， 作出函数与的图象，如图所示， 当时，函数与的图象有且仅有一个交点； 当时，函数与的图象的交点为，有两个公共点， 综上可得，函数有3个零点. 故选：D. 3．已知，则函数的零点个数是 . 【答案】6 【分析】先由函数的零点转化为方程和2的根，再利用数形结合求出零点个数即可； 【详解】令，即， 解得或2， 画出图象，如下： 由图可知，实线和虚线共有6个交点，所以函数的零点个数是6. 故答案为：6. 4．函数的零点个数为 . 【答案】 【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，结合函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解. 【详解】函数的定义域为，由得， 函数的零点即方程的根， 作出函数和的图象，如图， 由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点． 故答案为：. 题型三 判断函数所在区间 例1．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用零点的存在性定理判断即可. 【详解】对于，则为上的增函数， 而，，，，，由于， 根据零点存在性定理，知道函数的零点所在区间为. 故选：C. 例2．方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在性定理分析判断即可. 【详解】令，在上连续，且单调递增， 对于A，因为，， 所以的零点不在内，所以A错误， 对于B，因为，， 所以的零点不在内，所以B错误， 对于C，因为，， 所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确， 对于D，因为，， 所以的零点不在内，所以D错误， 故选：C 例3．函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数解析式，明确其单调性，利用零点存在性定理求解即可. 【详解】由函数可知单调递增， 因为，， ，， 所以零点所在区间是， 故选：B 巩固训练 1．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先验证函数的单调性，再代入验证，由零点存在定理得到零点所在区间. 【详解】当时，设， 则， 故在上是单调递增函数； 又，， 由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为. 故选：C. 2．设x0是函数的零点，若，则的值满足（    ） A． B． C． D．的符号不确定 【答案】C 【分析】先判断函数是单调减函数，进而可得当 时． 【详解】∵x0是函数的零点，∴， 因为是单调递减函数，是单调递增函数， 所以函数是单调减函数， 故当 时，则， 故选：C． 3．已知是函数的一个零点，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】转化是函数的一个零点为是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，利用图像判断即可 【详解】因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示， 则当时，在下方，即； 当时，在上方，即， 故选：B 【点睛】本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想 4．设是函数的零点，若，则的值满足（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】B 【解析】由题可判断在上单调递增,且,利用单调性即可得到与0的关系 【详解】由题,在上单调递增,在上单调递减,则在上单调递增,因为时零点,且,则 故选：B 【点睛】本题考查函数单调性的应用,考查零点的定义 5．已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】判断函数的单调性，继而结合零点存在定理列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由于在R上均单调递增，故函数在R上单调递增， 又，且，则，解得. 故选：B 题型四 已知函数零点所在区间求参数范围 例1．已知函数，则使有零点的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断，此时可得的单调性，依题意可得，令，结合函数的单调性及零点存在性定理得到存在使得，从而得到有零点的充要条件为，即可判断. 【详解】因为， 当时，，所以，没有零点，故A错误； 当时与在上单调递增，所以在上单调递增， ，要使有零点，则需， 即，令，则在上单调递减， 且，，， 所以存在使得， 所以有零点的充要条件为， 所以使有零点的一个充分条件是. 故选：D 例2．若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【分析】根据题意，分和，结合二次函数的性质，以及零点存在性定理，列出不等式，即可求解. 由函数， 【详解】由函数， 若，可得，令，即，解得，符合题意； 若，令，即，可得， 当时，即，解得，此时，解得，符合题意； 当时，即且，则满足， 解得且， 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 综上可得，实数的取值范围为或. 故选：D. 例3．已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论和两种情况，再利用判别式和零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】当时，，令得，符合题意； 当时，是二次函数，对于方程， 只需，即，解得，且， 当时，，此时，得或，符合题意， 当时，，此时，得或，符合题意， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查函数零点分布. 讨论和两种情况，当时，可判断判别式大于零，结合零点存在性定理运算求解. 巩固训练 1．已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的单调性，再利用零点存在性定理列式求出的取值范围，结合必要不充分条件的意义判断即得. 【详解】函数在上单调递增，由函数在内有零点， 得，解得，即命题成立的充要条件是， 显然成立，不等式、、都不一定成立， 而成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立， 所以命题成立的一个必要不充分条件是. 故选：D 2．函数的零点在区间，则 . 【答案】2 【分析】根据函数零点的存在性定理即可求解. 【详解】由题意知，函数在上单调递减， 所以函数在上连续且单调递减， 又， 所以，则函数的零点分布在区间上， 又因为函数的零点在区间上， 所以. 故答案为：2 3．若方程的实根在区间上，则（   ） A． B．2 C．或2 D．1 【答案】C 【分析】根据方程的根与函数零点的关系转化为函数的零点来求解，画出函数图象观察交点范围，再用零点存在性定理证明即可. 【详解】方程化为， 分别做出方程左右两边的图象， 从图象可知，方程， 方程有两个分别在和之间的根， 下面证明：方程在和之间各有一个实根， 设， 根据函数性质得在区间上是增函数， 又，， 则， 由零点存在性定理知， 在区间上仅有一个零点， 即方程区间上仅有一个实根， 同理可得方程区间上仅有一个实根， 结合题意可知，或， 故选：C. 4．已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为 与函数 的图象没有交点，利用数形结合法求解. 【详解】设 ，的图象如图所示， 问题转化为与函数 的图象没有交点， 所以或, 解得或, 故选：A. 5．若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断函数单调性再结合零点存在定理求解. 【详解】因为在上均为增函数， 所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断， 故若在区间上存在零点，则 解得． 故常数a的取值范围为． 故答案为： 题型五 已知函数零点个数求参数范围 例1．已知函数，方程有3个实数解，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出的图象，方程有3个实数解，转化为与的图象有3个不同的交点，然后根据图象求解即可. 【详解】的图象如图所示， 因为方程有3个实数解， 所以与的图象有3个不同的交点， 由图可知. 故选：A 例2．已知函数．若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像可得、各有两解，从而可用表示四根之和，结合的范围可求和的范围. 【详解】 的图象如图所示，设， 结合图像可得：，且，， 而，故， 故， 设，而在为增函数， 故， 故选：D. 例3．已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象分析可得，，整理得，结合对勾函数运算求解. 【详解】因为， 当时，可知其对称轴为， 令，解得或； 令，解得或； 当时，令，解得或， 作出函数的图象，如图所示， 若方程有四个不同的实根， 即与有四个不同的交点，交点横坐标依次为， 则， 对于，则， 可得，所以； 对于，则，可得； 所以， 由对勾函数可知在上单调递增，得， 所以的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出函数图象，结合函数图象分析出，，从而转化为关于的函数； 巩固训练 1．已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的值可能是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】ACD 【分析】画出的图象，方程的根的个数可以转化为函数图象交点的个数，数形结合即可求解. 【详解】的图象如图所示，      方程的根的个数可转化为，直线与交点的个数， 由图可知，当时，直线与交点的个数为2， 因此选项ACD满足题意. 故选：ACD. 2．已知函数恰有2个零点，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】对时，因式分解，分，，，四种情况，分类讨论，得到函数的零点个数，求出答案. 【详解】当时，， 时，令，解得， 若，则在有两个零点， 此时，故满足函数恰有2个零点， 若时，在上只有1个零点，即2， 此时，满足函数恰有2个零点， 若，则在上有1个零点， 此时满足要求，为函数的另一个零点， 综上，此时函数有2个零点，满足要求， 若，此时在上无零点或1个零点， 在上无零点，故不会有2个零点，不合要求， 综上，. 故答案为： 3．若关于的方程有两解，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】作出函数的图象，根据图象求解即可. 【详解】令函数， 当时，， 当时，， 则函数图象如图所示， 因为关于的方程有两解， 所以或， 解得或. 故答案为：或.    4．若函数恰有两个零点，则实数的范围是 ． 【答案】 【分析】在上没有零点，故将问题转化为有两个零点，即可求出的范围． 【详解】时，，故在上没有零点， 故 在上有两个不同零点， 而函数的零点为或，所以，且， 所以， 综上所述的取值范围是． 故答案为： 5．已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】转化为与的图象有3个交点，做出的图象，结合图象可得答案. 【详解】若函数有三个零点， 则与的图象有3个交点， ， 当时，， 当时，， 与轴的交点为， 的大致图象如下， 要使与的图象有3个交点， 则，解得，或.    故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合. 6．若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根的存在性和个数的判断，转化为函数图象的交点并作图数形结合判断参数范围. 【详解】问题等价于函数的图象和恰有三个不同公共点， 的图象可由的图象轴上方的不动，轴下方的对称上去， 如图数形结合可得 故答案为： 7．已知函数，方程 有四个不同根、、、，且满足，则的取值范围是 ，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】做出函数大致图象，数形结合可得出实数的取值范围，由对称性得、关系，对数函数的性质的、的关系， 从而化简代数式，由双勾函数的定义域得出取值范围. 【详解】作出函数与的图象如下图所示， 由题意可知，直线与函数的图象有个交点， 由图可知，， 因为二次函数的对称轴方程为， 由图象可得，则， 由及图象可得， 由于，则，则，所以，， 从而得，且，从而得， 所以，， 令，因为，则， 令，则，， 则在单调递增，则， 故的取值范围是. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 题型六 嵌套函数的零点个数求参数的范围 例1．已知，若关于的方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分方程的两根是否相等，结合的函数图象讨论即可. 【详解】记方程的两根为， 当时，恰好有三个互不相等的实根， 等价于与和共有三个不同的交点， 由图可知，此时有， 即，得； 当时，，恰好有三个互不相等的实根， 等价于与有三个不同的交点， 由图可知，此时，即，得. 综上，实数的取值范围为或. 故选：D    【点睛】方法点睛：一般地，判断形如的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围时，可采用换元法，先令，求解当时的值，然后根据函数的图象及性质确定当时，x的值的个数即为的零点个数．解答时注意数形结合，侧重对函数与图象性质的分析. 例2．已知，若方程有个不等实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先画出函数图象，有两根和，则方程及满足有个根即可求参. 【详解】观察各选项可得， 作出的图象，如图所示：   ， 令，先解，知其有两根和， 则方程提供个根，故方程提供个不等实根， 故，即，解得. 故选：D. 例3．已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数m取值范围值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解二次方程，即可求得的结果，根据的图像，数形结合，即可容易求得参数的范围，属中档题. 【详解】由， 得或，作出的图象，如图所示， 由图可知，要使方程有3个不同的实根， 当，即时，，符合题意， 当，即时，，符合题意， 所以所求范围是. 故选：C. 巩固训练 1．已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用换元法结合二次函数的零点计算即可 【详解】易知，令， 则满足条件需关于的方程在上有两个不相等的实数根， 由解得. 故答案为：. 2．已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，可得或，函数有三个零点，则需方程有两个解，则与的图象有两个交点，数形结合可求解. 【详解】令，可得， 所以，所以或， 由，又，可得，解得或， 方程无解，方程有一解，故有一解， 要使函数有三个零点， 则有两解，即与的图象有两个交点， 作出函数的图象的示图如下： 由图象可得，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 3．已知函数，若方程有6个相异的实数根，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意,作出函数的图象,进而数形结合,将问题转化为方程有两个不相等的实数根,再结合二次函数零点分布求解即可. 【详解】根据题意,作出函数的图象,如图: 令，因为方程有6个相异的实数根, 所以方程有两个不等的实根， 所以, 解得或, 不妨设这两根, 则或, 当时，，且，所以无解； 当时， 令, 只需,即,解得, 终上所述：. 故答案为:. 4．设，函数，当时，函数有 个零点；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 2 【分析】根据方程的根，结合复合函数，即可求根求解空1，令，先考虑时，函数在,上有2个零点，再考虑，分与两种情况，结合函数图象，得到不等式，求出答案． 【详解】当时，，令，解得， 令，则，故或，此时有2个零点， 设，当时，，此时， 由得，即，解得或， 所以在,上有2个零点， 时，若，，对称轴为， 函数的大致图象如下： 此时，即，则， 所以无解，则无零点，无零点， 综上，此时只有两个零点，不符合题意， 若，此时的大致图象如下： 令，解得， 显然令在上存在唯一负解， 要使恰有3个零点， 只需在上除或外不能再有其他解， 即不能再有除或外的其他解， 故，即，解得，所以． 故答案为：2， 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 5．已知函数，若关于的方程有8个不同的实根，求的取值范围． 【答案】 【分析】先讨论，结合函数解析式，确定显然不满足题意；再讨论，画出的图象，利用数形结合的方法，即可求出结果. 【详解】若，当时，恒成立； 当时，由得，即仅有一个根； 所以由可得，则；即方程仅有一个实根； 故不满足有8个不同的实根； 若时，画出的大致图象如下， 由可得，，， 又有8个不同的实根， 由图象可得，显然有三个根，显然有两个根， 所以必有三个根，而，， 为使有三个根，只需，结合，解得． 综上，，即的取值范围是． 6．已知函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求､的值； (2)设. ①若时，，求实数的取值范围； ②若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由已知可得在上单调递增，列关于的方程组求解； （2）①利用换元法将问题化为，利用配方法求不等式右侧的最小值，从而得解； ②将问题转化为有两个，数形结合得到或，从而转化为关于的不等式组求解. 【详解】（1）， 在上单调递增， 故，解得； （2）①由（1）知，， ， 不等式可化为， 即，令，则， ，原命题等价于， 记，则， 的取值范围是； ②方程可化为： ， 令，则方程化为， 方程有三个不同实数解， 由的图象知， 方程有两个， 且或， 记， 则或，解得， 实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：关于方程根的个数问题的思路有： （1）对方程进行整体换元； （2）根据换元的对象，由图象变换，画出其图象； （3）根据方程根的个数，分析函数值的取值范围及二次方程根的个数； （4）利用二次函数根的分布问题进行解决即可. 题型七 二分法及及其应用 例1．下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一分析各个选项的函数是否有零点，零点两侧符号是否相反即可得解. 【详解】对于A，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故A能用二分法求零点； 对于B，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故B能用二分法求零点； 对于C，不是单调函数，有唯一零点，但函数值在零点两侧都是正的， 故C不能用二分法求零点； 对于D，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故D能用二分法求零点. 故选：C. 例2．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 【答案】D 【分析】利用零点存在性定理找到零点所在区间，即可获得方程的近似解 【详解】， ，零点在区间内， 即该方程的根在区间内，结合各选项，方程的近似解为1.421875. 故选：D. 例3．用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 【答案】B 【分析】根据二分法的性质即可求解. 【详解】已知，，则函数的零点的初始区间为[0.09375，0.125]， 所以零点在区间[0.09375,0.125]上，， 所以可以作为的一个零点近似值， 故选：B 巩固训练 1．下列函数中，不能用二分法求函数零点的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法零点判断规则即可得到正确选项. 【详解】选项A：由，可得在上存在零点，故A错误； 选项B：由，可得在上存在零点，故B错误； 选项C：，则其零点为， 但不存在实数满足，因而不能用二分法求此函数零点，故C正确； 选项D：由，可得在上存在零点，故D错误. 故选：C. 2．在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二分法即可判断. 【详解】根据, 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 3．下列函数图象与轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据二分法的要求结合零点存在性定理分析判断. 【详解】由题意可知：二分法求零点要求函数连续不断且满足零点存在性定理，即成立， 对比选项可知：ACD均符合， 但选项B：恒成立，不满足零点存在性定理，故B错误. 故选：B. 4．某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则方程的近似解（精确度0.1）可取为（   ） A．2.62 B．2.56 C．2.531 D．2.75 【答案】BC 【分析】利用函数的性质及零点存在性定理，结合精确度的理解就可以确定答案. 【详解】因为函数在其定义域内单调递增， 结合表格中数据： 可知方程的近似解所在区间可以是 根据区间的长度计算分别为， 根据精确度为，可知方程的近似解在区间上， 根据精确度为的要求，可在区间上任选一个值作为该方程的近似解, 故选：BC. 5．下列命题错误的是（    ） A．当时，函数的图象是一条直线 B．命题“，都有”的否定是“，使得” C．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过次二分后精确度达到 D．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，，，则1.375和1.4都是精确度为的近似零点 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的性质即可求解A，根据全称命题的否定为特称命题即可求解B,根据二分法的性质即可求解CD. 【详解】对于A, 当时，函数，故图象是两条射线，A错误， 对于B，命题“，都有”的否定是“，使得”，故B错误， 对于C，开区间的长度等于1，每经过一次操作长度变为原来的一半， 则经过次操作之后，区间的长度变为，故由，得，所以， 即至少经过4次二分后精确度达到0.1，故C正确； 对于D，由于，所以的任何一个值均为精确度为的近似零点，故D错误， 故选：ABD 6．下列说法正确的是（    ） A．已知方程的解在内，则 B．函数的零点是 C．函数有两个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 【答案】AD 【分析】对A，构造函数，利用零点存在性定理和单调性可得；对B，根据零点定义可知；对C，作出的图象，观察其交点个数可得；对D，根据零点存在性定理可得. 【详解】对A，记，易知都在单调递增， 所以在上单调递增， 又， 所以存在唯一零点，且， 即方程的唯一解在内，所以，A正确； 对B，令，解得或， 所以函数的零点是或，B错误； 对C，作出的图象如图： 当时，函数和的图象显然有一个交点， 又，所以函数和的图象在处相交， 所以有三个不同的零点，C错误； 对D，因为， 所以由零点存在性定理可知，零点近似值在区间上，D正确. 故选：AD 题型八 实际应用中的函数模型 例1．长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变. 记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式： ①；②；③；④. 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】A 【分析】需满足四个条件：（1）自变量的取值范围是；（2）函数值域为的子集；（3）该函数在上恒有；（4）该函数在上为增函数.逐一对照分析即可求解. 【详解】函数的对称轴为， 所以，超出了范围，不符合题意； ，时，， 且在上单调递增， ，即，符合题意； 函数在上单调递减，在上单调递增，故不符合题意； 函数为增函数，且时，， ，则，即，符合题意. 故满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是②④. 故选：. 例2．研究发现一种鸟类迁徙的飞行速度（单位：）与其耗氧量之间的关系式为：（其中是实数），据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为.大西洋鲑鱼逆流而上时其游速为（单位：），耗氧量单位数为，统计发现：与成正比.当时，.若这种鸟类与鲑鱼的速度与相同时，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出，可得，设，由题意得，，由得，根据对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意得，解得， ， 设， 由题意得，解得， ， 又， ， 则，即， ，即. 故选：. 例3．我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，那么从现在起至少经过 分钟才能达到排放标准.（参考数据：，结果取整数） 【答案】16 【分析】由题意得到不等式，两边取对数，得到，代入，求出答案. 【详解】由题意得， 即， 故， 因为， 所以， 故， 所以从现在起至少经过16分钟，才能达到排放标准. 故答案为：16 巩固训练 1．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2) (3)当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组求解出结果； （2）根据利润的计算公式分别考虑当，时的解析式，由此可求解出结果； （3）利用二次函数性质分析时的最大值，利用基本不等式分析时的最大值，由此可确定出结果. 【详解】（1）由题意可知，解得； （2）当时，， 当时，， 综上所述，； （3）当时，， 此时由二次函数单调性可知； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 且， 综上所述，当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 2．茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 【答案】(1)选模型②，且 (2) (3)约为10℃ 【分析】（1）根据表格数据判断函数的单调性及增长率，根据一次函数、指对数函数性质确定模型，再结合数据求解析式； （2）令，利用指数与对数关系及对数运算性质求结果； （3）根据指数函数性质求函数的值域，即可确定进行实验时的室温. 【详解】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合， 选模型②，则，即，可得， 所以且. （2）令，则. 所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为. （3）由，即，所以进行实验时的室温约为10℃. 3．为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据： 1 2 3 4 5 6 （万个） 10 50 250 若该病毒的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择. (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？ 参考数据：. 【答案】(1)选择函数更合适，解析式为 (2) 【分析】（1）利用现有函数模型，代入题设相关数据并检验即可判断； （2）利用（1）中结论，结全对数的运算法则即可得解. 【详解】（1）若选， 将和代入 可得，解得，故， 将代入，得与相差太大，不符合题意； 若选， 将和代入 可得，解得，故， 将代入，得，符合题意， 综上，选择函数更合适，解析式为. （2）依题意，设至少需要个单位时间， 则，即， 两边同时取对数，可得， 则， ，的最小值为14， 故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于12亿个. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 函数应用（3知识点+8题型） 知识点一：函数的零点的概念 1.概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. 2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 知识点二：零点存在性定理 （1）零点存在性定理：如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根. （2）零点存在定理注意事项 ①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线； ②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立. 满足上述两个条件，则函数y＝f(x)的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数根c，但不能确定有几个，只有再借助于f(x)在(a，b)内的单调性才能确定f(x)在(a，b)内零点的个数. 知识点三：二分法概念及应用 （1）定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. （2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤： ①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0； ②求区间(a，b)的中点c； ③计算f(c)，进一步确定零点所在的区间： ④若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ⑤若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ⑥若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. （3） 判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).　 题型一 求函数零点 例1．函数的零点是（    ） A． B．1，2 C． D． 例2．函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例3．已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 巩固训练 1．已知分别是函数的零点，则（    ） A． B． C．3 D．4 2．函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 3．已知函数则方程的所有根之积为 ． 4．已知函数，则函数的零点是 ． 5．已知函数，则函数的所有零点构成的集合为 . 题型二 求函数零点个数 例1．函数零点的个数为（   ） A． B． C． D． 例2．函数零点的个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 例3．已知，则方程实数根的个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 巩固训练 1．方程的解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或3或4 2．函数的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知，则函数的零点个数是 . 4．函数的零点个数为 . 题型三 判断函数所在区间 例1．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 例2．方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D． 例3．函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．设x0是函数的零点，若，则的值满足（    ） A． B． C． D．的符号不确定 3．已知是函数的一个零点，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．设是函数的零点，若，则的值满足（    ） A． B． C． D．以上都有可能 5．已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 题型四 已知函数零点所在区间求参数范围 例1．已知函数，则使有零点的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 例2．若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 例3．已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是 . 巩固训练 1．已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．函数的零点在区间，则 . 3．若方程的实根在区间上，则（   ） A． B．2 C．或2 D．1 4．已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 题型五 已知函数零点个数求参数范围 例1．已知函数，方程有3个实数解，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数．若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（多选）已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的值可能是（    ） A．1 B．2 C． D． 2．已知函数恰有2个零点，则实数的取值范围为 3．若关于的方程有两解，则的取值范围是 ． 4．若函数恰有两个零点，则实数的范围是 ． 5．已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围 . 6．若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为 ． 7．已知函数，方程 有四个不同根、、、，且满足，则的取值范围是 ，的取值范围是 ． 题型六 嵌套函数的零点个数求参数的范围 例1．已知，若关于的方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（） A． B． C．或 D．或 例2．已知，若方程有个不等实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3．已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数m取值范围值是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是 . 2．已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为 . 3．已知函数，若方程有6个相异的实数根，则实数b的取值范围是 . 4．设，函数，当时，函数有 个零点；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 ． 5．已知函数，若关于的方程有8个不同的实根，求的取值范围． 6．已知函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求､的值； (2)设. ①若时，，求实数的取值范围； ②若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 题型七 二分法及及其应用 例1．下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 例2．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 例3．用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 巩固训练 1．下列函数中，不能用二分法求函数零点的有（    ） A． B． C． D． 2．在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数图象与轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则方程的近似解（精确度0.1）可取为（   ） A．2.62 B．2.56 C．2.531 D．2.75 5．（多选）下列命题错误的是（    ） A．当时，函数的图象是一条直线 B．命题“，都有”的否定是“，使得” C．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过次二分后精确度达到 D．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，，，则1.375和1.4都是精确度为的近似零点 6．（多选）下列说法正确的是（    ） A．已知方程的解在内，则 B．函数的零点是 C．函数有两个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 题型八 实际应用中的函数模型 例1．长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变. 记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式： ①；②；③；④. 则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是（    ） A．②④ B．①④ C．②③ D．③④ 例2．研究发现一种鸟类迁徙的飞行速度（单位：）与其耗氧量之间的关系式为：（其中是实数），据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为.大西洋鲑鱼逆流而上时其游速为（单位：），耗氧量单位数为，统计发现：与成正比.当时，.若这种鸟类与鲑鱼的速度与相同时，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 例3．我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，那么从现在起至少经过 分钟才能达到排放标准.（参考数据：，结果取整数） 巩固训练 1．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 2．茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 3．为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据： 1 2 3 4 5 6 （万个） 10 50 250 若该病毒的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择. (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？ 参考数据：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$