湖北省武汉市硚口区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

武汉市硚口区2024~2025学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑. 1.我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美.下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 2.已知m，n是一元二次方程x2-4x-2＝0的两个实数根，则m+n的值是 A.-4 B.-2 C.2 D.4 3.如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD可以由△AOB旋转得到，则正确的旋转方式是 A.绕点D逆时针旋转135° B.绕点O顺时针旋转45° C.绕点O逆时针旋转90° D.绕点B逆时针旋转135° 4.将抛物线y＝-2（x-3）2+1平移后得到抛物线y＝-2x2，正确的平移方式是 A.向右移动3个单位长度，向上移动1个单位长度 B.向左移动3个单位长度，向上移动1个单位长度 C.向右移动3个单位长度，向下移动1个单位长度 D.向左移动3个单位长度，向下移动1个单位长度 8.关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 A.m＜4 B.m≤4 C.m＜-4 D.m＞4 6.如图，⊙P经过点O（0，0），交y轴于点B，若P（-5，-3），则点B的纵坐标是 A.-10 B.-8 C.-6 D.-4 7.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，其中记载:今有户不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，从之不出二尺，那之适出.问户高、广、邪各几何？译文是:今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短.横放，竿比门宽长出4尺;竖放，竿比门高长出2尺;斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则下列正确的方程是 A.（x-4）2+（x-2）2＝x2 B.（x+4）2＝x2+（x-2）2 C.（x-4）2＝x2+（x+2）2 D.（x+4）2＝x2+（x+2）2 8.如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA，在水管的顶端A安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高，且最高高度为，水柱落地处离池中心5m，则水管OA的长是 9.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转，得到△ADE，连接BD，BE.若∠BED＝80°，∠ADB＝60°，则∠CBE的大小是 A.10° B.15° C.20° D.25° 10.已知A（x1，y1），B（x2，y2）两点在抛物线y＝ax2-2a2x上（常数a≠0），若对于x1＝3a， 3≤x2≤4，都有y1＜y2，则a的值不可能是 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解题过程，请将结果直接填写在答题卡指定位置. 11.已知点P（2025，m）与点Q（n，-2024）关于原点O中心对称，则m的值是. 12.将一元二次方程2x2+1＝5x化为一般形式后，常数项是1，则一次项系数是. 13.点P（4，5）绕点O（0，0）顺时针旋转90°后，得到对应点的坐标是_____. 14.某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，设每个商品降价x（元），每天获得利润y（元），则y与x的函数关系式是_____ 15.如图,正方形ABCD的边长为2,BE＝AB,BF平分∠EBC交AE的延长线于F，交CD于M.当M为CD的中点时，AE的长是_____. 16.抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点（-2，0），且c＜0. 下列四个结论: ① 4a-2b+c＝0; ② 当x＜-2时，y＞0; ③ 若点（1，1），（2，t）均在抛物线上，则; ④ 不等式t（at+b）≥a+b对任意的实数t都成立，则 其中正确的结论是______（填写序号）. 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形. 17.（木题满分8分） 解方程:x2+3x+1＝0. 18.（本题满分8分） 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C的对应点E落在AB上. （1）若AC＝6，BC＝8，求BE的长. （2）连接BD，在△ABC中，添加与角相关的一个条件，使△ABD是等边三角形.（不需要说明理由） 19.（本题满分8分） 如图,在等腰△ABC中,AB＝AC,⊙A交BC于D,E两点,半径AF⊥BC于H. （1）求证:BD＝CE; （2）若DE＝8，FH＝2，求⊙A的半径. 20.（本题满分8分） 如图，某植物园有一块足够大的空地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边利用一堵墙的矩形ABCD花圃，墙长为6米，其中边AD大于或等于墙长，中间用篱笆隔开.设BC的长为x米， AB的长为y米，矩形ABCD花圃的面积为s米2. （1）直接写出y关于x，s关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围; （2）当BC的长为多少时，矩形ABCD花圃的面积最大？最大面积为多少？ 21.（本题满分8分） 如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图. （1）在图1中，D在线段BC上，先画@ABCE，再在AB上画点F，使DF∥AC; （2）在图2中，先画△ABC的高CH，再在射线CH上画点P，使∠APC＝∠ABC. 22.（本题满分10分） 图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载:曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼.如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形ABCD，墙宽BC为2米，点B与点O的水平距离为23米，垂直距离为6米.以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x-15）2+k的一部分. （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为9米. ① 求抛物线的解析式（不用写出x的取值范围）; ② 石块能否飞越防御墙. （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（不包括端点B，C），直接写出a的取值范围. 23.（本题满分10分） 问题情境CD是等边△ABC的中线，点P在线段CD上运动（不包括端点C，D），将线段PA绕点P顺时针旋转，点A的对应点E落在射线BC上，探究∠APE的大小.记∠CAP＝α. 问题探究（1）如图1，将问题特殊化，当a＝30°时，直接写出∠APE的大小; （2）如图2，将问题一般化，当0°＜α＜30°时，求证:是定值. （3）问题拓展 当30°＜α＜60°时，若，直接写出的值. 图2 24.（本题满分12分） 如图1，抛物线x2+c交x轴于A（-4，0），B两点，交y轴于点C. （1）直接写出直线BC和抛物线的解析式; （2）设直线y＝m与抛物线交于D，E两点（D在E左边），与射线CB交于点F，若DF＝3EF，求m的值; （3）如图2，点M在第四象限的抛物线上运动，点N与点M关于y轴对称，直线 x＝t（t≠4）分别交直线BM，BN，x轴于P，Q，G三点，若PG-QG＝2，求t的值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 B D C D A CA C 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11.2024 12.-5 13.(5，-4) 14.y=-20x2+100x+6000(或写成y=(300+20x)(20-x)) 15. 2而 16.①③④（第16题在未填②的情形下，每填写一个答案给1分) 三、解答题（共8小题，共72分） 17.解：由题意知：a=1,b=3,c=1,3分 ∴.△=b2-4ac=9-4=5, …6分 为=3+5 …8分 2 18.解：(1)在Rt△4BC中，AC=6,BC=8,所以AB=√AC2+BC2=10. …2分 ,△ADE由AABC旋转得到 ∴.△MDE≌ABC.AE=AC=6 *…4分 ·BE=AB-AE=2 …6分 (2)∠BAC=60°（或∠ABC=30°） …8分 19.(1)证明：在△MBC中，AB=AC,AH⊥BC于H,所以BH=CH.…1分 在⊙A中，DE是弦，AF是半径，且AF⊥DE于所以DH=EH. …3分 :BH-DH =CH-EH,BD=CE. …4分 (2)解：连接AD.由(1)知，DH=EH=4, 设半径为r,AH=r-2. 5分 在RM△ADH中，由勾股定理，有 -2)2+42=r2 …6分 解得r=5..⊙A的半径为5 …8分 20.解：(1)y=2-子S=02-号x6≤x<18 …4分（1分+2分+1分) 3 (2)S=02-2xx=-2(x-9y+54. …6分 3 因为此二次函数开口向下，当x=9时，S取得最大值，且最大值为54. …7分 答：当BC的长为9米时，矩形ABCD花丽的面积最大，且最大面积为54平方米 8分 21.(每个画图各2分) 22.解(1)①设石块运行的函数关系式为y=a(x-15)+9, …1分 将(0,0)代入，得225a+9=0,解得a=- 25 所以抛物线的解折式为y=一云x-15+9. 3分 ②石块不能飞跃防御墙. …4分 理由如下：将23代入，)y=一方（23-15+9=6 5>6 将x=25代入，y一方25-15+9=5<6，所似石块不能飞联防御格 …7分 (2)、6 a- (每个端点值各1分，小于符号) *…10分 125 23.解：问题探究（1)120°. …3分 (2)方法1：连接BP,在AC上取点F,使得AF=EC,过点P作PG⊥AC于G. 因为CD是等边△MBC的中线，则CD是高，所以CD是AB的垂直平分线， .PB=PA,∠PAB=∠PBA …4分 .∠PBC=60°-∠PBA=60°-∠PAB=∠PAC 又PE=PA.PE=PB .∠PEC=∠PBC B .∠PAC=∠PEC …5分 AP=EP 在△PAF和△PEC中， {∠PAF=∠PEC,所以△PAF≌△PEC. AF=EC ∴.PF=PC. …6分 又PG⊥CF .FG=CG. 在RIAPCG中，∠PcG=30°，所以CG=5CcP. 2 .CF=FG+CG=CP. 于是4C_CE-4C-C-Cc5-5. …7分 CP CP CP 方法2：连接BP,过点P作PH⊥BE于H. 因为CD是等边△ABC的高，所以CD是AB的垂直平分线， D PB=PA,∠PCH=∠ACB=30 …4分 2 H 又PE=PA.PE=PB. .PH垂直平分BE,即BH=EH. …5分 在RIAPCH中，∠PCH=30,所以cH=5cP. …6分 2 所以AC=BC=BH+CH=2CH+CE=V5CP+CE. 4C-CE=5. …7分 CP (部分过程结论的推理有多种方法，对应给分) 问题拓展 7 …10分 5 25: 25 B H E 24.解(1)直线BC的解析式为y=-x+4, …1分 抛物线Γ的解折式为y=-+4 3分 (2)设直线y=m与y轴交于点G,点F的坐标为(4-m,m). 当0<m<4时，若DF=3EF,则EG=2FG,所以点E的坐标为(8-2m, m）. …4分 将点E代入到抛物线解折式中，得m=一8-2mP+4,整理得 m2-7m+12=0,解得m=3或m=4(舍去) …5分 当m<0时，若DF=3EF,则EG=FG,所以点E的坐标为4，m). 2 E代入到抛物线解折式中，得m=-64-mP+4,整理得m+8m-48 解得m=-12或m=4(舍去). D 综上所述，m的值为3或-12. …7分 (3)设点M的坐标为m,-二m+),则点N的坐标为（←m,-二m2+4),而B4,0), 1 4 可得直线BM的解折式为：y=-m+4x-到. …8分 与直线x=1联立，得点P的坐标为，-m+-4), …9分 同理，可得直线BN的解析式为：y=m-4x-4, 点Q的坐标为0，行m-4X-4纱. …10分 当1<4时，PG-0G=n+%=-20-4)，由-21-4)=2，解得1=3： …11分 当14时，PG-2G=-yp-ye=21-4)，由21-4)=2，解得1=5： 综上所述，1的值为3或5. …12分