江苏省泰州市兴化市2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 D D A D B C 二、填空题 7.x=-1； 8.5； 9.150； 10.160； 11.三； 12.丙； 13. √2 2 𝜋； 14.（2,1） 15.-4 或 1； 16.2√7 − 4 16 参考答案：作 F 关于 AC 的对称点 H，H 在𝐴𝐶⏜上可得𝐴𝐶⏜ = 𝐴𝐹⏜ = 𝐸𝐹⏜，所以∠FAE=∠ FEA=∠ABH，∠ABH+∠BAH=60°，所以∠FAH=60°，所以△AFH 为等边三角形，作 AP⊥AB，交 BO 延长线于点 P，则△AOP 为等边三角形，所以∠PAB=90°，易得 PD=2√7，连接 PF，OH，易得△APF≌△AOH，所以 PH=OH=4，因为 DF≥PD-PF，所 以 DF 最小值为2√7 − 4 三、解答题 17.（1）4 4 分 （2）（6,0） 8 分 18.（1）证明：∵𝐵𝐶 = 𝐵𝐴, ∠𝐶𝐴𝐵 = 45°， ∴∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐶𝐴𝐵 = 45°， ∴∠𝐴𝐵𝐶 = 180° − 45° − 45° = 90°， 即𝐴𝐵 ⊥ 𝐵𝐶， ∴𝐵𝐶是⊙ 𝑂的切线； 4 分 P H F G D E B O A C （2）解：由（1）可知，∠𝐴𝐵𝐶 = 90°， ∵𝐴𝐵是⊙ 𝑂的直径， ∴𝑂𝐷 = 𝑂𝐵 = 1 2 𝐴𝐵 = 1, 𝐵𝐶 = 2， ∴𝑂𝐶 = √22 + 12 = √5， ∴ 5 1CD OC OD    ． 8 分 19. （1）6 3 分 （2）90 6 分 （3）甲的方差= 16 3 ，甲的方差小于乙的方差，甲更稳定，选甲—— 10分 20. （1）60,15 6 分 （2）450. 10 分 21. （1）r=2 5 分 （2）S=𝜋 − 2 10 分 22.（1）𝑦 = − 1 25 𝑥2 5 分 （2）10 小时 10 分 23.（1）解：如图：⊙ 𝐸即为所求； 5 分 （2）连接 EF ∵ABCD 为正方形， ∴∠BDC=45° ∴BD=√2𝐵𝐶 = 4√2 ∵BD 是⊙ 𝐸的切线 ∴EF⊥BD ∴△DEF 是等腰直角三角形 ∴EF=DF ∵BC 是⊙ 𝐸的切线 ∴BF=BC=4 ∴EF=BD-BF=4√2-4 ∴⊙ 𝐸的半径为4√2-4 10 分 24.（1）解：将（1，0），（0， − 5）代入𝑦 = 𝑥2 − 2(𝑝 + 1)𝑥 + 𝑞得 { 0 = 1 − 2(𝑝 + 1) + 𝑞 −5 = 𝑞 ， 解得{ 𝑝 = −3 𝑞 = −5 ； 5 分 （2）解：由（1）得𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 − 5， ∵点𝐴（𝑥1，𝑦1）、𝐵（𝑥2，𝑦2）是该函数图象上两点， ∴ 𝑦1 = 𝑥1 2 + 4𝑥1 − 5，𝑦2 = 𝑥2 2 + 4𝑥2 − 5， ∴ 𝑦1 + 𝑦2 = 𝑥1 2 + 𝑥2 2 + 4(𝑥1 + 𝑥2) − 10， ∵ 𝑥1 + 𝑥2 = 2， ∴ 𝑥2 = 2 − 𝑥1， ∴ 𝑦1 + 𝑦2 = 𝑥1 2 + (2 − 𝑥1) 2 − 2 = 2𝑥1 2 − 4𝑥1 + 2 = 2(𝑥1 − 1) 2， ∵点𝐴，𝐵是图像上不重合两点， ∴ 𝑥1 ≠ 𝑥2 ≠ 1， ∴ 𝑦1 + 𝑦2 = 2（𝑥1 − 1） 2 ＞0． 10 分 25.（1）把𝐴(－1，0)和𝐵(5，0)，分别代入𝑦 = −𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐，得 { −1 − 𝑏 + 𝑐 = 0 −25 + 5𝑏 + 𝑐 = 0 ，解得：{ 𝑏 = 4 𝑐 = 5 ， ∴抛物线的表达式为𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 + 5； 当𝑥 = 0时，𝑦 = 5， ∴𝐶(0，5)， 设直线𝐵𝐶的为𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑛， 把𝐵(5，0)、𝐶(0，5)分别代入𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑛，得 { 5𝑘 + 𝑛 = 0 𝑛 = 5 ，解得：{ 𝑘 = −1 𝑛 = 5 ， ∴直线𝐵𝐶的表达式为． 4 分 （2）解：∵𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 + 𝑦 = −𝑥 + 55 = −(𝑥 − 2)2 + 9 ∴抛物线的顶点𝐷(2，9)， 过点 D 作𝐷𝐸 ⊥ 𝑥于 E，如图， ∴𝐸(2，0)， ∵𝐵(5，0)，𝐶(0，5)，𝐷(2，9)， ∴𝑆△𝐵𝐶𝐷 = 𝑆梯形𝐶𝑂𝐸𝐷 + 𝑆△𝐵𝐸𝐷 − 𝑆△𝐵𝑂𝐶 = 1 2 (𝑂𝐶 + 𝐷𝐸) ⋅ 𝑂𝐸 + 1 2 𝐵𝐸 ⋅ 𝐷𝐸 − 1 2 𝑂𝐵 ⋅ 𝑂𝐶 = 1 2 (5 + 9) × 2 + 1 2 (5 − 2) × 9 − 1 2 × 5 × 5 = 15． 8 分 （3）由题意，平移后的二次函数表达式为𝑦 = −𝑥2， ∵M，N 为𝑦 = −𝑥2绕坐标原点逆时针旋转 90°后抛物线上的两点， 且 M，N 在直线𝑦 = −𝑥 + 5上 记旋转前 M，N 的对应点为𝑀′，𝑁′， ∴𝑀′，𝑁′在直线𝑦 = −𝑥 + 5绕坐标原点顺时针旋转 90°后的图像上 设直线𝑦 = −𝑥 + 5绕坐标原点顺时针旋转 90°后的表达式为 y=mx+n ∵点 B，C 绕坐标原点顺时针旋转 90°后对应点为（0，-5），（5，0） ∴{ 𝑛 = −5 5𝑚 + 𝑛 = 0 解得{ 𝑛 = −5 𝑚 = 1 所以 y=x-5 联立{ 𝑦 = −𝑥2 𝑦 = 𝑥 − 5 解得𝑀𝑥 ′ = −1−√21 2 ，𝑁𝑥 ′ = −1+√21 2 ∵P 为旋转后抛物线上 M，N 左侧动点， ∴旋转前 P 的对应点𝑃′在𝑦 = −𝑥2上且在直线𝑀′𝑁′上方 𝑆△𝑃𝑀𝑁 = 𝑆△𝑃′𝑀′𝑁′ 过点𝑃′作直线𝑃′Q⊥y 轴交直线𝑦 = 𝑥 − 5于点 Q 设𝑃′（t，−𝑡2） 则 Q（t，t−5） ∴𝑃′𝑄=−𝑡2 − 𝑡 + 5 𝑆△𝑃′𝑀′𝑁′ = 1 2 𝑃′𝑄 ∙ (𝑁𝑥 ′ − 𝑀𝑥 ′ ) = − √21 2 (𝑡2 + 𝑡 − 5) 当 t=− 1 2 时，𝑆△𝑃′𝑀′𝑁′有最大值 21√21 8 ∴𝑆△𝑃𝑀𝑁最大值为 21√21 8 12 分 26.（1）同弧所对的圆周角相等 3 分 （2）假设点 D 在⊙ 𝑂外，设 AD 交⊙ 𝑂于点𝐸，连接 CE ∵点 E 在⊙ 𝑂上， ∴∠B＝∠AEC ∵在△CDE 中，∠𝐴𝐸𝐶＝∠DCE+∠D ∴∠𝐵＝∠DCE+∠D O A C B E D ∴这与已知条件∠𝐷 =∠B 矛盾 ∴点𝐷不在⊙ 𝑂外 8 分 （3）① ∵∠BAC=∠DBC ∴A，B，C，D 四点在同一个圆上，记为⊙ 𝑂 记∠BAC=𝛼 ∠CAD=∠CBD=𝛽 ∵四边形 ABCD 内接于⊙ 𝑂 ∴∠DCE=∠BAD= 𝛼 + 𝛽 ∵AB=BE ∴∠E=∠BAE= 𝛼 + 𝛽 ∴∠ACB=∠CAD+∠E= 𝛼 + 2𝛽=60° ∵∠CFD=∠CAD+∠ADB= 𝛽+60° ∴∠ACD=180° −∠ACB−∠DCE =120° − 𝛼 − 𝛽 = （𝛽 + 60°） −（𝛼 + 2𝛽 − 60°） = （𝛽 + 60°） =∠CFD ∵∠CFD=∠AFB，∠ACD=∠ABD ∴∠AFB =∠ABD ∴AF =AB ∴AF=BE 11 分 ② t 的大小不会发生变化 理由：延长 BC 至点 E，使得 CE=AB ∵∠ACB=∠ADB ∴A，B，C，D 四点在同一个圆上 ∵BD 平分∠ABC ∴∠ABD=∠CBD ∴AD=CD ∵A，B，C，D 四点在同一个圆上 O F C D A E B E D C A B ∴∠DAB+∠DCB=180° ∵∠DCE+∠DCB=180° ∴∠DAB=∠DCE ∴△BAD≌△ECD ∴BD=ED ∵BD 平分∠ABC，∠ABC=60° ∴∠DBE=∠E=30° 在△BDE 中，易得 𝐵𝐸 𝐵𝐷 = √3 所以 𝐴𝐵+𝐵𝐶 𝐵𝐷 = √3. 14 分