辽宁省普通高中2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024~2025学年度（上）联合体高二期中检测 数 学 全卷满分150分，片试时间120分钟。 注意事项： 1,茶近前，先将自己的处名，准考证号班写在议卷和茶题卡上，并将条形吗粘贴在爷题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题日的答题区成内作答，写在试卷、苹稀纸和公班卡上的非 答题区城均无效。 3.逃择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用黑色签字笔在爷驺卡 上作答：字体工整，笔迹济楚。 4.考试结来后，济将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容：人教B版选择性必修第一册第一章~第二章2.5。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知向量p=(一1,2,3)，则p2的值为 A.(1,4,9) B.W14 C.14 D.4 2.点P(一3,8，一5)关于平面xOy对称的点的坐标是 A.(3,-8,-5) B.(-3,-8,5) C.(3,8,5) D.(-3,8,5) 3.已知圆E:(x一2)2十(y-4)2=25,圆F:(x一2)2+(y一2)2=1，则这两圆的位置关系为 A.内含 B.相切 C.相交 D.外离 4.两平行直线41：x-2y-√10=0,2：4y-2x一3√10=0之间的距离为 A.√5 B.3 c吗 D.2√2 5.已知点A(3,2,一1)，B(4,1,一2)，C(-5,4,3),且四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐 标为 A.(-6,5,4) B.(3,-2,7) C.(-1,2,6) D.(-6,1,-3) 6已知方程，二2十产=1表示-个焦点在)轴上的椭圆，则实数m的取值范围为 A.(3,4) B.(2,4) C.(2,3)U(3,4) D.(2,3) 【离二数学第1页（共4页）】 25056B 7.在直三棱柱ABC-A,B1C,中，∠ABC=90°，BC=2,AB=CC,=1,则直线A,C与平而 AB,C:所成角的余弦值为 入9 B.V15 10 C.@ 10 D. 8.在空间直角坐标系中.已知A(1,1,-1),B(1,2,2),C(一3,4,2)，则点A到直线BC的距 离为 1 B.10 c2⑤ 5 D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.向量a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),若a∥b,则 Ax=方 B=-2 C.a=号b D.a-zb 10.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1CD1中，E,F分别为棱AA1和BB,的中点， 则以D为原点，DA,DC,DD,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确 的是 A.EF∥平面ABCD B.D1E⊥CF C.a=(1,0,2)是平面EFD1的一个法向量 D点C到平面EFD,的距离为g 1.已知椭圆C:号+苦=1的左，右焦点分别为R,R,点A1,1,点P是椭圆C上的一个动 点，则 A.AF2⊥F1F2 B.IAF1+AF<23 C.当点P不在x轴上时，从点P向x轴作垂线PP',P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨 迹方程为号+2=1≠0) D.IPF1|+|AP|的最大值为23-1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.两平面的法向量分别为m=(0,一1,0)，n=(0,1,1),则两平面的夹角为 13.在空间直角坐标系Oxyz中，点M(2,0,2)在平面a内，且OM⊥a,N(a,b,c)为平面a内任 意一点，则a十c= 14.在平面直角坐标系xOy中，y轴被圆心为C(1,0)的圆截得的弦长为2√3，直线l:y=ax+2 与圆C相交于A,B两点，点P(xo,%)在直线y=一x上，且|PA|=|PB引，那么圆C的方程 为 ,2x。十y%的取值范围为.（本题第一空2分，第二空3分） 【高二数学第2页（共4页）】 25056B 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 求符合下列条件的直线/的方程： (1)过点A(21),且斜率为- (2)过点A(1,4),B(2,3): (3)过点P(2,1)且在两坐标轴上的酸距相等。 16.(本小题满分15分) 如图，在直三楼柱ABC-A1B1C,中，AB⊥AC,AB=AC=AA1,点E,F分别为棱AB,A,B, 的中点 (1)求证：AF∥平面B,CE; (2)求直线C,E与直线AF的夹角的余弦值. 17.(本小题满分15分) 已知圆C过点A(0,1),B(一2，-1)，且圆心C在直线y=x十3上. (1)求圆C的标准方程； (2)过点P(一4,2)的直线1与圆C相切，求直线1的方程， 【高二数学第3页（共4页）】 25056P 18.(本小题满分17分) 已知箱圆C号+芳=1(。>6>0)的短轴长和焦E和等，长轴长是22. (1)求椭圆C的标准方程1 (2)立线1与椭圆C相交于P,Q两点，原点0到直线L的距离为沿。点M在稀圆C上，且 满足OM=O户+O,求直线1的方程. 19.(本小题满分17分) 如图，在直棱柱ABCD-A:B,CD,中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=于，AA,=2. 点E是线段AD上的动点（不含端点）. a当E1BG时，求铝的值： C (2)求平面BCE与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值的取值范围. 【高二数学第4页（共4页）】 25056B 2024~2025学年度（上）联合体高二期中检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1.Cp2=p·p=(-1,2,3)·(-1,2,3)=(-1)×(-1)+2×2+3×3=14. 2.D点P关于平面xOy对称的点的坐标是（一3,8,5），故选D. 3.A圆E:(x-2)2+(y-4)2=25的圆心E为(2,4)，半径n=5;圆F:(x-2)2+（y-2)2=1的圆心F为 (2,2),半径r2=1,则|EF|=√(2-2)+(4-2)产=2，故|EF|<n一r2,所以两圆内含：故选A. 4.C直线4：2x-4y-2V而=0,4：2x-4y+3V0=0,两平行直线之间的距离为30-C-2y@ W4+16 =52 2 5.A由线段AC和BD共中点，AC的中点为(-1,3,1)，可得点D的坐标为(-6,5,4)，故选A. -2>0, 6.D若方程表示为一个椭圆，有4一m>0, 解得2<m<3. m-2<4-, 7.D因为三棱柱ABC-A1B,C是直三棱柱，且∠ABC=90°，所以以B为原点、AB所在直线为x轴、BC所在 直线为y轴、BB,所在直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为BC=2,AB=CC,=1,所以A(1,0, 0),A1(1,0,1),B(0,0,1),C(0,2,0),C(0,2,1), 故A1C=(-1,2,-1),AC=(-1,2,1),B1C=(0,2,0). 设n=(x,y,x)为平面ABC,的一个法向量， n·AC=0-x+2y+z=0 则 → n·B,C=02y=0 令x=1,得=1，.n=（1,0,1). cos(AC)A.n IA:CIInl6X√23' 设直线AC与平面AB,G所成的角为0，则cos0=√-（一号）-5。 8.C由AB=(0,1,3),BC=(-4,2,0),有1AB1=√10,1BC=2√5，AB·BC=2,则A到BC的距离为 AB12-（ 2x=λ， 9.BC因为a/b,所以a=办，由题意可得1=一2A,所以A=号2=君y=一号，即a=专6 3=9λ， 10.ACD对于A,由于E,F分别是AA1,BB:的中点，所以EF∥AB,ABC平面ABCD,EF中平面ABCD,所 以EF∥平面ABCD,故A正确： 对于B,C(0,2,0),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),故D,E-(2,0,-1),CF-(2, 0,1),D,龙，C京-4+0-1≠0，故D,龙与C京不垂直，进而可得D,E与CF不垂直，故 B错误； 对于C,由C(0,2,0),D(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),所以DE=(2,0,-1),D 1n·D,龙=2x-g=0 =(2,2,一1)，设平面D1EF的法向量为n=(x,y,),则 n.D,F=2x+2y-g=0 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 令x=1,则y=0,x=2,所以平面D1EF的一个法向量n=(1,0,2),故C正确； 对于D,CD=(0,-2,2),点C到平面D,EF的距离为CD:ml= 4 n 5 -5,故D正确，放法ACD 11.ABC对于选项A,由F1(-1,0),F2(1,0),可知AF2⊥FF2,故选项A正确； 对于选项B,由椭圆的定义可知选项B正确； 对于选项C,设点P的坐标为()（其中%≠0》，点M的坐标为（红，，有x==空（≠0），有苦十 2-1,即号+2y=1≠0)，故选项C正确： 2 对于选项D,IPF,|+|AP|=(2√3-|PF2I)+|AP|=2√3+(|AP|-IPF2|)≤2W5+IAF:I=2√3+1， 故选项D错误， 12.至两平面的法向量分别为m=(0,-1,0),n=(0,1,1), ② 设两平面的夹角为0，所以cos(m,m)三一2X,万己 2 因为0≤K号，所以=平，即两平面的夹角为于。 13.4由题知M=(a-2,b,c-2),根据OMLa可知，OM=(2,0,2)是平面a的一个法向量，则M衣.OM=0, 所以2(a-2)一0×b十2(c一2)=0，整理可得a十c=4. 14.(x一1)2+y2=4(-3,0)U(0,1)设圆C的标准方程为(x-1)2+y2=2(r>0),有2=12+(3)，可 得r=2.由直线1与圆C相交，有a十<2，解得>专或a<0.由AP=PB,AC=BC,可得直线CP与直 w√a2+1 线1垂直，有”气=-日，有。号=-日解得=己。可得2十%=w=己。又由>号或a<0, 可得0<2x0+%<1或-3<2xa+%<0. 15.解：1)所求直线过点A(2,1),且斜率为-2y一1=-号(x-2),即x+2y-4=0: …3分 (2)所求直线过A(1,4),B(2,3),…………5分 kA8==-1, 6分 y-4=-(x一1)，即x+y-5=0；… 8分 (3)当直线过原点时，设直线方程为y=kx, 直线过P点(2,1)， 6=7,直线方程为y=子x,即x一2=0： 10分 当直线不过原点时，设直线方程为二十义=1，… 11分 将点P(2,1)代入上式，得2+1=1，解得a=3, 12分 a 故直线的方程为x十y一3=0， 综上，直线方程为x-2y=0或x十y一3=0. 4……4…4444……444444…444… 13分 16.(1)证明：由于三棱柱ABC-A,B,C是直三棱柱，所以ABLA,B,…2分 因为点E,F分别为棱AB,A1B1的中点，所以AE业B1F,………4分 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 则四边形AEB,F是平行四边形，所以AF∥B1E,… 6分 又因为AF中平面B,CE,B,EC平面BCE,所以AF∥平面BCE; …8分 (2)解：因为直三棱柱ABC-A1B1C,AB⊥AC,所以以A为原点，AB,AC, AA,所在直线为x轴，y轴，之轴建立如图所示的空间直角坐标系，…10分 不妨设AA1=2,则C1(0,2,2),E(1,0,0),F(1,0,2),于是CE-(1,一2，一2)， Af=(1,0,2),…12分 设直线CE与直线AF的夹角为0，则cos0= C龙.A=5 1CE1·AF5' ……小…………14分 所以直线C,E与直线AF的夹角的余弦值为5 15分 7.解：)直线AB的斜率为二（二号三1，线段AB的中点坐标为（一1,0），…… 2分 直线AB的垂直平分线的方程为y=一(x十1)，整理为y=一x一1， 3分 y=x十3 (x=一2 联立方程 解得 5分 y=-x-1 y=1 由圆C的性质可知，圆心C的坐标为（一2,1），可得圆C的半径为|AC=2,… 6分 故圆的标准方程为(x十2)2十(y一1)2=4；……7分 (2)①当直线l的斜率不存在时，直线x=一4正好与圆C相切，故此时直线1的方程为x=一4，·9分 ②当直线1的斜率存在时，设直线l的方程为y一2=k(x十4)，整理为x一y十4k十2=0， 由直线1与圆C相切，有一2k二1十4十2=2，解得三号，… 13分 √k2+I 可得直线1的方程为号x-y+5=0,整理为3x-4+20-0, 故直线l的方程为x=一4或3x一4y十20=0.………… 15分 18.解：(1)设椭圆C的焦距为2c, (2b=2c, 由题意有2a=2√2， ………2分 a2=2+c2, 解得a=√2，b=1,c=1，,…… 4分 故椭圆C的标准方程为号十y=1;…5分 (2②)若直线1的斜率不存在，直线1的方程为x=士S,此时满足O成-O市+O交的点M显然不在椭圆C 上，可得直线！的斜率存在， 设直线l的方程为y=kx十，P(x1y1),Q(x22）,M(x0,%）,…7分 联立方程 +y=1 2 消去y后整理为(2k2十1)x2十4kmx十2n2-2=0, y=kx十m, 可得x1十x2=一 Akm 621y1十2=k(x1+x2)+2=4”十21=2k2十 21 2k2十1 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 由△=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)=8(2k2-m2+1)>0,可得2k2+1>m2,…10分 又由O成M=O币+O,可得x=- 4km 2m 22+1%=22+1: 0…+…………………………*……+……… 11分 将点M的坐标代入椭圆C的方程，有号（仁祭)广+(2）广-1，整理为m=2张+1，…13分 又由原点0到直线L的距离为S,有m=30,可得20m2=9十92，……… 15分 √1+2 4m2=2k2+1, k2=4, k=2, k=2, k=一2， k=一2， 联立方程 可得 3或 20m2=9k2+9, 9解得 3或 3 m2= 3或 4 m 2m= 2 mn= 2 2 又由2×4+1> ，可得直线1的方程为y=2x+号或y=2红-是或y=-2x+号或y=-2x 9 3 2· ……17分 19.解：(1)如图，作AD中点F,连接EF,BF, D 因为AD∥BC,BE⊥BC1,所以AD⊥BE,… 2分 在菱形ABCD中，∠BAD=子，F为AD中点，所以BF⊥AD, 因为BE∩BF=B,BE,BFC平面BEF,所以ADL平面BEF,…4分 因为EFC平面BEF,所以AD⊥EF,所以EF∥DD1,…5分 因为F为AD中点，所以E为AD,中点，即品= 1 …7分 (2)连接AC,BD交于点O,连接AC,B1D1交于点O, 因为棱柱ABCD-A:B:CD1为直棱柱，且底面ABCD为菱形，所以AC,BD,OO两 两垂直， 以{OA,OB,O可)为x,y,x轴，建立空间直角坐标系，易解得OB=1,OA=5, 则A(3,0,0),B(0,1,0),B1(0,1,2),D1(0,-1,2),C(-√3,0,0)，…9分 所以AD,=(-3,-1,2),AB=(-3,1,0),BB,-(0,0,2),BC-(-√3，-1,0， 设A2=tAD(e(0,1),可解得E(-√31+5，-t,2),则BE=(-3+5,-1-1,2),…11分 设平面ABB1A1的法向量为m=(x1,y1,),平面BCE的法向量为n=(x2y2,2), m·Ai=-3十y=0n·BC=-5x2-为=0 则 m·BB1=2≈1=0 n·Bi=(-√3t+3)x2-(t+1)h+22=0 取=1，则m=1,5,0),取=1，则n=(1,-尽，-) ……14分 设平面BCE与平面ABB:A,所成锐二面角为a, 11-31 1e(,9) ……………17分 【高二数学参考答案第4页（共4页）】