北京市陈经纶中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

北京市陈经纶中学期中诊断 高二年级数学学科 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分． 1. 过两点的直线的倾斜角是，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 2. 椭圆的焦点为F1，F2，p为椭圆上一点，若，则 A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 3. 以，为直径两端点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 直线与圆相切，则 A. -2或12 B. 2或-12 C. -2或-12 D. 2或12 5. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 如图，已知斜三棱柱中，，，点是与的交点，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径，具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值．南昌二中作为全国双新示范校，“劳动教育课程”紧跟时代步伐，特在校园的一角专门开辟了一块劳动基地——心远农场（如图1）．现某社团为农场节水计划设计了如下喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图2所示．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为3m，且水流落在地面上以O为圆心，以7m为半径的圆上，则管柱OA的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一坐标系中，直线与圆的图形情况可能是（ ） A. B. C. D. 10. 曲线，其中均为正数，则下列命题正确的个数是（ ） ①当时，曲线是轴对称图形 ②当时，曲线关于中心对称 ③当时，曲线所围成的面积小于 ④当时，曲线上的点与距离的最小值等于1 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 抛物线的准线方程是________. 12. 已知空间向量，，共面，则实数______ 13. 已知直线与曲线的图象有公共点，则实数的一个取值为______；实数的最大值为______． 14. 若双曲线的离心率为3，则该双曲线焦点到渐近线的距离为_______． 15. 圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），，则该双曲线的标准方程为______． 16. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（不含端点），给出下列结论： ①存在点，使得； ②不存在点，使得异面直线与所成的角为； ③点到平面的距离有最小值无最大值； ④当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大． 其中正确结论的序号是______． 三、解答题共5小题，共70分． 17. 如图，在几何体中，底面是边长为的正方形，平面，，且． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知曲线的方程为，直线． （1）写出的短轴长和离心率； （2）当时，求被截得的弦长； （3）已知与交于两点，为坐标原点，当时，求的值． 19. 已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，分别是的中点．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个合适的条件作为已知，解决下列问题： （1）求证：平面； （2）求到平面的距离； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由． 条件①：；条件②：平面． 20. 已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）不经过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标． 21. 已知n是正整数，集合.若集合且P中元素个数为k，则称P是的k元子集.若P是的一个k元子集，且对任意：，都存在P中若干个不同元素，，，，满足，则称P是的k元基子集. （1）判断是否是的4元基子集，说明理由； （2）设P是的7元子集，判断P是否一定是的7元基子集，说明理由； （3）若的任意k元子集均是k元基子集，求k的最小值. 北京市陈经纶中学期中诊断 高二年级数学学科 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】C 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】3 【13题答案】 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. ## 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】②④ 三、解答题共5小题，共70分． 【17题答案】 【答案】（1）证明：由已知四边形为正方形可知， 又， 且，平面，，平面，， 平面平面； （2） 【18题答案】 【答案】（1）短轴长，离心率 （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）证明：由题意知是正三角形，是的中点，则； 底面是边长为4的正方形，则， 连接, 若选条件①：，则，即不垂直， 而如果平面，平面，则必有； 故选条件①不能推出平面，该条件不恰当； 故选条件②：平面，结合平面，得， 而平面， 故平面； （2） （3）不存在，理由：假设线段上存在点，使得直线与平面所成角为， ， 设，则， 平面的法向量为 故， 即，则，该方程无解， 故线段上不存在点，使得直线与平面所成角为. 【20题答案】 【答案】（1） （2）设， 当直线的斜率不存在时，则， 由， 解得，此时，故重合，不符合题意， 所以直线的斜率一定存在，设不经过点的直线方程为：， 由得， 且，即， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以，即， 化简可得：， 因为，所以， 所以， 所以直线必过定点． 【21题答案】 【答案】（1）是，理由：由于， 因为且， 所以是的4元基子集 （2）P不一定是的7元基子集，理由如下： ， 取，则，故4不能写成中若干个元素之和， 所以不是的7元基子集 （3）15 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $