北京师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

北京师大附中 2024—2025 学年（上）高二期中考试数学试卷第 1 页 （共 6 页） 北京师大附中 2024-2025学年（上）高二期中考试 数 学 试 卷 班级： 姓名： 学号： 考 生 须 知 1． 本试卷有三道大题，共 6 页。考试时长 120 分钟，满分 150 分。 2． 考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效。 3． 考试结束后，考生应将答题纸交回。 一、选择题共 10 小题，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）直线 3 3 5 0x y   的倾斜角为 （A） 6  （B） 3  （C） 3  （D） 5 6  （2）已知 (1, , 2)k a ， (2 ,2,4)kb ，若 / /a b ，则实数 k  （A） 2 （B） 1 （C）2 （D）1 （3）已知直线 l 的方程为 2 1 0x y   ，则过点 (1,3)A 且与 l 垂直的直线方程为 （A） 2 7 0x y   （B） 2 1 0x y   （C） 2 5 0x y   （D） 2 5 0x y   （4）已知平面 的一个法向量 (2,1,1)n ，直线 l 的一个方向向量 (1,0,2)v ，则 （A） l ∥ （B） l  （C） l  （D） l 与 相交且不垂直 北京师大附中 2024—2025 学年（上）高二期中考试数学试卷第 2 页 （共 6 页） （5）如图，在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，P 是线段 D1B 上一点，且 BP=2D1P， 若 1AP xAB yAD zAA   ( , , )x y zR ，则 x y z   （A） 2 3 （B） 4 3 （C） 5 3 （D）1 （6）在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AB AA ，则直线 1B C 与平面 1 1ABB A 所成角的正弦值 为 （A） 2 2 （B） 3 2 （C） 6 4 （D） 10 4 （7）如图，在三棱锥 D-ABC 中，平面 ABC 平面 DAC, ,AB BC AD CD , AB BC CD AD   ，则二面角 A BC D  的余弦值为 （A） 3 2 （B） 1 2 （C） 3 3 （D） 5 5 （8）设 m，n 是两条不同的直线， ,  是两个不同的平面，已知 / /m  ， n  ， 则“ / /m n ”是“  ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，点 M 是 PC 的中点， 3AB  ， 4PA  ， 60PAD PAB   ，则 AM  （A） 58 2 （B） 58 （C） 29 2 （D）4 D A C B M CD A B P 北京师大附中 2024—2025 学年（上）高二期中考试数学试卷第 3 页 （共 6 页） （10）如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 E 为 BC 的中点，点 P 在线段 CC1 上，则△D1EP 面积的最小值为 （A） 2 5 5 （B） 3 5 5 （C） 2 （D） 6 5 5 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11）若直线 1 0ax y   与直线 3 4 0x y   平行，则 a  ______. （12）在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，AB=AA1=2，AD=1，E 为 CC1 的中点，则异面直线 BC1与 AE 所成角的余弦值为______. （13）已知 (1, 2,3), (0, 2,0), (1,0,3)A B C  为平面 内三点，点D 在  内，且 D 异于 , ,A B C 三点，写出点 D 的一个坐标：________. （14）如图所示的多面体 ABCDEF，其各个面都是边长为 2 的等 边三角形，点 P,Q 分别为棱 AB, AD 的中点，则CP FQ  ________. （15）如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2，点 E,F 分别为棱 1 1B C , 1BB 的中点，点 G 为线段 1A D 上的一个动点, 给出下列四个结论： ①三棱锥 1B EFG 的体积为定值； ②存在点 G，使 1AC 平面 EFG ； ③存在点 G，使平面 EFG∥平面 1ACD ； ④设直线 FG 与平面 1 1ADD A 所成角为 ，则 sin 的最大值为 2 2 3 . 其中所有正确结论的序号为_____________. P E D C C1D1 B B1 A A1 E F D C C1D1 B B1 A1 A G F B E DC A 北京师大附中 2024—2025 学年（上）高二期中考试数学试卷第 4 页 （共 6 页） 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题 13 分） 已知点 (3,0)A ， ( 1, 3)B   ， (1,1)C ，点 D 是线段 BC 的中点，CE⊥AD，垂足为 .E （Ⅰ）求直线 AD的方程； （Ⅱ）求点 E 的坐标； （Ⅲ）求 ABC△ 的面积. （17）（本小题 14 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为矩形，点 E , F 分别为 AD , PB的中点， PE 平面 ABCD， PA PD . （Ⅰ）求证： //EF 平面 PCD； （Ⅱ）求证： PD AF ； （Ⅲ）若 1, 2AB AD  ，求四面体 ABFE 的体积. （18）（本小题 13 分） 在 ABC△ 中， 2 2 2 2b a c ac   . （Ⅰ）求 B 的大小； （Ⅱ）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得 ABC△ 存在且唯一，求 a 和 ABC△ 的面积. 条件① tan 3A   ； 条件② 2b  ； 条件③AB 边上的高为 6 2 . F P E CD BA 北京师大附中 2024—2025 学年（上）高二期中考试数学试卷第 5 页 （共 6 页） （19）（本小题 15 分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1, , 2 2,AB BC AB BC AA AC    D 是 1 1AC 的 中点，平面 ABD 与直线 1 1B C 交于点 E． （Ⅰ）求证：E 是线段 1 1B C 的中点； （Ⅱ）设点M 在线段CD上，直线 AE 与平面 ABM 所成角的 正弦值为 78 39 . （i）求 CM CD 的值； （ii）求 1B 到平面 ABM 的距离． （20）（本小题 15 分） 如图，在四棱锥 E ABCD 中， / /AB CD ，CD 平面 ADE , 6CD DA  ， 2AB  ， 3DE  ， π 3 ADE  . （Ⅰ）求证：平面 ACE 平面CDE ； （Ⅱ）求二面角 B CE D  的余弦值； （Ⅲ）设 F 为平面 ADE 内的动点，满足 5BF  . G 为 ADE△ 边上的动点，点 P 满足 AP AF AG  ， 写出点 P 组成的图形的面积.（结论不要求证明） E D B1 A1 C1 A C B 北京师大附中 2024—2025 学年（上）高二期中考试数学试卷第 6 页 （共 6 页） （21）（本小题 15 分） 由 n 个实数组成的有序实数组 1 2( , , , )na a a 称 n 维向量. 设 1 2( , , , )na a a  ，称 1 2 n a a a              为 的转置，记作 T . 将 n 个 n 维向量 1 2, , n,   的转置 1 2, , T T T n,   从左至右顺次排列构成 n×n 数阵 C， 记 1 2( , , ) T T T nC = ,   . 例如， 1 2(1,2), (3,4)   ，则 1 3 2 4 C        . 对任意 n 维向量 1 2 1 2( , , , ), ( , , , )n na a a b b b     和数阵 1 2( , , ) T T T nC = ,   ，定义如 下运算： ① 1 1 2 2 T n na b a b a b     ， 特别地，若 0T   ，则称 与  正交；若 1T   ，则称 为单位向量. ② 1 2( , , ) T T T nC =    ,       . ③对任意 2m m N且 ， 1( )m mC C C     ，其中 1C C . （Ⅰ）设 (1,0) , 1 2 1 2 2 2 2 2 ( , ), ( , ), ( , ) 2 2 2 2 T TC       ，直接写出 C 和 2C ； （Ⅱ）已知 3 维向量 1 2 3 1 3 (1,0,0), ( , , ), ( , , ) ( 0) 2 2 a b c d c      均为单位向量，且两两正 交. 设 (2,1,0) ， 1 2 3( , ) T T TC = ,   ，若存在正整数 m，使得 mC   ，求 , , ,a b c d 的值 及 m 的最小值； （Ⅲ）已知 4 维向量 1 2 3 4, , ,    均为单位向量且两两正交，其中 2 (0,1,0,0) . 设 1 2 3 4( , , ) T T T TC = ,    ，若对任意 4 维向量 ，都存在正整数 m 使得 mC   且 m 的最 小值为 12，给出一组满足上述条件的 1 3 4, ,   ，并说明理由. 北京师大附中 2024—2025 学年（上）高二期中考试数学试卷答案及评分参考 第 1 页（共 7 页） 北京师大附中 2024—2025 学年（上）高二期中考试 数学试卷答案及评分参考 一、选择题共 10小题，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B B D C C C A A B 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11 12 13 14 15 1 3 30 10 (2,0,6)（答案不唯一） 1 ①②④ 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题 13 分） 解：（Ⅰ）因为 ( 1, 3), (1,1)B C  ，所以 BC 的中点 D 为 (0, 1) ， 所以直线 AD 的方程为 0 3 1 0 0 3 y x      ，即 3 3 0x y   ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 1 3 ADk  ， 因为CE AD ，所以 3CEk   ， 所以直线 CE 方程为  1 3 1y x    ，即3 4 0.x y   由 3 3 0 3 4 0 x y x y        ，解得 2 . 2 3 1 x y        所以点 E 的坐标为 . 3 , 1 2 2       （Ⅲ）因为 2 2(3 0) [0 ( 1)] 10AD       ， 2 2 3 1 10 (1 ) [1 ( )] 2 2 2 CE       所以 2 5ABC ACDS S AD CE   △ △ . 北京师大附中 2024—2025 学年（上）高二期中考试数学试卷答案及评分参考 第 2 页（共 7 页） （17）（本小题 14 分） 解：（Ⅰ）取 PC 中点 G，连接 DG,FG. 因为 F 为 PB 中点，所以 FG∥ BC ， 1 2 FG BC ， 因为 E 为 AD 中点，所以 1 2 DE BC ， 又因为矩形 ABCD 中，AD∥BC， 所以 FG∥ DE ， FG DE ， 所以四边形 DEFG 是平行四边形 所以 EF∥DG， 因为 ,DG PCD EF PCD 平面 平面 , 所以 //EF 平面 PCD . （Ⅱ）因为 PE 平面 ABCD，所以 PE AB 因为矩形 ABCD 中， AD AB ， ,PE AD E PE PAD 平面 , 所以 AB PAD平面 ， 所以 AB PD . 因为 PA PD ，所以 PD PAB平面 ， 因为 AF PAB平面 ，所以 PD AF . （III）取 BE 中点 H，连接 FH. 因为 F 为 PB 中点，所以 FH∥PE， 1 2 FH PE ， 因为 PE 平面 ABCD，所以 FH 平面 ABCD . 因为直角三角形 PAD 中，E 为 AD 中点，所以 1 1 2 PE AD  ，所以 1 2 FH  . 四面体 ABEF 体积 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2 3 2 2 12 F ABE ABEV FH S FH AB AE           △ . H G F P E CD A B 北京师大附中 2024—2025 学年（上）高二期中考试数学试卷答案及评分参考 第 3 页（共 7 页） （18）（本小题 13 分） 解：（Ⅰ） 在 ABC△ 中，因为 2 2 2 2b a c ac   ， 由余弦定理得 2 2 2 2 cos 2 2 a c b B ac     ， 因为 (0,π)B ，所以 π 4 B  ； （II）若选①②， ABC△ 存在且唯一，解答如下： 因为 1 cos 2 A   ， 2π (0,π) 3 A A ，所以 ， 因为 2b  ，所以由正弦定理 2π π 3 4 2 sin sin a  ，则 3a  ； 又 πC A B   ， 所以   3 2 1 2 6 2 sin sin 2 2 2 2 4 C A B         ， 所以 1 1 6 2 3 3 sin 3 2 2 2 4 4 ABCS ab C         ； 若选①③， ABC△ 存在且唯一，解答如下： 因为 1 cos 2 A   ， 2π (0,π) 3 A A ，所以 ， 因为 AB 边上的高 h 为 6 2 ，所以 2 sin h b A   , 由正弦定理 2π π 3 4 2 sin sin a  ，则 3a  ， 又 2π π π π 3 4 C A B      ， 所以 2π π 3 2 1 2 6 2 sin sin 3 4 2 2 2 2 4 C             ， 所以 1 1 6 2 3 3 sin 3 2 2 2 4 4 ABCS ab C         ； 若选②③， ABC△ 不唯一，不合题意. （19）（本小题 15 分） 北京师大附中 2024—2025 学年（上）高二期中考试数学试卷答案及评分参考 第 4 页（共 7 页） 解：（I）三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 因为 AB ∥ 1 1A B ， AB 平面 1 1 1A B C ， 所以 AB∥平面 1 1 1A B C ， 因为 1 1 1ABD A B C DE平面 平面 ， 所以 AB∥DE，所以 DE∥ 1 1A B , 因为 D 是 1 1A C 的中点， 所以 E 是 1 1B C 的中点. （II）（i）因为在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1BB ABC平面 ， 所以 1 1,BB BA BB BC  ， 因为 ,AB BC 所以如图以 B 为原点建立空间直角坐标系 B xyz . (0,2,0), (2,0,0), (1,1,2 2), (1,0,2 2)A C D E ， (0,2,0), (1,1,2 2), (2, 2,0), ( 1,1,2 2)BA BD AC CD      , (1, 2,2 2)AE   ， 设CM CD , [0,1] ， 则 ( , ,2 2 )CM CD      ， (2 , 2,2 2 )AM AC CM        . 设平面 ABM 法向量 ( , , )x y zn ， 则 0 0 BA AM     n n ，即 2 0 (2 ) ( 2) 2 2 0 y x y z          ， 则 0y  ，令 2 2x  ，则 2z   ， 所以平面 ABM 的一个法向量 (2 2 ,0, 2)  n . z x y E D B1 A1 C1 A BC M 北京师大附中 2024—2025 学年（上）高二期中考试数学试卷答案及评分参考 第 5 页（共 7 页） 设直线 AE 与平面 ABM 所成的角为 ， 78 sin 39   当且仅当 2 2 2 2 2 2 4 2 78 cos , 3913 ( 2) 8 AE AE AE             n n n ， 解得 2 22 3 13   或 ，因为 [0,1] ，所以 2 3   . 所以 2 3 CM CD  . （ii） 1(0,0,2 2)B ， 1 (0,0,2 2)BB  ， 由（i）得，平面 ABM 法向量 4 2 4( ,0, ) 3 3  n ， 所以点 1B 到平面 ABM 的距离 1 2 6 3 BB d   n n . （20）（本小题 15 分） 解：（Ⅰ）在 ADE△ 中， 6DA  ， 3DE  ， π 3 ADE  , 所以 2 2 2 2 cos 27AE AD DE AD DE ADE      ， 所以 2 2 2AE DE AD  ，所以 AE DE . 因为CD 平面 ADE ，所以CD AE ， 所以 AE 平面CDE ， 所以平面 ACE 平面CDE . （Ⅱ）过 E 作直线 / /l CD ，因为CD 平面 ADE ，所以 l 平面 ADE . 又 AE DE ，如图建立空间直角坐标系 E xyz ， 则 (0,3 3,2), (3,0,6)EB EC  . 设平面 BCE 的法向量为 ( , , )x y zn ， 则 0 0 EB EC       n n ，即 3 3 2 0 3 6 0 y z x z       ， x y z 北京师大附中 2024—2025 学年（上）高二期中考试数学试卷答案及评分参考 第 6 页（共 7 页） 令 3 3z  ,则 ( 6 3, 2,3 3)  n . 又平面CDE 的一个法向量为 (0,1,0)m ， 所以 2 139 cos , | 139        m n m n | m | n | ， 所以二面角 B CE D  的余弦值为 2 139 139  . （Ⅲ）15 4 3 π  . （21）（本小题 15 分） 解：（I） 2 2 2 ( , ), (0,1) 2 2 C C     ； （II）因为 1 2 3, ,   两两正交，所以 0a b  ， 1 3 0 2 2 c d  ， 又 2 3,  均为单位向量，所以 2 2 1c d  ， 因为 0c  ，所以 3 1 ( , ) ( , ) 2 2 c d   ， 所以 1 2 3 1 3 3 1 (1,0,0), (0, , ), (0, , ) 2 2 2 2       ， 所以 2 3 1 3 1 3 (2, , ), (2, , ), (2, 1,0) 2 2 2 2 C C C            ， 4 5 61 3 1 3(2, , ), (2, , ), (2,1,0) 2 2 2 2 C C C           ， 所以 m 的最小值是 6. 综上， 3 1 0, , 2 2 a b c d     ，m 的最小值为 6. （III）设 ( , )x y 是任意 2 维向量，则  有如下性质： ①当 1 1 0 0 1 D        时，对于任意正整数 k，都有 1 kD   . ②当 2 0 0 0 0 D        时，对于任意正整数 k，都有 2 (0,0) kD  . ③设点 ( , )B x y 是平面直角坐标系 xOy 中的一点，将点B 绕原点 O 逆时针旋转 北京师大附中 2024—2025 学年（上）高二期中考试数学试卷答案及评分参考 第 7 页（共 7 页） 得到点 '( ', ')B x y ，则点 B、 'B 分别对应向量 ( , )x y 与 ( ', ')x y . 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' cos ( ) ' ' x y x y x x y y x y x y             ， 设 2 2r x y  ，则 ,  可以设为 ( cos , sin ), ( cos , sin )r r r r      ， 则(*)可化简为 cos( ) cos    ，可以取    ， 所以 ' cos sin , ' sin cosx x y y x y       ， 则有 cos sin cos sin ( ', ') ( , ) sin cos sin cos x y x y                            ， 记 3 cos sin sin cos D            ，即 3D   . 根据上述性质，不妨设 ( , , , )a b c d ， 取 1 2 3 4(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,cos , sin ), (0,0,sin ,cos )           ， 则 1 21 2 3 4 2 3 ( , , )T T T T D D C D D         ,    ， 根据性质①和性质②， ( , , , )m m mC a b c d  ， 根据性质②和性质③， *1 1 3( , ) ( , ) , ,k k k kc d c d D k k m    N ，其中 0 0,c c d d  . 设 2 2k k kr c d  ，可得 kr 为定值，记为 r， 设 cos , sinc r d r   ，则 cos( ), sin( )k kc r k d r k       ， 因为存在正整数 m 使得 mC   且 m 的最小值为 12， 所以 0 0 12 12( , ) ( , ) ( , )c d c d c d  且 ( , ) ( , ), 1,2, ,11k kc d c d k  . 可取12 2  ，即 2π π 12 6    ， 所以 1 3 4 3 1 1 3 (1,0,0,0), (0,0, , ), (0,0, , ) 2 2 2 2       .