假期必刷8 幂函数-【快乐假期】2024-2025学年高一数学寒假作业必刷题

快乐假期 假期必刷8幂函数 〈《《思维整合室 要点记忆 知识梳理 1.幂函数在(0，十∞)上都有定义； 2.当a>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和 1.幂函数的概念 (0,0),且在(0，十∞)上单调递增； 函数 叫做幂函数，其中x是自变 3.当a<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且 量，a是常数. 在(0，十∞)上单调递减： 2.幂函数的图象及性质 【《技能提升台 (1)五个幂函数的图象： 技能提升 1.下列函数中，不是幂函数的是 A.y=e B.y=x YE C.y=元 y=x D.y-I 3 4 2.已知幂函数f(x)=(m2十m-1)xm的图象 与坐标轴没有公共点，则f(2)=() A. B.2 c D.2√2 (2)幂函数的性质 3.已知常数a∈Q,如图为幂函数y=x的图 象，则a的值可以为 幂函数y=x y=r y=r y=rt y=rl (-∞，0)U 定义域 (0,+∞) 值域 R R [0,+o∞) A.号 B.2 c-号 D.-2 非奇 奇偶性 奇 偶 奇 4.函数f(x)=x“十b,不论a为何值，f(x)的 非偶 图象均过点(m,0),则实数b的值为() x∈(0，十c©) x∈(0，十c∞) A.-1B.1 C.2 D.3 单调性 增： 增 减： x∈(-0∞，0) x∈(-oo,0) 5.有四个幂函数：①f(x)=x1;②f(x)= 减 减 x2;③f(x)=x④f(x)=x.某同学研究 公共点 都经过点 了其中的一个函数，他给出这个函数的三个 性质：(1)偶函数：(2)值域是{yy∈R,且y 自测自查 ≠0}：(3)在（一∞，0）上单调递增.如果他给 1.y=x 出的三个性质中，有两个正确，一个错误，那 2.(2)[0,十∞) [0,+o∞) {yy∈R且y 么他研究的函数是 () ≠0}奇增增(1,1) A.① B.② C.③ D.④ ·20· 三0022 高一教的) 6.在同一坐标系中，函数f(x)=x“(x≥0)， 13.已知点（√2,2）是幂函数f(x)图象上的点， g(x)=4(x>0)的图象不可能是() 点-2，)是幂函数g(x)图象上的点，当 x为何值时，有(1)f(x)>g(x):(2)f(x) =g(x):(3)f(x)<g(x). C D 7.(多选)已知幂函数f(x)=x”,n∈{一2， 一1,1,3}的图象关于y轴对称，则下列说法 正确的是 () A.f(-2)>f(1) B.f(-2)<f(1) 14.已知函数f(x)=(m2+ C.f(-2)=f(-1) m一1)x"是幂函数， D.若a>|b>0,则f(a)<f(b) 且在(0，十∞)上单调 8.（多选)下列说法正确的是 ( 递减。 A.所有幂函数的图象均过点(0,0) (1)求实数m的值； B若幂函数的图象经过点（日2小则解析式 (2)画出f(x)的大致图象； (3)若f(2a-1)>f(a),a∈R成立，求a 为y=x 的取值范围。 C.幂函数一定是奇函数或偶函数 D.任何幂函数的图象都不经过第四象限 9.判断大小：2.3 2.4.(填“>”或“<”) 10.若幂函数y=(m-m一1)x-2m1在 [0,十∞)上单调递增，则实数m= 11.已知幂函数f(x)=(m2+4m十4)xm+2在 (0,+∞)上单调递减，若(2a一1)-m< (a十3)m,则a的取值范围为 12.比较(2)，(3)-的大小. 高考冲浪 (2023·全国I卷，改编)函数y=(x一1) 的图象恒过定点 A.(1,0) B.(2,1) C.(0,-1) D.(m+1,1) ·21·６．C　[令F(x)＝f(x)＋f(－x),则F(－x)＝f(－x)＋f(x) ＝F(x),且F(x)的定义域为R,故F(x)＝f(x)＋f(－x) 为偶函数,则F(x)的图象关于y轴对称,则F(x)不可能 在R上单调,故 A,B错误;令 H(x)＝f(x)－f(－x),则 H(－x)＝f(－x)－f(x)＝－H(x),且 H(x)的定义域 为R,故 H(x)是奇函数,因为f(x)是定义在 R上的增函 数,所以由复合函数单调性可知,f(－x)在 R 上是减函 数,故H(x)＝f(x)－f(－x)在 R上是增函数,故 C 正 确,D错误．] ７．AB　 ８．BD　[y＝２＋ x的定义域是[０,＋∞),故函数为非奇非 偶函数,故 A错误;y＝x２＋２的定义域为 R,其图象的对 称轴为直线x＝０,故函数是偶函数且在区间(０,＋∞)上 单调递增,故B正确;令f(x)＝x＋１x ,x≠０,则f(－x) ＝－x＋ １－x＝－ x＋ １ x( )＝－f(x),则y＝x＋ １ x 是奇函 数,故C错误;令g(x)＝|x|＋１,x∈R,则g(－x)＝|－x|＋１ ＝|x|＋１＝g(x),则y＝|x|＋１为偶函数,当x＞０时, y＝|x|＋１＝x＋１单调递增,故 D正确．] ９．１　１０．a≥５２ 或a≤３２ １１．０　(－３,０)∪(３,＋∞) １２．解:(１)因为∀x∈R,f(－x)＋f(x)＝０, 令x＝０,可得f(０)＝０． 设x＜０,则－x＞０,f(－x)＝４－(－x)２＝４－x２, 又f(－x)＝－f(x), 所以f(x)＝－f(－x)＝x２－４, 所以f(x)＝ ４－x２,x＞０, ０,x＝０, x２－４,x＜０,{ 故函数f(x)的简图如图所示． (２)因为f(３)＝４－３２＝４－９＝－５, 所以f(f(３))＝f(－５)＝－f(５)＝－(４－５２)＝２１． (３)由题得xf(x)＞０,即为 x＞０, f(x)＞０{ 或 x＜０, f(x)＜０{ ,由图 可知０＜x＜２或－２＜x＜０, 故xf(x)＞０的解集为(－２,０)∪(０,２)． １３．(１)证明:任取x１,x２∈(－１,１),且x１＜x２, 则f(x１)－f(x２)＝ x１ １＋x２１ － x２ １＋x２２ ＝ x１(１＋x２２)－x２(１＋x２１) (１＋x２１)(１＋x２２) ＝ (x１－x２)(１－x１x２) (１＋x２１)(１＋x２２) , 因为－１＜x１＜x２＜１, 所以x１－x２＜０,１－x１x２＞０,(１＋x２１)(１＋x２２)＞０, 所以f(x１)－f(x２)＜０,即f(x１)＜f(x２)． 所以函数f(x)在(－１,１)上是增函数． (２)解:由函数f(x)是 定 义 在(－１,１)上 的 奇 函 数 且 f(t－１)＋f(t)＜０,得f(t－１)＜－f(t)＝f(－t), 又由(１)可知函数f(x)在(－１,１)上是增函数, 所以有 －１＜t－１＜１, －１＜－t＜１, t－１＜－t,{ ⇒０＜t＜ １ ２． 所以不等式的解集是 t０＜t＜１２{ }． １４．解:(１)f(x)在[－１,１]上单调递增．证明如下: 任取x１,x２∈[－１,１],且x１＜x２,则－x２∈[－１,１], 又因为f(x)是奇函数, 所以f(x１)－f(x２)＝f(x１)＋f(－x２) ＝f (x１)＋f(－x２) x１＋(－x２) 􀅰(x１－x２), 由已知得f (x１)＋f(－x２) x１＋(－x２) ＞０,x１－x２＜０, 所以f(x１)－f(x２)＜０,即f(x１)＜f(x２)． 所以f(x)在[－１,１]上单调递增． (２)因为f(１)＝１,且f(x)在[－１,１]上单调递增,所以 在[－１,１]上f(x)≤１． 问题转化为m２－２nm＋１≥１,即 m２－２nm≥０对任意 n∈[－１,１]恒成立． 设g(n)＝－２mn＋m２,则 ①若m＝０,则g(n)＝０≥０对n∈[－１,１]恒成立; ②若m≠０,则g(n)为关于n的一次函数,若g(n)≥０对 n∈[－１,１]恒成立,则必须有 g (－１)≥０, g(１)≥０,{ 解得m≤－２ 或m≥２．综上所述,实数m 的取值范围为(－∞,－２]∪ [２,＋∞)∪{０}． 高考冲浪 １．B　[对 A,设f(x)＝e x－x２ x２＋１ ,函数定义域为 R,但f(－１) ＝e －１－１ ２ ,f(１)＝e－１２ ,则f(－１)≠f(１),故 A 错误;对 B,f(x)＝cosx＋x ２ x２＋１ ,函 数 定 义 域 为 R,且 f(－x)＝ cos(－x)＋(－x)２ (－x)２＋１ ＝cosx＋x ２ x２＋１ ＝f(x),则f(x)为偶函 数,故B正确;对C,f(x)＝e x－x x＋１ ,函数定义域为{x|x≠ －１},不关于原点对称,则f(x)不是偶函数,故 C错误; 对 D,f(x)＝sinx＋４xe|x| ,函数定义域为R,因为f(－x)＝ sin(－x)＋４(－x) e|－x| ＝－sinx＋４x ex ＝－f(x),则f(x)为奇 函数,f(x)不是偶函数,故 D错误．] ２．B　[由题意知f(x)在 R上单调递增,令h(x)＝－x２－ ２ax－a,则h(x)的对称轴必大于等于０,否则与题意不 符,即－a≥０⇒a≤０,排除 C、D 项;又因为当x＝０时, f(x)＝１,所以当x＝０时,h(x)≤１⇒－x２－２ax－a≤１, 代入x＝０,得－a≤１⇒a≥－１,所以－１≤a≤０,故a的取 值范围是[－１,０]．] 假期必刷８　幂函数 技能提升台　技能提升 １．A　[幂函数的通式为y＝xα(α为常数),则y＝x３,y＝ x,y＝１x 均符合幂函数的定义,而y＝ex 不符合幂函数 的定义．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６􀅰 ２．C　[因为f(x)为幂函数,所以m２＋m－１＝１,即m２＋m －２＝(m＋２)􀅰(m－１)＝０,解得 m＝－２或 m＝１,则 f(x)＝x－２或f(x)＝x．又因为f(x)的图象与坐标轴没 有公共点,所以f(x)＝x－２,则f(２)＝２－２＝１４． ] ３．C　[由幂函数y＝xα 的图象关于y 轴对称知,函数y＝xα 是偶函数,排除B,D选项;再根据幂函数y＝xα 的图象在 第一象限内从左到右下降,可得α＜０,排除 A 选项．故 C 选项正确．] ４．A　[∵幂函数y＝xa 的图象过定点(１,１),∴f(x)＝xa ＋b的图象过定点(１,１＋b),结合已知条件可知１＋b＝０, 则b＝－１．] ５．B　[①f(x)＝x－１只满足值域是{y|y∈R,且y≠０}; ③f(x)＝x３ 只满足在(－∞,０)上单调递增;④f(x)＝x １ ３ 只满足在(－∞,０)上单调递增;②f(x)＝x－２是偶函数, 在(－∞,０)上单调递增,但其值域是{y|y＞０}．] ６．D　[当a＜０时,f(x)＝xa(x＞０)的图象不过原点且在 第一象限,f(x)单调递减,g(x)＝ax (x＞０)的图象在第 四象限且g(x)单调递增,如选项 C 所示．当a＝０时, f(x)＝１且x＞０,g(x)＝０(x＞０),没有符合要求的图 象．当a＞０时,g(x)＝ax (x＞０)的图象在第一象限且g(x) 单调递减．当０＜a＜１时,f(x)＝xa(x≥０)的图象过原 点,在第一象限且f(x)单调递增,且增长得越来越慢,没 有符合要求的图象;当a≥１时,f(x)＝xa(x≥０)的图象 过原点,在第一象限且f(x)单调递增,如 A,B所示．] ７．BD　[幂函数f(x)＝xn,n∈{－２,－１,１,３}的图象关于 y轴对称,则n＝－２,则f(x)＝１x２ ,f(－x)＝f(x),且 f(x)在(０,＋∞)上单调递减,于是有f(－２)＝f(２)＜f(１) ＝f(－１),则 A错误,B正确,C错误;若|a|＞|b|＞０,则 f(|a|)＜f(|b|),即f(a)＜f(b)成立．故 D正确．] ８．BD　[对于 A,比如y＝１x ,图象不过点(０,０),故 A错误; 对于 B,设 幂 函 数 为 y＝xα,幂 函 数 的 图 象 经 过 点 １ ８ ,２( ),则２＝ １８( ) α ,解得α＝－１３ ,所以y＝x－ １ ３ ,故B 正确;对于 C,比如y＝ x,其定义域不关于原点对称,不 具有奇偶性,故C错误;对于 D,任何幂函数的图象都不 经过第四象限,故 D正确．] ９．解析:因为y＝x ３ ２ 为[０,＋∞)上的增函数,且２．３＜２．４, 所以２．３ ３ ２ ＜２．４ ３ ２ ． 答案:＜ １０．解析:由题意可得m２－m－１＝１,解得m＝２或m＝－１． 若m＝２,则y＝x－１在(０,＋∞)上单调递减,不符合题 意;若m＝－１,则y＝x２ 在[０,＋∞)上单调递增,符合 题意． 综上所述,m＝－１． 答案:－１ １１．解析:幂函数f(x)＝(m２＋４m＋４)xm＋２在(０,＋∞)上单调 递减,则 m ２＋４m＋４＝１, m＋２＜０,{ 解得m＝－３． 不等式(２a－１)－m＜(a＋３)－m化为(２a－１)３＜ (a＋３)３,显然函数y＝x３ 在R上单调递增, 因此２a－１＜a＋３,解得a＜４, 所以a的取值范围是(－∞,４)． 答案:(－∞,４) １２．解:因为y＝x－ ３ ２ 为(０,＋∞)上的减函数,且 ２＜ ３,所 以(２)－ ３ ２ ＞(３)－ ３ ２ ． １３．解:设f(x)＝xα,g(x)＝xβ． ∵点(２,２)是幂函数f(x)图象上的点, ∴２＝(２)α, ∴α＝２,f(x)＝x２． ∵点 －２,１４( ) 是幂函数g(x)图 象上的点, ∴１４＝ (－２)β,∴β＝－２,g(x) ＝x－２．在同一平面直角坐标系 中作出两函数的图象,如图所示,则 ①若f(x)＞g(x),则x＞１或x＜－１; ②若f(x)＝g(x),则x＝１或x＝－１; ③若f(x)＜g(x),则－１＜x＜０或０＜x＜１． １４．解:(１)由函数f(x)是幂函数, 得m２＋m－１＝１, 解得m＝－２或m＝１． 又因为f(x)在(０,＋∞)上单调递减, 所以m＝－２． (２)由(１)知,f(x)＝x－２(x≠０), 则f(x)的大致图象如图所示． (３)由(２)知,f(x)的图象关于y 轴对称,且在(０,＋∞)上 单 调 递减, 则由f(２a－１)＞f(a), 得|２a－１|＜|a|, 即(２a－１)２＜a２,可得(a－１)(３a－１)＜０, 解得１ ３＜a＜１． 又a≠１２ 且a≠０, 所以a的取值范围是 １３ ,１ ２( )∪ １ ２ ,１( )． 高考冲浪 　B　[当x－１＝１,即x＝２时,y＝１,其图象恒过定点(２,１)．] 假期必刷９　函数的应用(一) 技能提升台　技能提升 １．C　[由已知投入广告费用为３万元,药品利润为２７万 元,代入y＝xα 中,得３α＝２７,解得α＝３,故函数解析式为 y＝x３,所以当x＝５时,y＝１２５．] ２．A　[前３年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增 长,只有 A,C图象符合要求,而后３年年产量保持不变．] ３．D　[由题意,得２x＋y＝２０,所以y＝２０－２x,因为y＞０, 所以２０－２x＞０,所以x＜１０．又因为三角形两边之和大 于第三边,所以 ２x＞y , y＝２０－２x,{ 解得x＞５,所以５＜x＜１０．] ４．C　[根据题意,设每天从报社买进x(２５０≤x≤４００,x∈ N)份报纸,每月所获利润为y元,具体情况如表． 数量/份 单价/元 金额/元 买进 ３０x ２ ６０x 卖出 ２０x＋１０×２５０ ３ ６０x＋７５００ 退回 １０(x－２５０) ０．８ ８x－２０００ ∴y＝[(６０x＋７５００)＋(８x－２０００)]－６０x ＝８x＋５５００(２５０≤x≤４００,x∈N)． ∵y＝８x＋５５００在[２５０,４００]上单调递增, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２６􀅰