假期作业七 幂函数与函数的应用(一)-【快乐假期】2024-2025学年高一数学寒假作业

假期作业七　幂函数与函数的应用(一)　　 １．五种常见幂函数的图象与性质 性质 y＝x y＝x２ y＝x３ y＝x １ ２ y＝ x－１ 图象 定义域 　　 　　 　　 　　　 　　 值域 　　 　　　 　　 　　　 　　 奇偶性 　　 　　 　　 　　　 　　 单调性 　　 　　　 　　 　　 　　 公共点 　　　　 ２．函数的应用 (１)建立函数模型解决实际问题的基本思路． (２)建立函数模型解决实际问题的解题步骤． 某些实际问题提供的变量关系是确定的, 即设自变量为x,因变量为y,它们已建立 了函数模型,我们可以利用该函数模型得 出实际问题的答案,具体解题步骤为: 第一步,审题．引进数学符号,建立数学模型, 了解变量的含义,若模型中含有特定系数,则 需要进一步用待定系数法或其他方法确定． 第二步,求解数学模型．利用数学知识,如函 数的单调性、最值等,对函数模型进行解答． 第三步,转译成实际问题的解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 R　R　R　{x|x≥０}　{x|x≠０}　R {y|y≥０}　R　{y|y≥０}　{y|y≠０}　奇 偶　奇　非奇非偶　奇　增　(－∞,０]减, [０,＋∞)增　增　增　(－∞,０)和(０,＋∞)减 (１,１) 用函数解决实际问题的一般步骤 第一步:审题———弄清题意,分清条件和 结论,理顺数量关系; 第二步:建模———将文字语言转化成数学 语言,用数学知识建立相应的数学模型; 第三步:解模———求解数学模型,得到数 学结论． １．下列命题正确的是 (　　) A．当a＝０时,函数y＝xa 的图象是一条 直线 B．幂函数的图象都经过(０,０),(１,１)两点 C．幂函数的图象不可能出现在第三象限 D．图象不经过点(－１,１)的幂函数,一定不 是偶函数 ２．函数y＝x １ ３ 的图象是 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１􀅰 ３．一个等腰三角形的周长为２０,底边y 是关 于腰长x 的函数,则它的解析式为 (　　) A．y＝２０－２x(x≤１０) B．y＝２０－２x(x＜１０) C．y＝２０－２x(５≤x≤１０) D．y＝２０－２x(５＜x＜１０) ４．某公司招聘员工,进入面试人数按拟录用人 数分段计算,计算公式为: y＝ ４x,１≤x＜１０,x∈N∗ , ２x＋１０,１０≤x＜１００,x∈N∗ , １．５x,x≥１００,x∈N∗ , ì î í ï ï ï ï 其中,x 代表拟录用人数,y 代表进入面试 人数．若应聘的面试人数为６０,则该公司拟 录用人数为 (　　) A．１５　　　　　　　　B．４０ C．２５ D．１３０ ５．你见过古人眼中的烟花吗? 那是朱淑真«元 夜»的“火树银花触目红”,是隋炀帝眼中的 “灯树千光照,花焰七枝开”．烟花,虽然是没 有根的花,是虚幻的花,却在达到最高点时 爆裂,用其灿烂的一秒换来人们真心的喝 彩．已知某种烟花距地面的高度h(单位: 米)与时间t(单位:秒)之间的关系式为h＝ －３．６t２＋２８．８t,则烟花在冲击后爆裂的时 刻是 (　　) A．第４秒 B．第５秒 C．第３．５秒 D．第３秒 ６．下列比较大小正确的是 (　　) A．(π)－ ４ ３ ＞３－ １ ３ ＞２－ ２ ３ B．３－ １ ３ ＞(π)－ ４ ３ ＞２－ ２ ３ C．３－ １ ３ ＞２－ ２ ３ ＞(π)－ ４ ３ D．２－ ２ ３ ＞３－ １ ３ ＞(π)－ ４ ３ ７．(多选)已知α∈{－１,１,２,３},则使函数y＝xα 的值域为R,且为奇函数的α的值为 (　　) A．－１ B．１ C．２ D．３ ８．(多选)如图①是反映某条公交线路收支差 额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y 与乘客量x 之间关系的图象．由于目前该条 公交线路亏损,公司有关人员提出了两种调 整的建议,如图②③所示． 下列说法中,正确的是 (　　) A．图②的建议:提高成本,并提高票价 B．图②的建议:降低成本,并保持票价不变 C．图③的建议:提高票价,并保持成本不变 D．图③的建议:提高票价,并降低成本 ９．某小型服装厂生产一种 风 衣,日 销 售 量 x(件)与单价P(元)之间的关系为P＝１６０－ ２x,生产x件所需成本为C(元),其中C＝５００ ＋３０x元,若要求每天获利不少于１３００元,则 日销量x的取值范围是　　　　． １０．某商店按每件８０元的成本购进某商品 １０００件,根据市场预测,销售价为每件１００ 元时可全部售完,定价每提高１元时销售量 就减少５件．若要获得最大利润,销售价应定 为每件　　　　元,最大利润为　　　　元． １１．给出封闭函数的定义:若对于定义域D 内 的任意一个自变量x０,都有函数值f(x０) ∈D,则称函数f(x)在D 上封闭．若定义域 D＝(０,１),则下列函数:①f１(x)＝３x－１; ②f２(x)＝１－x;③f３(x)＝x １ ２ ． 在D上封闭的是　　　　(填函数的序号)． １２．已知函数f(x)＝x－２m ２ ＋m＋３(m∈Z)为偶函 数,且f(３)＜f(５),求m 的值,并确定f(x) 的解析式． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１􀅰 １３．已知幂函数f(x)＝(m２－５m＋７)xm 的图 象关于y 轴对称． (１)求m 的值; (２)若函数 g(x)＝f(x)－２ f(x),求 g(x)的单调递增区间． １４．某工厂生产某种零件,每个零件的成本为 ４０元,出厂单价定为６０元,该工厂为鼓励 销售,规定当一次订购量超过１００个时,每 多订购１个,订购的全部零件的出厂单价 就降低０．０２元,但实际出厂单价不能低于 ５１元． (１)当一次订购量为多少个时,零件的实际 出厂单价恰降为５１元? (２)设一次订购量为x个,零件的实际出厂 单价为 P 元,写 出 函 数 P＝f(x)的 表 达式． (３)当销售商一次订购５００个零件时,该工 厂获得的利润是多少元? 如果订购１０００个, 利润又是多少元? (工厂售出一个零件的 利润＝实际出厂单价－成本) １．(２０２４􀅰全国甲卷(文),８)函数f(x)＝－x２＋ (ex－e－x)sinx在区间[－２．８,２．８]的图象 大致为 (　　) ２．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷,改编)某产品的总成本 y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是 y＝３０００＋２０x－０．１x２(０＜x≤２２０,x∈ N),若每台产品的售价为２５万元,则生产 者的最高利润是 (　　) A．２９５０万元 B．３０００万元 C．２９４０万元 D．２９８０万元 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２􀅰 三0022 高一数类 13.(1)证明：任取x1x2∈(-1,1)，且x1<x2, 假期作业七 幂函数 则f(.x1)-f(x2)= 1+x1+x 与函数的应用（一） x(1+x3)一x2(1十x)_(1一x2)(1一x1x2) 技能提升台技能提升 1.D2.B3.D4.C (1十x1)(1十x5) (1+x)(1+x) 因为-1<x1<x2<1, 5.A[由题意，h=-3.6t2+28.8t =-3.6(1-4)2+57.6, 所以x1-x2<0,1-x1x2>0,(1十x)(1十x号)>0， 则当1=4时，妇花达到最高点，即爆裂的时刻是第4秒，] 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(.x1)<f(x2). 6.C[因为()-=[（元）2]-于=x子， 所以函数f(x)在（一1,1）上是增函数. (2)解：由函数「(x)是定义在（一1,1）上的奇函数且 3=(√5)- f(t-1)+ft)<0,得f(t-1)<-ft)=f(-t). 又y=x音在(0，十∞)上单调递减，x>2>√， 又由(1)可知函数f(x)在（一1,1）上是增函数， 所以元<2<(3)， -11-1<1, 所以3>2手>()-寺.] 所以有-1<-<1,0<1K2 1 7.BD (t-1<-t, 8.BC[根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线 所以不等式的解集是{0<1<号} 向上平移说明当乘客量为0时，收入是0，但是支出变少 了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确：由 14.解：(1)f(.x)在[-1,1]上单调递增.证明如下： 图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜 任取x1x2∈[-1,1，且x1<x2,则-2∈[-1,1]. 角变大，即乘客量相同时收入变大，票价提高了，说明此建议 又因为f(x)是奇函数， 是提高票价而保持成本不变，故C正确.门 所以f(x1)-f(x2)=f(x1)十f(-x2) 9.[20,45]10.19060500 11.②③ =f八x)十f-x2) x1十(-x2) ·(x1一x2) 12.解：：f(x)是偏函数，.一2m2+m+3应为偶数. 又：f(3)<f(5),∴.f(x)在(0，十∞)上为增函数. 由已知得)+二>0,1-<0， x1+(-x2） 六-2m2+m十3>0，解得-1<m<号 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 又“，m∈Z,.m=0或1. 所以f(.x)在[一1,1门上单调递增. 当m=0时，-2m2+m十3=3为奇数（舍去）： (2)因为f1)=1,且f(x)在[一1,1]上单调递增，所以 当m=1时，-2m2+m十3=2为偶数. 在[-1.1]上f(x)≤1. 故m的值为1，，f(x)=x2. 问题转化为m2一2m十1≥1，即m2一2nm≥0对任意 13.解：(1)由题意知m2-5m+7=1,解得m=2或m=3. n∈[-1,1门恒成立. 又因为f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数， 设g(n)=一2m十m2,则 从而m=2. ①若m=0,则g(n)=0≥0对n∈[一1,1]位成立： (2)由(1)知f(x)=x2,则g(x)=f(x)-2√Tx) ②若m≠0，则g()为关于1的一次函数，若g(n)≥0对 =x2-2√x2=x2-2lx. nE[-1,1门恒成立，则必须有)≥0·解得m<-2 当x≥0时，g(x)=x2-2x=x2-2x 1g(1)≥0， 因为y=x2一2x图象的对称轴为直线x=1, 或m≥2.综上所述，实数m的取值范国为(-∞，一2]U 所以g(x)在[0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增： [2,+∞)U{0}. 当x<0时，g(x)=x2-2x=x2+2.x, 高考冲浪 因为y=x2十2x图象的对称轴为直线x=一1， 1B[对A,设代)=千画数定义钱为K,但-D 所以g(x)在（一∞，一1）上单调递减，在(-1,0)上单调 递增. =e1-1 )=号，则f(-D≠D,故A错误：对 因此，g(x)的单调递增区间为（一1,0），(1，十∞). 2 14.解：(1)设每个零件的实际出厂价格为51元时，一次订 B,f(x)=o+x,函数定义城为R,且f(-c) 购量为0个，则0=10+60一51=550（个），因此.当 0.02 x十1 一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降 cos(-r)+(-r)2cos z+a2 x2+1=f八x),则f(x)为偶画 为51元. (-x)2+1 (2)当0<x≤100时，P=60: 数，故B正确：对C,fx)=+,函数定义城为x工力 当100x≤550时，P=60一0.02(.x-100) 一1，不关于原点对称，则∫(x)不是偶函数，故C错误： =62-前：当>550时，P=51. 对D,(x)=sin十4虹，函数定义城为R.国为f(-x)= 60,0x100, .P=f(x)= sin(-x+4(-r2=-sinx+4红=-f(x),剩f(x)为奇 62- 0100<≤50.u∈N0 e-r e 51,x>550 函数，f(x)不是偶函数，故D错误.] (3》设销售商一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元， 2.B[由题意知f(x)在R上单调递增，令h(x)=一x2 f20r,0x100, 2a.x一a,则h(x)的对称轴必大于等于0，否则与题意不 则L=(P一40).x= 22x-50100<x≤550.x∈0. 符，即一4≥0→a≤0，排除C、D项；又因为当x=0时， 11x,.x550 f(x)=1,所以当x=0时，h(x)≤1→-x2-2a.x-a≤1， 当=500时，L=6000:当x=1000时，L=11000.因此，当 代入x=0,得-a≤1→a≥-1，所以-1≤a≤0，故a的取 销售商一次订购500个零件时，该工厂获得的利润是6000 值范围是[一1,0].] 元：如果订购1000个，利润是11000元 ·45· 火曼快乐暖湖 c900 高考冲浪 1.B [f(r)=-2+(e-e)sinr. (2)aVa÷a8.√a(a>0 f(-t)=-(-x)2+(e-er)sin(-x) =(a·a)÷(a号，a) =-x2+(e-e-)sin r=f(r) =af÷ai=l. ∴y=f(x)为偶函数，排除A,C: 2 13.解：1)fx)=1+22-1≠0r≠0. ∴.函数f(x)的定义域为{xx∈R,且x≠0. =e-ef->0… (2)证明：任意设x1x2∈（一∞，0）且t1<r2: fx1)-fx)=24-12- 2 2 故排除D,B正确.] 2.C[由题意可知所得利润y=25.x-(3000+20x 2(2-2) 0.1.x2)=0.1x2+5.x-3000, =2(2,-D 可见函数在区间0<x≤220上是增函数. x1x2∈(-o∞，0)且x1<x2· 当x=220时，利润最大，ymx=0.1×2202+5×220- .2>25且2<1.2<1. 3000=2940(万元).] .f(x1)-f(x2）>0,即f(x1)>f(x2). 假期作业八 指数与指数函数 .函数f(x)在（一∞.0）上为减函数. 14.(1)证明：设xx2是R上任意两个实数，且x2>x1, 技能提升台技能提升 1.D 则->0，f(x)-f()=51-25-」 25+12,+1 2.D[①中底数一8<0，所以不是指数函数：②中指数不是 自变量x,所以不是指数函数：③中，只有规定a>0且a 2(25-25) ≠1时，才是指数函数：④中3前的系数是2，而不是1， (25+1)(25+1) 所以不是指数函数，门 x2>x1.2>2.2-2>0. 3.B 又(25+1)(25+1)>0，∴.f(x2)-f(x1)>0, .B[:<21<4台21<2r1<2台-1Kx+1<2 f(x)是R上的增函数. 2解：-1行 2 台-2<x<1,∴.N={x-2<x<1,x∈Z}={-1,0}. 2+1 又：M={-1,1,∴.M∩N={-1}.] 5.A[函数y=二的定义战（一0，十e四）关于原点对 +1>102.脚-2240… 2r+1 2∠1 .-1<1-2+1 称，且-=2二12安11-2 1 ∴.f(x)的值城为(-1,1). 2+1+11+2 (3)g(x)为偶函数. x_2+1 =一(x),所以该函数是奇函数.] 由题意知g(x)=7一2·r, 6.B[由函数y=x是增函数，且1.44<√3，故1.44F< 函数g(.x)的定义域为(-o∞，0)U(0,十∞)， (3),即c>a；又函数y=1.2r是增盛数，所以1.44回 g(-)=(-).名(-.1+2 2f-1 =(1.22)E=1.22>1.25.即a>b.故c>a>b.] 1-2 2+1 7.BC[由W/一a.x成立可知-a.x3≥0，当a>0时，得x3≤0， 24-ig(), =I 即x≤0.因此√一ax=V√一ar·x=√一ac·√元= 画数g(x)为偶函数 √一a.x·x=-x√一a.x,同理，当a<0时√/-ax3 高考冲浪 x√az,故选B.C.] 1.B[因为y=4.2在R上递增，且-0.3<0<0.3， 8.BD[由指数函数的定义得函数y=2一1不是指数函数， 所以0<4.2-0,3<4.20<4.20.3， 所以0<4.2-03<1<4.20.3，即0<a<1<h, -x+2x A错误：函数y= ,设4(x)=-x2+2x= 因为y=l0g.2x在(0，+∞)上递增.且0<0.2<1， 所以1og1.20.2<1og4.21=0,即c<0, 一（x-1)2+1,则u(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1.十∞) 所以b>a>c.] 上单调递减，又y= (付)广在R上单调递减，国光画数y 2.D[由y=1.01r在R上递增， 则u=L.010.5<b=1.0106, () +2t 的单调递增区间是(1，十∞)，B正确：当0 由y=x0.5在(0，十0∞)上递增，期a=1.0105>c=0.65. 所以b>a>c.故选D.] <a<1时，由am>a”,得m<n,C错误；在函数f(x) 假期作业九 a-2-3(a>0,a≠1)中，由x-2=0,得x=2,f(2)=a0 对数与对数函数 -3=1-3=一2，即函数f(x)的图象必过定点(2，-2)， 技能提升台技能提升 D正确.] 1.B2.B 9.4a10.0<h<a<1<d<c 3.D[由图可知，直线y=1与x轴上半部分图象交，点的横 (合） 坐标从小到大依次为c,d,a,b,由此可知0<c<d<1< (1,十∞) a<b. 12.解：1(3)-(8.14-x)+1反-21-22 4.D[log20.3<1og21=0,∴.a<0, 2+2 :log40.4=-1log30.4=l0g:号>1og2=1. =-3-1+2-2-2(22@ .b>1. 4-2 0<0.40.3<0.40=1,.0<c<1 =-2-√2-(2-2)=-4. a<c<6. ·46·