精品解析：甘肃省陇南市礼县2024-2025学年九年级上学期质量监测数学试卷（二）

GS2024－2025学年第一学期质量监测（二） 九年级数学试卷 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义“一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数”，据此进行分析即可． 【详解】解：A、是二次函数，故选项A符合题意； B、不是二次函数，故选项B不符合题意； C、 不是二次函数，故选项C不符合题意； D、不是二次函数，故选项D不符合题意 故选：A． 2. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； B．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 3. 二次函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式直接说出对称轴即可，能根据顶点式说出对称轴是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为：， 故选：B． 4. 已知是关于x的一元二次方程的一个解，则q的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程， 把代入方程，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个解， ∴， 解得：， 故选：B． 5. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标的变化规律，旋转，矩形的性质，先根据矩形的性质可知，再作出旋转后的图形，进而找到B点的坐标规律即可． 【详解】解：， ． 将矩形绕点O逆时针旋转，如图 可知：，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ， 即：第2024次旋转结束时，完成了506次循环，又回到了原来的位置， 的坐标为． 故选：C． 6. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据点关于原点对称的点的坐标为进行解答即可，熟知关于原点对称的点的坐标变换规律是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故选：． 7. 如图，用一段长的铁丝网靠墙围成一个面积的矩形区域，墙长，垂直于墙面的铁丝网的长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设与墙垂直的边长，则与墙平行的边长为米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论． 【详解】解：设与墙垂直的边长，则与墙平行的边长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不符合题意，舍去， ∴． 故选：B． 8. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 图象与轴有唯一交点 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 图象的开口向下 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的个数、化为顶点式求出顶点坐标、抛物线的对称轴和开口方向等知识，即可得到答案． 【详解】解：A．对于抛物线， 当时，， ∵， ∴有两个不相等的实数根，即抛物线与轴有两个交点，故选项错误，不合题意； B．∵， ∴抛物线的顶点是，故选项错误，不符合题意； C．∵， ∴抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而增大， 故选项错误，不符合题意； D．对于抛物线，，则图象的开口向下，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握一元二次方程根的个数、化为顶点式求出顶点坐标、抛物线的对称轴和开口方向等知识，是解题的关键． 9. 如图为二次函数的图象，对称轴是直线，给出以下判断：①；②；③；④（常数）．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据抛物线开口方向判断a的符号，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，再结合对称轴判断a与b的关系，可判断①②；根据取特殊值，以及抛物线最值，可判断③④． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴是直线， ， 二次函数与轴交于正半轴， ， ， 故①正确； 对称轴是直线， ， 整理得， 故②正确； 由图知，二次函数的图象与轴交于，两点， 当时，， 故③错误； 二次函数在时取得最大值为， （常数）， ， 即， 故④正确； 综上所述，正确的有3个， 故选：B． 10. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，旋转的性质，二次函数图象上点的坐标特征，先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得，且轴，从而求得的纵坐标为，代入求得的解析式即可求得的坐标，根据题意求得的纵坐标是解题的关键． 【详解】解：∵的顶点在抛物线上， ∴，解得， ∴抛物线为， ∵点， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴点在轴上，且， ∴， ∵， ∴轴， ∴点的纵坐标为，代入，得， 解得， ∴， 故选：． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标．关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，据此即可得到答案． 【详解】解：由题意得：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为： 12. 将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得到的抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， ∴， 故答案为：． 13. 已知一元二次方程的两根分别为，，若，则的值为______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．直接根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴． ∴， 故答案为：． 14. 关于的函数是二次函数，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的概念：关于自变量的二次三项式，一般形式为，a、b、c是常数；根据概念得，，求解即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：； 故答案为：． 15. 已知是关于的一元二次方程的解，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，先把代入得即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：把代入， 得：， ∴ 故答案为：． 16. 如图，△ABC中，∠C=30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB=____°． 【答案】90 【解析】 【分析】利用旋转的性质可得∠CAF=60°，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】根据旋转的性质可知∠CAF=60°， 根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和的性质，得： ∠AFB=∠C+∠CAF =30°+60° =90°． 故答案为：90． 【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形外角的性质，抓住对应点与旋转中心形成的角是旋转角是解题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数，即可求解． 【详解】解：， 移项，得， ， ， 根据平方根的意义，得， ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】整理后利用因式分解法求解即可． 【详解】原方程整理得：， 因式分解得：， ∴或， ∴． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和．求实数m的取值范围； 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根和， ， 解得． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕原点逆时针旋转后得到的． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图−旋转变换、中心对称， （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； 熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，已知矩形 OABC 的顶点A、C分别在 x 轴的正半轴上与y轴的负半轴上，二次函数的图像经过点B和点C． （1）求点 A 的坐标； （2）结合函数的图象，求当 y<0 时，x 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出点C的坐标，根据四边形为矩形，得出点B的坐标，进而求出点A即可； （2）先求出抛物线图象与x轴的两个交点，结合图象即可得出． 【详解】解：（1）当时，函数的值为-2， ∴点的坐标为 ∵四边形为矩形， 解方程，得． ∴点的坐标为． ∴点的坐标为． （2）解方程，得． 由图象可知，当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数与几何问题，以及二次函数与不等式问题，解题的关键是灵活运用几何知识，并熟悉二次函数的图象与性质． 22. 为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植雪花梨获得大丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为5千元/吨时，每天可售出15吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本3千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于5千元，不高于7千元，请解答以下问题： （1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当批发价定为多少千元/吨时，每天所获利润最大？最大利润是多少千元？ 【答案】（1），； （2）批发价定为7千元/吨，最大利润是44千元． 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润销售量批发价成本价，列出销售利润w（千元）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． 【小问1详解】 解：根据题意可得，， 所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式为， 自变量x的取值范围是； 【小问2详解】 解：设每天获得的利润为w千元，根据题意得 ， ∵， ∴当时，w取最大值；时，w随x的增大而增大； ∴， ∴当时，w有最大值，最大值为44， ∴将批发价定为7千元/吨时，每天获得的利润最大，最大利润是44千元． 【点睛】本题考查二次函数应用，以及利用二次函数的性质求最大值，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，在平面内，绕点A逆时针旋转后得，，连接．求证：． 【答案】 证明：∵由旋转可得， ∴．， ∵旋转角为， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，由旋转的性质得，，求出，然后根据即可证明． 【详解】略 24. 如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴的正半轴上，，，以，为邻边作矩形．点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，过点作交于点，连接．设运动时间为秒，解答下列问题： （1）记的面积为，求与的函数解析式； （2）当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少? 【答案】（1）； （2）当时，的面积有最大值，最大值为． 【解析】 【分析】（）由四边形是矩形得，，则点的坐标为，求出直线的函数解析式为，然后利用面积公式即可求解； （）把函数关系式配成顶点式即可求解； 此题考查了矩形的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键. 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为， 延长交轴于点， ∴由图可得，点的横坐标，， ∴，点， ∴， ∴ ， 【小问2详解】 解：由（）得：， 当时，的面积有最大值，最大值为． 25. 如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水，水面边缘点E的坐标为，运动员（可视为一点）在空中运动的路线为经过原点O的抛物线，运动员在空中最高处为点A． （1）求入水点B的坐标； （2）若运动员在距水面高度5米前完成规定的动作，并调整好入水姿势为动作成功，否则为失误．若运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点E的水平距离为5米，该运动员此次跳水是否失误?请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）失误， 理由：运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点E的水平距离为5米， ，即在点处， 运动员距水面高度米， 故此次跳水失误． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数应用，读懂题意、熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键． （1）根据二次函数的对称性求解，即可解题； （2）根据运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点E的水平距离为5米，求出其横坐标，进而得到其在点处，再根据题意判断，即可解题． 【小问1详解】 解：运动员在空中最高处为点，即对称轴为直线， 又水面边缘点E的坐标为， 由对称性可知，入水点B的坐标为； 【小问2详解】 略 26. 如图，已知正方形的边长为，点E是对角线上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转至的位置，连接、． （1）求证：； （2）当为何值时，的面积最大？请说明理由． 【答案】（1） 证明：绕点顺时针旋转至的位置， ，， ∵正方形， ，， ， 即， ∴在与中， ， ∴； （2） ，理由如下： 在正方形中，， 由（1）知， ，， 设， ∵正方形的边长为， ∴， ， ， 当，的面积最大， 即当时，的面积最大． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，二次函数的性质，利用二次函数的最值求解是本题的关键． （1）由旋转的性质可得，，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，，可得，由三角形面积公式和二次函数的性质可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 如图，二次函数的图象交x轴于点，交y轴于点C，顶点为D． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接，当的长度最小时，求出点P的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式、抛物线对称性、最短路径问题，灵活运用相关知识，采用数形结合的思想是解题关键． （1）设二次函数的解析式为，化为一般式对照条件中的解析式可求出，从而得解； （2）当三点共线时，的长度最小，用待定系数法求出直线的解析式，求出抛物线对称轴，然后计算直线与抛物线对称轴交点坐标即可； 【小问1详解】 解：根据题意，设二次函数的解析式为， 化为一般式得， ， ， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴当三点共线时，的长度最小， 此时点坐标为直线与抛物线对称轴交点， 令，代入得， ∴点， 设直线的解析式为， 将点坐标代入得， 解得：， ∴的解析式为， 由题意可得，抛物线的对称轴为直线， 将代入得， ∴点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ GS2024－2025学年第一学期质量监测（二） 九年级数学试卷 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 已知是关于x的一元二次方程的一个解，则q的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用一段长的铁丝网靠墙围成一个面积的矩形区域，墙长，垂直于墙面的铁丝网的长为（ ） A. B. C. 或 D. 8. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 图象与轴有唯一交点 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 图象的开口向下 9. 如图为二次函数的图象，对称轴是直线，给出以下判断：①；②；③；④（常数）．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得到的抛物线的解析式为______． 13. 已知一元二次方程的两根分别为，，若，则的值为______________． 14. 关于的函数是二次函数，则的值是_____． 15. 已知是关于的一元二次方程的解，则______． 16. 如图，△ABC中，∠C=30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB=____°． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 解方程：． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和．求实数m的取值范围； 20. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕原点逆时针旋转后得到的． 21. 如图，已知矩形 OABC 的顶点A、C分别在 x 轴的正半轴上与y轴的负半轴上，二次函数的图像经过点B和点C． （1）求点 A 的坐标； （2）结合函数的图象，求当 y<0 时，x 的取值范围． 22. 为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植雪花梨获得大丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为5千元/吨时，每天可售出15吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本3千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于5千元，不高于7千元，请解答以下问题： （1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当批发价定为多少千元/吨时，每天所获利润最大？最大利润是多少千元？ 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，在平面内，绕点A逆时针旋转后得，，连接．求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴的正半轴上，，，以，为邻边作矩形．点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，过点作交于点，连接．设运动时间为秒，解答下列问题： （1）记的面积为，求与的函数解析式； （2）当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少? 25. 如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水，水面边缘点E的坐标为，运动员（可视为一点）在空中运动的路线为经过原点O的抛物线，运动员在空中最高处为点A． （1）求入水点B的坐标； （2）若运动员在距水面高度5米前完成规定的动作，并调整好入水姿势为动作成功，否则为失误．若运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点E的水平距离为5米，该运动员此次跳水是否失误?请通过计算说明理由． 26. 如图，已知正方形的边长为，点E是对角线上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转至的位置，连接、． （1）求证：； （2）当为何值时，的面积最大？请说明理由． 27. 如图，二次函数的图象交x轴于点，交y轴于点C，顶点为D． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接，当的长度最小时，求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $