精品解析：湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数，则复数在复平面对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 4. 已知数列为等差数列，，，，，设，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（ ）（，，） A. 0.816m B. 1.33m C. 1.50m D. 1.63m 6. 已知圆与圆外切，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 7. 若函数在区间上只有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的分位数是18 D. 若样本数据的平均值为8，则数据的平均值为15 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为 B. 过定点的直线与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或 C. 定点到圆上的点的最大距离为 D. 过定点且与圆相切的直线方程为或 11. 在棱长为2的正方体中，点P满足，、，则（ ） A. 当时，点P到平面的距离为 B. 当时，点P到平面的距离为 C. 当时，存在点P，使得 D. 当时，存在点P，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 假设，且与相互独立，则______. 13. 斜率为的直线与椭圆相交于两点，的中点为，则______． 14. 已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若，点满足，且，求的面积； 16. 在四棱锥中，底面是正方形，若，，. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，的一条渐近线方程为，且. （1）求的方程； （2），为双曲线右支上两个不同的点，线段的中垂线过点，求直线的斜率的取值范围. 18. 已知是数列的前项和，若. （1）求证：数列为等差数列； （2）若，数列的前项和为. （ⅰ）求取最大值时的值； （ⅱ）若是偶数，且，求. 19. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. （1）若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； （2）若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线； （3）在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数，则复数在复平面对应的点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，进而求出该复数对应点的坐标. 【详解】依题意，， 所以复数对应点坐标为，该点在第四象限. 故选：D 2. 设直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，根据题意，得到，即可求解. 【详解】由直线，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，其中，可得，所以. 故选：A. 3. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 4. 已知数列为等差数列，，，，，设，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合等差数列和常数数列的性质，分别从充分性和必要性两个方面分析即可. 【详解】当数列是等差数列时，根据等差数列的性质，当时，有，所以是的充分条件； 当数列是等差数列且为常数数列时，由于是恒成立的，所以未必成立，所以是的不必要条件. 综上可知：是的充分不必要条件. 故选：A 5. 假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（ ）（，，） A. 0.816m B. 1.33m C. 1.50m D. 1.63m 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线方程并将水面宽度坐标化即可求得结果. 【详解】以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的标准方程为（）， 由题意可得，代入得，得，故抛物线的标准方程为， 设（，），则，则， 即可得， 所以截面图中水面宽的长度约为， 故选：D. 6. 已知圆与圆外切，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用两圆外切求出的关系，再利用基本不等式求解即得. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，依题意，， 于是，即，因此，当且仅当时取等号， 所以的最大值为3. 故选：D 7. 若函数在区间上只有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，结合正弦型函数的零点计算即可得解. 【详解】由， 令，则， 则由题意知，解得. 故选：A. 8. 已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得，则，为梯形的两条底边，作于点P，所以，则可求得，再结合，建立的关系即可得出答案. 【详解】如图，由，得，则，为梯形的两条底边， 作于点P，则，由梯形的高为c，得， 在中，，则有，， 在中，设，则，， 即，解得， 在中，，同理， 又，所以，即，所以离心率. 故选：C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的分位数是18 D. 若样本数据的平均值为8，则数据的平均值为15 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据简单随机抽样的概率求法判断；B由平均数求参数，应用方差公式求方差；C根据百分数定义求分位数；D应用平均数的性质求新数据的均值. 【详解】A：一个总体含50个个体，以简单随机抽样方式从总体中抽取一个容量为10的样本， 则某个个体被抽到的概率为，正确； B：数据1，2，m，6，7的平均数是，则， 这组数据的方差，错误； C：由，第50百分位数为，正确； D：依题意，则，正确； 故选：ACD 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为 B. 过定点的直线与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或 C. 定点到圆上的点的最大距离为 D. 过定点且与圆相切的直线方程为或 【答案】BD 【解析】 【详解】A：过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线，包含过原点的直线，其方程为，错误； B：直线PM，PN的斜率分别为， 依题意，或，即或，正确； C：圆的圆心，半径， 定点到圆上的点的最大距离为错误； D：圆的圆心，半径， 过点斜率不存在的直线与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线方程为，则，解得， 此切线方程为， 所以过点且与圆相切的直线方程为或，正确； 故选：BD 11. 在棱长为2的正方体中，点P满足，、，则（ ） A. 当时，点P到平面的距离为 B. 当时，点P到平面的距离为 C. 当时，存在点P，使得 D. 当时，存在点P，使得平面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用点平面距离向量求法求解判断AB；利用空间位置关系的向量证明判断CD. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量为， 则，令，得， 对于A，当时，，，， 点P到平面的距离，A错误； 对于B，当时，，，， 点P到平面的距离，B正确； 对于C，当时，， 则，， 当时， 显然，方程无实根，即与不垂直，C错误； 对于D，当时，， 则，， 显然，即，由，得， 即当时，，而平面，因此平面，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 假设，且与相互独立，则______. 【答案】0.12 【解析】 【分析】利用独立事件的乘方公式求概率即可. 【详解】由，且与相互独立，得. 故答案为： 13. 斜率为的直线与椭圆相交于两点，的中点为，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可求解. 【详解】设直线的方程为，代入椭圆方程， 可得， 由韦达定理可得， 则， 则，则， 所以. 故答案为： 14. 已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】对的值进行分类讨论，结合等差数列前项和最值的求法求得的最小值． 【详解】取得最小值，则公差，或， 当时，，所以，又，所以， 所以，，故， 令，则， 所以的最小值为． 当，，不合题意． 综上所述：，，，的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若，点满足，且，求的面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角及两角和的正弦公式可得：，再由辅助角公式即可求解； （2）由题意得到：，平方得到，再由面积公式即可求解. 【小问1详解】 （1）， ， ， ， ， 【小问2详解】 由， ， ， ， 16. 在四棱锥中，底面是正方形，若，，. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：中，，，， 所以，所以. 又，，平面，平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明即可. （2）取AD的中点O，建立空间直角坐标系，分别求两平面的法向量并求其夹角，即可求得面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取的中点O，因为，所以，且 因为，平面平面，平面平面， 所以平面. 在平面内作，以为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，， 设平面的法向量为， 由，， 得，令，得，， 所以平面的一个法向量. 设平面的法向量为， 由，， 得，令，得，， 所以平面的一个法向量. 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，的一条渐近线方程为，且. （1）求的方程； （2），为双曲线右支上两个不同的点，线段的中垂线过点，求直线的斜率的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助渐近线斜率结合、、间的关系计算即可得解； （2）设出直线方程与双曲线方程联立后，可得与有关一元二次方程，即可得与交点横坐标有关韦达定理，结合中垂线的性质计算可得所设直线方程的斜率与纵截距的具体关系，再利用、都在右支上，结合根的判别式计算即可得解. 【小问1详解】 由题得，解得， 所以双曲线的方程为； 【小问2详解】 由题意可知直线AB斜率存在且， 设，设的中点为， 由，消去并整理得，， 则，即， ，， ， 于是点为，， 由中垂线性质知，所以，解得：， 由，在双曲线的右支上可得： ，， 则，，则， 又，即，整理得， 解得或，故，即. 综上可得，． 18. 已知是数列的前项和，若. （1）求证：数列为等差数列； （2）若，数列的前项和为. （ⅰ）求取最大值时的值； （ⅱ）若是偶数，且，求. 【答案】（1）证明：因为，所以是为首项，以为公差的等差数列， 所以，即①，则②， 由②-①，得，即， 所以，即，所以数列为等差数列. （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题设可得，利用的关系得，进而有，即可证结论； （2）（ⅰ）应用分组求和、等差数列前n项和公式求，根据二次函数性质确定最大值对应的n；（ⅱ）应用分组求和得，利用等差数列前n项和公式求结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由题意及（1），在等差数列中，故. 则，故当时取最大值. （ii） . 19. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. （1）若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； （2）若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线； （3）在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）成立，理由如下： 法一：已知，设， 则，； 由（2）知在点处的切线方程为； 同理在点处的切线方程为； 联立可得，所以. 因此， 同理. 所以，， 即，可得， 所以成立. 法二：过分别作准线的垂线，连接，如图所示： 则，因为，显然. 又由抛物线定义得，故为线段的中垂线，得到，即. 同理可知， 所以，即. 则. 所以成立. 【解析】 【分析】（1）根据包络曲线的定义利用直线和圆相切即可得； （2）易知方程无解，根据判别式可得，证明可得直线族的包络曲线为； （3）法一：求出两点处曲线的切线的方程，解得，根据平面向量夹角的表达式即可得，即； 法二：过分别作准线的垂线，连接，由导数求得切线斜率并利用抛物线定义和三角形内角关系即可证明. 【小问1详解】 由定义可知，与相切， 则圆的圆心到直线的距离等于1， 则，. 【小问2详解】 点不在直线族的任意一条直线上， 所以无论取何值时，无解. 将整理成关于的一元二次方程， 即. 若该方程无解，则，即. 证明：在上任取一点在该点处的切线斜率为， 于是可以得到在点处的切线方程为：， 即. 今直线族中， 则直线为， 所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线， 而对任意都是抛物线在点处的切线. 所以直线族的包络曲线为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解包络曲线的定义，利用直线和曲线相切求出包络曲线的方程为并进行证明，再利用抛物线定义和性质即可得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $