4.1同角三角函数的基本关系的应用同步练习-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

习题课——同角三角函数的基本关系的应用 A组 1.若=-5,则tan α的值为(　　). A.-2 B.2 C. D.- 2.化简的结果是(　　). A.sin 40°+cos 40° B.sin 40°-cos 40° C.cos 40°-sin 40° D.-cos 40°-sin 40° 3.cos2x等于(　　). A.tan x B.sin x C.cos x D. 4.如果tan θ=2,那么sin2θ+sin θcos θ+cos2θ的值是(　　). A. B. C. D. 5.如图,A,B是单位圆O上的点,且点B在第二象限,C是单位圆与x轴非负半轴的交点,点A的坐标为(),∠AOB=90°,则tan∠COB=(　　). A. B.- C. D.- 6.化简:sin4α+cos4α+2sin2α·cos2α-1=　　　　　.  7.若<α<2π,求证:=-. 8.已知,求下列各式的值. (1); (2)1-4sin θcos θ+2cos2θ. B组 1.已知在△ABC中,sin A=,则A=(　　). A. B. C. D. 2.当α≠(k∈Z)时,·(sin α+tan α)的值(　　). A.恒为正 B.恒为负 C.恒非负 D.可正可负 3.已知,则等于(　　). A. B.- C.2 D.-2 4.△ABC为锐角三角形,若角θ的终边过点P(sin A-cos B,cos A-sin C),则的值为(　　). A.1 B.-1 C.3 D.-3 5. (多选题)已知函数f(x)=sin 2x+2cos2x-,则下列说法正确的是(　　). A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)在区间[]上单调递减 C.f(x)的图象关于点对称 D.f(x)的图象关于直线x=对称 6.已知tan α=cos α,则cos2α+cos4α=　　　　　,=　　　　　.  7.已知A为锐角,且lg(1+cos A)=m,lg =n,则lg sin A的值为　　　　　.  8.已知sin θ,cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根. (1)求sin3θ+cos3θ的值; (2)求tan θ+的值. 9.已知tan α=,tan β=,xy≠0,α,β≠,k∈Z,求证:. 10.求证:. 答案 A组 1.D　=-5,解得tan α=-. 2.C　= =|sin 40°-cos 40°|, 因为sin 40°<sin 45°=,cos 40°>cos 45°=, 所以sin 40°<cos 40°, 所以=cos 40°-sin 40°. 3.D　原式=·cos2x=·cos2x=·cos2x=. 4.B　sin2θ+sin θcos θ+cos2θ=1+sin θcos θ=1+=1+=1+. 5.B　因为cos∠COB=cos(∠COA+90°)=-sin∠COA=-,点B在第二象限, 所以sin∠COB=, 所以tan∠COB==-. 6.0　sin4α+cos4α+2sin2α·cos2α-1=(sin2α+cos2α)2-1=12-1=0. 7.证明 ∵<α<2π,∴sin α<0. 左边=++ =-=-=右边. ∴原等式成立. 8.解 ∵, ∴,解得tan θ=2. (1)原式==1. (2)原式=sin2θ-4sin θcos θ+3cos2θ==-. B组 1.C　由题意知cos A>0,即A为锐角. 将sin A=两边平方得2sin2A=3cos A, ∴2cos2A+3cos A-2=0,解得cos A=或cos A=-2(舍去).∴A=. 2.A　(sin α+tan α)=sin αcos α+cos α·+sin α·+1=sin α+cos α+1+sin αcos α=(1+sin α)(1+cos α). 因为α≠,k∈Z,所以1+sin α>0,1+cos α>0, 所以原式恒为正. 3.B　因为,所以=-. 4.B　由△ABC为锐角三角形,可知A+B>,即A>-B.又A,B∈,所以sin A>cos B,所以sin A-cos B>0,同理cos A-sin C<0,所以θ为第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0,所以=-1+1-1=-1,故选B. 5.ABC　f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),f(x)的最小正周期为=π,故A正确. 因为≤x≤,所以≤2x+≤π,f(x)在区间[]上单调递减,故B正确.f=2sin 0=0,所以f(x)的图象关于点(-,0)对称,故C正确.f=2sin≠2,所以f(x)的图象不关于直线x=对称,故D错误. 6.1　1　因为tan α=cos α,所以=cos α,即sin α=cos2α,所以sin2α=cos4α, 所以cos2α+cos4α=cos2α+sin2α=1, =1. 7.　由lg(1+cos A)=m,得1+cos A=10m. 由lg =n,得1-cos A=10-n. 故(1+cos A)(1-cos A)=10m-n, 即1-cos2A=10m-n,所以sin2A=10m-n, 又A为锐角,所以sin A>0, 则sin A=1,于是lg sin A=. 8.解 依题意,知Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,得a≤0或a≥4,且 由①2-②×2,得a2-2a-1=0, ∴a=1-或a=1+(舍). ∴sin θ+cos θ=sin θcos θ=1-. (1)sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2. (2)tan θ+=--1. 9.证明 由tan α=及tan α=,得,整理得sin αcos β+cos αsin β=. 又tan β=,同理得sin αcos β+cos αsin β=.所以,即. 10.证法一 右边= = = = ==左边, 所以原等式成立. 证法二 左边= = =, 右边=, 所以原等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$