精品解析：山东省济南理工学校2024-2025学年高二春考班上学期月考一数学试题

济南理工学校2024－2025学年度第一学期月考（一） 高二春考班数学试题 1．本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考生请在答题卡上答题． 2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01. 卷一（选择题 共60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和球的表面积公式可得两球半径之比，结合球的体积公式计算即可. 【详解】由题意知， 两球的表面积之比为，则， 所以两球的体积之比为. 故选：C. 2. 一个球的表面积为，则该球的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】直接由球的表面积公式列方程即可求解. 【详解】设所求半径为，则，解得. 故选：B. 3. 已知圆锥的底面半径是1，高为，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式可求得答案. 【详解】因为圆锥的底面半径是1，高为， 所以圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为. 故选：D 4. 用平面截一个球，所得到的截面面积为，若球心到这个截面的距离为，则该球的表面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】根据球的截面性质，即可由勾股定理求解球半径，即可由表面积公式求解. 【详解】由于截面面积为，故截面圆的半径为，又球心到这个截面的距离为，故球半径为， 故球的表面积为, 故选：C 5. 在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的底面是斜边长为的等腰直角三角形，高为，则该“堑堵”的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用柱体的表面积公式可求得结果. 【详解】由题意可知，该“堑堵”的表面积为. 故选：D. 6. 已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆柱的侧面积公式即可得解. 【详解】由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，故圆柱的侧面积为：. 故选：B. 7. 棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三棱锥性质以及三角形面积计算公式可得结果. 【详解】棱长都是1的三棱锥的表面都是边长为1的正三角形，共4个； 所以其表面积为. 故选：A 8. 铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ） 　　 A. 一个球 B. 一个球挖去一个圆柱 C. 一个圆柱 D. 一个球挖去一个正方体 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转体的定义可得正确的选项. 【详解】圆及其内部旋转一周后所得几何体为球， 而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱， 故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱， 故选：B. 9. 如图，圆柱的底面直径和高度都等于球的直径.若球的表面积为，则圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据球的表面积公式和圆柱的表面积公式可得解. 【详解】设球的半径为，则圆柱底面的半径为，高为， 则， 则， 所以圆柱的表面积， 故选：A. 10. 如图，是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（　　） A. 钝角三角形 B. 等腰三角形，但不是直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将△还原成原图，分析、、的关系，由三角形的性质即可得答案． 【详解】将其还原成原图，设，则可得， ，从而，所以， 即，故是等腰直角三角形. 故选：C. 11. 如图所示几何体的俯视图和侧视图都正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据侧视图，没有实对角线，俯视图实对角线的方向，排除错误选项，得到答案. 【详解】侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A，D排除， 而俯视时，有半个平面是没有的，所以有一条实对角线， 且其对角线位置从左下角画到右上角，故B排除. 故选：C. 12. 已知圆柱的轴截面是面积为100的正方形，则该圆柱的侧面积为（ ） A. B. 200 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求得圆柱的底面圆的半径和母线长，利用侧面积公式，即可求解. 【详解】由题意，圆柱的轴截面是面积为100的正方形， 可得圆柱的轴截面边长为10，所以圆柱的底面半径为5，母线长为10， 所以侧面积为. 故选：C. 13. 某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水，已知该四棱锥的高为，底面边长是，接缝处忽略不计，则需要油毡的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求出斜高，然后求出侧面积即可. 【详解】设该正四棱锥的斜高为． ∵高为，底面边长是， ∴根据勾股定理得， ∴该正四棱锥的侧面积为，即需要油毡的面积为． 故选：B 14. 如图，一个底面半径为4的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和6，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该几何体的体积由两部分组成：①底面半径为4、高为4的圆柱体体积，②底面半径为4、高为2的圆柱体体积的一半，由此有求出该几何体的体积． 【详解】解：一个底面半径为4的圆柱被一平面所截， 截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和6， 该几何体的体积由两部分组成： 底面半径为4、高为4的圆柱体体积，②底面半径为4、高为2的圆柱体体积的一半， 则该几何体的体积为：． 故选：D 15. 下列试验中是古典概型的是（ ） A. 在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B. 口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C. 向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D. 射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性进行判断． 【详解】对于A，“发芽”或“不发芽”概率不同，不满足等可能性，故A错误； 对于B，任取一球的概率相同，均为，故B正确； 对于C，基本事件有无限个，不满足有限性，故C错误； 对于D，由于射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环的概率不等，不满足等可能性，故D错误. 故选：B. 16. 已知数列为等差数列，，则（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质得到，计算得到答案. 【详解】，故，. 故选：B 17. 记等差数列的前n项和为,若,则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式及等差数列性质:若,则即可得到结果. 【详解】解:由题知, 即, , . 故选:C 18. 设等差数列的前项和为，若，则（　　） A. 28 B. 148 C. 168 D. 248 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列前项和公式计算可得； 【详解】解：因为等差数列中，， 所以，则． 故选：C． 19. 在等比数列中，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用可得到等比数列的公比的平方，再利用即可得出. 【详解】在等比数列中，由得 ， 所以，， 所以. 故选：D. 20. 在等比数列中，，若、、成等差数列，则的公比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，则，根据题意可得出、的等量关系，即可求得数列的公比. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由题意可得，即，则，故. 故选：B. 卷二（非选择题共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，若该棱锥的体积为，则该正方体的边长为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据体积公式直接计算即可. 【详解】设正方体边长为，则，解得. 故答案为： 22. 水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直观图得到平面图形，利用勾股定理求出，即可得解. 【详解】由直观图可得如下平面图形： 因为，， 所以，， 所以在直角三角形中，. 故答案为：. 23. 在一个底面直径为12cm，高为18cm的圆柱形水杯中加入水后，水面高度为12cm，加入一个球型小钢珠后水面上升到了13cm，则球型小钢珠的半径为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】设球型小钢珠的半径为， 上升水柱的体积， 所以， ， ． 故答案为：. 24. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则点数之和为8的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先计算基本事件的样本空间，再计算所求事件的种数，按照古典概型计算即可. 【详解】连续投掷2次，骰子点数的样本空间为 ，2次点数之和为8的有： ，故有 种，其概率为 ； 故答案为： . 25. 数列满足，且，则它的通项公式______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差数列定义求出公差，再求出通项作答. 【详解】因数列满足，即， 因此数列是首项为1，公差为的等差数列， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. （1）已知球的表面积为64π，求它的体积； （2）已知球的体积为π，求它的表面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由球的表面积公式求得半径，再由球的体积公式求得答案； （2）由求得体积公式求得半径，再由求得表面积公式求得答案. 【详解】（1）设球的半径为r，则由已知得4πr2＝64π，r＝4. 所以球的体积：V＝×π×r3＝π； （2）设球的半径为R，由已知得πR3＝π，所以R＝5， 所以球的表面积为：S＝4πR2＝4π×52＝100π. 【点睛】本题考查求球的表面积与体积，属于基础题. 27. 在正方体中，，求该正方体的外接球表面积． 【答案】 【解析】 【分析】设该正方体外接球的半径为，可得，计算可求球的表面积. 【详解】设该正方体外接球的半径为， 则，所以， 所以该正方体外接球的表面积为． 28. 如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，求原来图形的面积. 【答案】 【解析】 【分析】利用斜二测画法性质还原出原图形即可得出原图形面积. 【详解】根据斜二测画法可知正方形的对角线长为， 画出原图形如下图所示： 原图为两直角边分别为的直角三角形组成的平行四边形， 所以原来图形的面积为. 29. 数列的通项公式是. （1）这个数列的第4项是多少？ （2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ 【答案】（1） （2）是，第16项 【解析】 【分析】（1）利用数列的通项公式能求出这个数列的第4项； （2）令，求出方程的解，即可判断． 【小问1详解】 解：数列的通项公式是． 这个数列的第4项是：． 【小问2详解】 解：令，即， 解得或（舍， 是这个数列的项，是第16项． 30. 已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21,前三项之积为231,求数列{an}的通项公式. 【答案】 【解析】 【分析】可设前三项分别为，利用前三项和和积得到关于的方程组，解这个方程组后可得通项公式.也可以设前三项为，同样利用题设条件得到的方程组，解这个方程组后可得通项公式. 【详解】法一：根据题意，设等差数列的前三项分别为， 则，即,解得或. 因为数列为单调递增数列，所以，从而等差数列的通项公式为. 方法二：由于数列为等差数列，因此可设前三项分别为，可得，即 ，解得或. 因为数列为单调递增数列，所以,从而. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及其性质.一般地，解决数列问题有两种基本方法，一个是把数列的问题归结的基本量的方程或方程组，通过解方程或方程组得到基本量的值从而得到通项公式，另一个是利用数列的性质去考虑.另外等差的单调性和公差的正负相关，解题中注意取舍. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南理工学校2024－2025学年度第一学期月考（一） 高二春考班数学试题 1．本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考生请在答题卡上答题． 2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01. 卷一（选择题 共60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 2. 一个球的表面积为，则该球的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知圆锥的底面半径是1，高为，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 4. 用平面截一个球，所得到的截面面积为，若球心到这个截面的距离为，则该球的表面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 28 5. 在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的底面是斜边长为的等腰直角三角形，高为，则该“堑堵”的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ） 　　 A. 一个球 B. 一个球挖去一个圆柱 C. 一个圆柱 D. 一个球挖去一个正方体 9. 如图，圆柱的底面直径和高度都等于球的直径.若球的表面积为，则圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（　　） A. 钝角三角形 B. 等腰三角形，但不是直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 11. 如图所示几何体的俯视图和侧视图都正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知圆柱的轴截面是面积为100的正方形，则该圆柱的侧面积为（ ） A. B. 200 C. D. 13. 某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水，已知该四棱锥的高为，底面边长是，接缝处忽略不计，则需要油毡的面积为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，一个底面半径为4的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和6，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 15. 下列试验中是古典概型的是（ ） A. 在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B. 口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C. 向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D. 射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 16. 已知数列为等差数列，，则（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 24 17. 记等差数列的前n项和为,若,则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 18. 设等差数列的前项和为，若，则（　　） A. 28 B. 148 C. 168 D. 248 19. 在等比数列中，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 20. 在等比数列中，，若、、成等差数列，则的公比为（ ） A. B. C. D. 卷二（非选择题共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，若该棱锥的体积为，则该正方体的边长为___________. 22. 水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为_________． 23. 在一个底面直径为12cm，高为18cm的圆柱形水杯中加入水后，水面高度为12cm，加入一个球型小钢珠后水面上升到了13cm，则球型小钢珠的半径为______cm． 24. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则点数之和为8的概率是__________. 25. 数列满足，且，则它的通项公式______． 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. （1）已知球的表面积为64π，求它的体积； （2）已知球的体积为π，求它的表面积. 27. 在正方体中，，求该正方体的外接球表面积． 28. 如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，求原来图形的面积. 29. 数列的通项公式是. （1）这个数列的第4项是多少？ （2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ 30. 已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21,前三项之积为231,求数列{an}的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $