江西省宜春市高安市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024一2025学年度上学期期中质量监测 九年级数学试卷 命题人：吴有训实验学校赵海燕 审题人：瑞阳实验学校熊小燕 说明：1.本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟. 2.本卷分为试题卷和答题卡，答案写在答题卡上，写在试卷上的答案无效 一、 单项选择题.（本大题共6小题，每小题3分，共18分。在每个小题给出的四 个选项中，只有一项符合题目要求的) 1.以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是( D. 2.方程x2=4x的根是( A.x=0,x2=-4B.x=0 C.x=4D.x=0,x2=4 3.如图，将△ABC在平面内绕点A旋转40°到△AB'C的位置，使 CC'∥AB,则∠CAB的度数为( A.20° B.30° C.35° D.40° 4.某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是( A.200(1+a%)}2=148 B.200(1-a%)}2=148 C.200(1-2a%)2=148 D.2001-a2%)=148 5.如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值 范围是( .k2-1且k≠0 4 6.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，x=-1是对称轴， 且经过点(2,0).有下列判断：①2a-b=0;②16a-4b+c<0: ③a-b+c=-9a:④若A(-3,),B(1.5,2)是抛物线上两点， 九年级数学试卷第1页共6页 则y1>y2·其中正确的是() A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的一个根为一1，则m的值为 8.一元二次方程x2+3x-1=0的两个根为，x,则xx2+x号= 9.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m,如 果水面下降0.5m,那么水面宽度增加 m. 10.如果抛物线y=-x2+3x-2沿x轴向左平移m个单位长度后经 4m 过原点，那么m= 11.某次商品交易会上，所有参加会议的商家每两家之间都签订了一份合同，共签订合同36 份.共有 家商家参加了交易会， A 12.如图所示，已知矩形ABCD中，AD=10,AB=6现将边AD 绕它的一个端点旋转，当另一端点恰好落在边BC所在直线的 点E处时，线段DE的长度为 三、简答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.解下列方程：(1)(x-3)2=4 (2)x2-5x+1=0 14.已知关于x的方程x2+ax+a-2=0. (1)若该方程的一个根是一弓，求该方程的另一个根： (2)求证：不论α取何实数，该方程都有两个不相等的实数根， 九年级数学试卷第2页共6页 15.已知x,x2是方程2x2+3x-2=0的两个根：求： 1 1 (1)x2+x22的值： (2) 的值。 16.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，函数y与自变量x的部分对应值如表： -2 -1 0 2 y -3 -4 -3 5 (1)求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标： (2)求出该函数图象与x轴的交点坐标. 17.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4 (1)请画出△ABC关于原点O对称的△ABC1,并写出A,B,C的坐标： (2)在x轴上求作一点P,使△PAB的周长最小，请画出△PAB并直接写出P的坐标. -4-3-2-10 九年级数学试卷第3页共6页 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.如图，点0是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠B0C=a,将△B0C绕点C按顺时针旋转 60°，得△ADC,连接OD. (1)当a=150°时，试判断△A0D的形状，并说明理由： (2)当c为多少度时，△AOD是等腰三角形， 19.成都市成功举办了第31届世界大学生夏季运动会，运会吉祥物是一只名叫“蓉宝”的大熊 猫.某工厂生产“蓉宝”大熊猫，以30元的单价对外批发进行销售 (1)商场购进一批“蓉宝”的大熊猫，据市场分析，若每个“蓉宝”售价为60元，则每 天可售出40个.商场决定尽快减少库存，商店经过调研发现，如果每个“蓉宝”降价1 元，那么平均每天可多售出8个，若商店想平均每天盈利2000元，销售单价应定为多少元？ (2)商城销售总利润为W元，当销售单价应定为多少元，销售总利润最大？ 20. 已知抛物线二次函数y=一x2+2x+2. (1)该抛物线的开口方向， 该抛物线的对称轴 是 顶点坐标是 有最大值是 (2)选取适当的数据填入下表，并在下图的直角坐标 系内描点画出该抛物线的图象； (3)若点A、B均在抛物线上，且AB与x平行，其中 点A(-2,-6),则B点的坐标为 (4)若该抛物线上两点Ah),B(2,y2)的横坐标满足>x2>1,试比较片与y2的 大小： 九年级数学试卷第4页共6页 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED边 长，易知AE=√2c,这时我们把关于x的形如a2+√2x+b=0的一元二次方程称为“勾 系一元二次方程”，比如3x2+52x+4=0是“勾系一元二次方程” 请解决下列问题： (1)试判断方程x2+2x+1=0是否为“勾系一元二次方程”并说明理由： (2)若x=-1是“勾系一元二次方程”x2+√cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长 是12，求△ABC面积. E c 0 Bb D 22.如图，已知抛物线y=x2+bx+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点，点A在点 B左侧.点B的坐标为(L,0),OC=3OB. (1)求抛物线的解析式， (2)点M是抛物线对称轴I上的一个动点，当MB+MC的值最小时，求点M的坐标. (3)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值.。 九年级数学试卷第5页共6页 六、解答题（本大题共12分） 23.(12分)如图1，在△ABC中，∠ABC-90°，BA=BC.将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到 线段AD,E是边BC上的一动点，连结DE交AC于点F,连结BF, (1)求证：FB=FD: (2)如图2，连结CD,点H在线段BE上（不含端点），且BH=CE,连结AH交BF于点N ①判断A出与BF的位置关系，并证明你的结论： ②连接CN.若AB=2,请直接写出线段CN长度的最小值. D R E 图1 图2 九年级数学试卷第6页共6页九年级数学期中质量监测参考答案 一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 C D B B A B 二、填空题 7.-3 8. 3 9 .2 5 4 10. 1 或 2 11.9 12. 或 或 10 三、简答题 13.【解析】（1）解： ∴ ∴x=3±2 ∴ .·······（3 分） （2）解： ∵ ∴ ∴ ∴ ．·······（6分） 14.（1）得 3 2 x   代入原方程得： 23 3( ) 2 0 2 2 a a     解得 1 2 a  ∴ 2 1 3 0 2 2 x x   设另一个根为 2x 由根与系数的关系得： 2 3 1 2 2 x    ，解得 2 1x  ， ∴另一个根为 1·······（3 分） （2）证明：∵ 2 24( 2) ( 2) 4 0a a a        ∴不论 a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根·······（3分） 15.【答案】① 17 4 ，② 3 2 【详解】解：① 1x ， 2x 是方程 22 3 2 0x x   的两个根， 1 2 1 2 3 1 2 x x x, x      ，·······（2分）    1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3 172 2 1 2 4 x x x x x x               ；·······（4 分） ② 1x ， 2x 是方程 22 3 2 0x x   的两个根， 1 2 1 2 3 1 2 x x x, x      ， 1 2 1 2 1 2 3 1 1 32 1 2 x x x x x x          ．·······（6分） 16.（1）由表中数据可知，抛物线经过点（0，－3），（2，5） ∴ 3c   ， 4 2 5a b c   ∴ 4 2 8a b  ∴ 2 4a b  ∵抛物线经过点（－1，－4） ∴ 4a b c    ∴ 1a b   ∴ 1, 2a b  ∴二次函数的解析式为 2 2 3y x x   ∵ 2 22 3 ( 1) 4y x x x      ∴二次函数的图象的顶点坐标为（－1，－4）·······（3分） （2）令 0y  ，则 2 2 3 0x x   ，解得 1 3x   ， 2 1x  ∴该函数图象与 x 轴的交点坐标为（－3，0），（1，0）·······（3分） 17、（1）如图所示， 1 1 1A BC△ 即为所求      1 1 11, 1 4, 2 3, 4A B C      ····（3 分） （2）如图所示，  2,0P ·······（3 分） 18.（1）当 150  时△AOD 是直角三角形，理由如下： ∵△BOC 绕点 C按顺时针方向旋转 60°得△ADC ∴△BOC≌△ADC ∴∠BOC＝∠ADC＝150° ∵△BOC 绕点 C按顺时针方向旋转 60°得△ADC ∴△BOC≌△ADC，∠OCD＝60° ·······2 分 ∴CO＝CD ∴△COD 是等边三角形 ∴∠ODC＝60° ∴∠ADO＝150°－60°＝90° 当 150  时，△AOD 是直角三角形 ······· 4 分 （2）∵∠AOB＝110°，∠BOC＝ ∴∠DOC＝∠ODC＝60° ∴∠ADO＝ －60°，∠AOD＝190°－ ①当∠DAO＝∠DOA 时，2（190°-α）+α-60°=180°， ＝140°···（ 5分） ②当∠AOD＝∠ADO 时，190°-α=α-60°， ＝125° ·······（6分） ③当∠OAD＝∠ODA 时，190°-α+（α-60°）=180°， ＝110°····（7分） 综上所述 ＝140°，110°，125°时△AOD 是等腰三角形 ····（8分） 19.【解析】（1）解：设每个“蓉宝”降价 x 元， 由题意得，    20008403060  xx ， ·······（2 分） 整理得： 0100252  xx ，解得 20x 或 5x ， ∵商场决定尽快减少库存， ∴ 20x ，∴ 4060  x ， 答：销售单价应定为 40 元； ······· （4 分） （2）解：设每个“蓉宝”降价 x 元， 由题意得   xxw 8403060  =   xx 84030  = 12002008 2  xx ·······（6分） =   24505.128 2  x ∵-8＜0 ∴当 5.12x 时，w有最大值，最大值为 2450， ∴ 5.4760  x ∴当销售单价应定为 47.5 元，销售总利润最大． ·······（8分） 20.解：（1）∵   3122 22  xxxy ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线:x=1，顶点坐标为：（1，3），有最大 值是 3. 故答案为：向下；直线:x=1；（1，3）；3 ······· （3 分） （2） ·······（6 分） （3）∵点 A、B 均在抛物线上，且 AB∥x 轴，∴点 A、B 关于对称轴直线 x=1 对称， ∵A（-2，-6），∴B（4，-6）。······· 7分 （4）因为在对称轴 x=1 的右侧，y随 x的增大而减小， 又因为 21 xx＞ ＞1，∴ 21 yy＜ 。······· （9 分） 21.【详解】（1）解：∵ 2 2 2 1 0x x    这里 1 1a b ， ， 2c  ， ∴ 2 2 2a b c  ，∴ 2 2 1 0x x   是“勾系一元二次方程”． （2）解：当 = 1x  时，有 2 0a c b   ， 即 2a b c  ，·······（4 分） ∵四边形 ACDE的周长是12， ∴ 2 2 12( )a b c   ，∴ 2 2 2 12c c  ， ∴ 2 2c  ，·······（6分） ∴ 2 2 24 8a b a b c    ， ， ∵ 2 2 2( ) 2 16a b a ab b     ， ∴ 4ab  ，∴ 1 2 2ABC S ab  ．·······（9 分） 22.【答案】(1) 2 2 3y x x   (2)  1, 2M   (3) 75 8 【详解】（1）解：∵点 B的坐标为 ， 3OC OB ， ∴ 1OB  ， 3OC  ，（1分） 即点 ，  1,0B 代入 2 ( 0)y x bx c a    得 3 1 0 c b c       ，·······（2 分） 解得 3 2 c b     ，则抛物线的解析式 2 2 3y x x   ；（3分） （2）解：由抛物线的解析式 2 2 3y x x   得对称轴为 1 2 bx a     ，  3,0A  ， ∵点M 是抛物线对称轴 l上的一个动点，∴  1,M y ， ∵点 B关于对称轴 l的对称点为点 A， ∴MB MC 的值最小为MB MC MA MC AC    ，如图，·······（4 分） 设直线 AC的解析式为 y kx b  将点  3,0A  ， 代入得 3 =0 = 3 k b b     ， 解得 = 1 = 3 k b    ，则 3y x   ，当 = 1x  时， 1 3 2y     ， 故当MB MC 的值最小时，点  1, 2M   ；··（6 分） （3）解：过点 D 作直线DE y∥ 轴，交 AC于点 E，交 x 轴 于点 F，过点 C作CG DE 于点 G，如图， 设点  2, 2 3D a a a  ，则点  , 3E a a  ， 得 2 22 3 3 3DE a a a a a         ， = +ABC AED CEDABCDS S S S  四边形 1 1 1= 2 2 2 AB OC ED GC ED AF     1 1 · 2 2 AB OC EDOA     21 14 3 3 32 2 a a       23 3 3 96 2 2 2 4 a          23 3 75 2 2 8 a        ，∵ 3 0 2   ， ∴当 3 2 a   时， 75= 8ABCD S 四边形 .·······（9分） 23.【解析】（1）证明：如图 1 中， ∵BA=BC，∠ABC=90°， ∴∠BAC=∠ACB=45°， ∵线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°得到线段 AD， ∴∠BAD=90°，BA=AD， ∴∠FAD=∠FAB=45°， ∵AF=AF， ∴△FAD≌△FAB（SAS）， ∴BF=DF .······（3 分） （2）解：①解：结论：AH⊥BF. 理由：如图 2 中，连接 CD. ∵∠ABC+∠BAD=180°， ∴AD∥BC， ∵AD=AB=BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∵∠ABC=90°， ∴四边形 ABCD 是矩形， ∵AB=BC， ∴四边形 ABCD 是正方形， ∵BA=CD，∠ABH=∠DCE，BH=CE， ∴△ABH≌△DCE（SAS）， ·····（5 分） ∴∠BAH=∠CDE， ∵∠FCD=∠FCB=45°，CF=CF，CD=CB， ∴△CFD≌△CFB（SAS），· ∴∠CDF=∠CBF， ∴∠BAH=∠CBF， ∵∠CBF+∠ABF=90°， ∴∠BAH+∠ABF=90°， ∴∠ANB=90°， ∴AH⊥BF .······（7 分） ②如图 3 中，取 AB 的中点 O，连接 ON，OC. ∵∠ANB=90°，AO=OB， ∴ON= AB=1， 在 Rt△OBC 中，OC= ，······（10 分） ∵CN≥OC-ON， ∴CN≥ -1， ∴CN 的最小值为 -1.·····（12 分）