湖南省邵阳市新邵县新邵县思源实验学校、新邵县陈家坊镇中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024 年九年级(上)期中学情质量监测(数学)— 1　 2024 年九年级(上)期中学情质量监测 数　 学 题　 号 一 二 三 总　 分 合分人 复分人 得　 分 温馨提示:本卷共三道大题,满分 120 分,考试时间 120 分钟。 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. ) 题　 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答　 案 1、 下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是 A. x2 -2x= x2 +1　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 B. ax2 +bx+c= 0 C. (x-1)(x+2)= 1 D. x2 -2xy-3y2 = 0 2、 已知反比例函数 y=m -5 x 的图象在第二、四象限,则 m 的取值范围是 A. m≥5　 　 　 　 　 　 B. m>5　 　 　 　 　 　 C. m≤5　 　 　 　 　 　 D. m<5 3、 如图,点 D,E 分别是 AB,AC 的中点,则 S△ADE ∶S四边形DBCE = A. 1 ∶2 B. 1 ∶3 C. 1 ∶4 D. 2 ∶3 4、 一元二次方程 y2 -y- 3 4 = 0 配方后可化为 A. (y+ 1 2 ) 2 = 1 B. (y- 1 2 ) 2 = 1 C. (y+ 1 2 ) 2 = 3 4 D. (y- 1 2 ) 2 = 3 4 5、 下列各组图形中,不一定相似的是 A. 一组邻边对应成比例的两个矩形 B. 两个顶角相等的等腰三角形 C. 有一个内角相等的两个菱形 D. 有两条边对应成比例的两个直角三角形 6、 已知点 A(x1,y1 ),B(x2,y2 ),C(x3,y3 )都在反比例函数 y = a2 +1 x (a 是常数)的图象上,且 x1 <x2 <0<x3,则 y1,y2,y3 的大小关系为 A. y2 >y1 >y3 B. y1 >y2 >y3 C. y3 >y2 >y1 D. y3 >y1 >y2 2024 年九年级(上)期中学情质量监测(数学)— 2　 7、 如图,已知∠EAC= ∠DAB,那么添加下列一个条件后,仍无法判 定△ABC∽△ADE 的是 A. AB AD =AC AE B. AB AD =BC DE C. ∠B= ∠D D. ∠C= ∠AED 8、 三角形两边长分别为 3 和 6,第三边的长是方程 x2 -13x+36 = 0 的根,则它的周长为 A. 13 B. 15 C. 18 D. 13 或 18 9、 如图,在△ABC 中,边 BC = 12cm,高 AD = 6cm,正方形 PQMN 的边 QM 在 BC 上,P,N 两个顶点分别在 AB,AC 上,则正方形的边长为 A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 10、 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间,某微信群规定,群内的每个人都要发一个红包,并保 证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包,若此次抢红包活动,群内所有人共收 到 90 个红包,则该群一共有 A. 9 人 B. 10 人 C. 11 人 D. 12 人 二、填空题(本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分) 11、 已知 x y = 3 4 ,则x +y y = 　 　 　 　 　 . 12、 若关于 x 的一元二次方程(m-1)x2 +3x+m2 -1 = 0 有一根为 0,则 m= 　 　 　 　 　 . 13、 科学研究表明,当人的下肢长与身高之比为 0. 618 时,看起来最美,某女士身高为 160cm, 下肢长为 98cm,该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为　 　 　 　 　 cm. (精确到 0. 1cm) 14、 某村 2022 年的人均收入为 20000 元,2024 年的人均收入为 24200 元,则 2022 年到 2024 年 该村人均收入的年平均增长率为　 　 　 　 　 . 15、 如图,小华做物理实验,蜡烛的火焰透过小孔在成像板上形成一个倒立的像,经过测量蜡 烛的火焰是 2cm,它的像是 4cm. 如果蜡烛距离小圆孔 10cm,那么蜡烛与成像板之间的距 离是　 　 　 　 　 . 16、 如图,点 A,B 分别在函数 y= k1 x (k1 >0)与函数 y= k2 x (k2 <0)的图象上,线段 AB 的中点M 在 x 轴上,△AOB 的面积为 4,则 k1 -k2 = 　 　 　 　 　 . (第 15 题图) (第 16 题图) 2024 年九年级(上)期中学情质量监测(数学)— 3　 17、 若 a 是方程 x2 -x-1 = 0 的一个根,则 a3 -a2 -a+2024 的值为 　 　 　 　 　 . 18、 如图所示,双曲线 y= 2 x 上有一动点 A,连接 OA,以 O 为顶点、 OA 为直角边,构造等腰直角三角形 OAB,则△OAB 面积最小 时点 A 坐标为　 　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,19、20 题每题 6 分,22、23 题每题 8 分,21、24 题每题 9 分,第 25、26 题每题 10 分,共 66 分. 解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程) 19、 小明在解方程 x2 -5x= 1 时出现了错误,解答过程如下: ∵ a= 1,b= -5,c= 1,(第一步) ∴ b2 -4ac= ( -5) 2 -4×1×1 = 21,(第二步) ∴ x= 5± 21 2 ,(第三步) ∴ x1 = 5+ 21 2 ,x2 = 5- 21 2 ,(第四步) (1)小明解答过程是从第　 　 　 　 　 步开始出错的,其错误原因是　 　 　 　 　 . (2)写出此题正确的解答过程. 20、 如图,在平面直角坐标系中,△OAB 的顶点坐标分别为 O(0,0),A(2,1),B(1,-2) . (1)以原点 O 为位似中心,画三角形,使它与△OAB 位似,且相似比为 2 ∶1; (2)△OAB 内部有一点 M(a,b),写出点 M 在(1)中所画的△OAB 的位似图形中对应点的 坐标. 2024 年九年级(上)期中学情质量监测(数学)— 4　 21、 如图,一次函数 y= k1x+3 的图象与 x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点,与反比例函数 y = k2 x 的图 象分别交于 C,D 两点,若点 C 坐标是(3,6) . (1)求一次函数 y= k1x+3 与反比例函数 y= k2 x 的表达式; (2)求△COD 的面积; (3)直接写出当 x 取何值时,k1x+k< k2 x . 22、 如图,在三角形 ABC 中,点 D 在 BC 边上,点 E 在 AC 边上,且 AD=AB,∠DEC= ∠ADB. (1)求证:△AED∽△ADC; (2)若 AE= 1,EC= 3,求 AB 的长. 23、 已知关于 x 的一元二次方程(1-2k)x2 -2 k+1 x= 1 有两个不相等的实数根. (1)求 k 的取值范围; (2)如果此方程有两个相等实数根,请求出这个实数根. 2024 年九年级(上)期中学情质量监测(数学)— 5　 24、 某社区利用一块矩形空地 ABCD 修建了一个小型停车场,其布局如图所示. 已知 AD = 52m,AB= 28m,阴影部分设计为停车位,要铺花砖,其余部分均为宽度为 x m 的道路. 已知 铺花砖的面积为 640m2 . (1)求道路的宽是多少? (2)该停车场共有车位 30 个,据调查分析,当每个车位的 月租金为 400 元时,可全部租出. 若每个车位的月租金 每上涨 5 元,就会少租出 1 个车位. 求当每个车位的月 租金上涨多少元时,停车场的月租金收入为 10920 元. 25、 阅读下列材料: 材料 1:若关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0)的两个根分别为 x1,x2,则 x1 +x2 = - b a ,x1·x2 = c a . 材料 2:已知实数 m,n 满足 m2 -m-1 = 0,n2 -n-1 = 0,且 m≠n,求m n + n m 的值. 解:根据题意可知,实数 m,n 是方程 x2 -x-1 = 0 的两个不相等的实数根 根据材料 1,得 m+n= 1,mn= -1 ∴ m+n= -1,mn= -1. ∴ m n + n m =m 2 +n2 mn = (m+n) 2 -2mn mn = ( -1) 2 -2×( -1) -1 = -3 根据上述材料,解答下列问题: (1)若一元二次方程 5x2 +10x-1 = 0 的两个根分别为 x1,x2,则 x1 +x2 = 　 　 　 　 　 ,x1·x2 = 　 　 　 　 　 ; (2)已知实数 m,n 满足 7n2 -7n-1 = 0,7m2 -7m-1 = 0,且 m≠n,求 m2n+mn2 的值; (3)已知实数 s,t 分别满足 19s2 +99s+1 = 0,t2 +99t+19 = 0,且 st≠1,求st +4s+1 t 的值. 2024 年九年级(上)期中学情质量监测(数学)— 6　 26、 已知正方形 ABCD 中,点 E 在 BC 边上(不与两端点重合) . (1)如图 1,连接 AC,若 AE 平分∠BAC,BE= 1,求正方形 ABCD 的面积; (2)如图 2,将 AE 绕点 A 逆时针方向旋转 45°得到线段 AH,过点 H 作 HF⊥AC 交于点 F, 直线 FH 交 CD 于点 G,猜想线段 EC,HG,FC 之间的数量关系,并说明理由; (3)如图 3,若正方形的边长是 4,点 P 是 AB 边上一点,且 BP= 1,连接 AE,PE,将△APE 沿 AE 翻折到同一平面上的△AP′E,连接 DP′,CP′,请直接写出 CP′+ 3 4 DP′的最小值. 2024 年九年级(上)期中学情质量监测数学参考答案— 1　 2024 年九年级(上)期中学情质量监测 数学参考答案 一、选择题 1—5 CCBBD　 6—10 DBABB 二、填空题 11、 7 4 　 12、 -1　 13、 2. 3　 14、 10% 　 15、 30cm　 16、 8　 17、 2024　 18、 ( 2 , 2 ) 三、解答题 19、 (1)∵ 方程 x2 -5x= 1 可化为:x2 -5x-1 = 0,∴ a= 1,b= -5,c= -1, ∴ 小明解答过程是从第一步开始出错的,其错误原因是 c 值应为-1. 故答案为:一;值应为-1. 2 分……………………………………………………………………… (2)∵ a= 1,b= -5,c= -1,∴ b2 -4ac= ( -5) 2 -4×1×( -1)= 29, ∴ x= 5± 29 2 ,∴ x1 = 5+ 29 2 ,x2 = 5- 29 2 . 4 分…………………………………………………… 20、 (1)如图,△OA′B′,△OA″B″即为所求. 　 　 4 分………………………………………………………………… (2)(2a,2b)或( -2a,-2b) . 2 分………………………………………………………………… 21、 解:(1)∵ 点 C(3,6)在反比例函数 y= k2 x 的图象上,∴ k2 = 3×6 = 18, ∴ 反比例函数的解析式为 y= 18 x , 2 分…………………………………………………………… 又∵ C 在 y= kx+3 的图象上,∴ 3k1 +3 = 6,解得 k1 = 1, ∴ 一次函数的解析式为 y= x+3. 2 分……………………………………………………………… (2)由 y= x+3 y= 18 x { ,解得 x= 3y= 6{ 或 x= -6y= -3{ , ∴ D( -6,-3),∴ S△COD =S△BOC+S△BOD = 1 2 ×3×3+ 1 2 ×3×6 = 27 2 . 3 分……………………………… (3)由图可得,当 0<x<3 或 x<-6 时,k1x+b< k2 x . 2 分…………………………………………… 22、 (1)证明:∵ ∠DEC= ∠ADB,∴ 180°-∠DEC= 180°-∠ADB, 即:∠AED= ∠ADC, ∵ ∠EAD= ∠DAC,∴ △AED∽△ADC. 4 分……………………………………………………… 2024 年九年级(上)期中学情质量监测数学参考答案— 2　 (2)解:∵ AE= 1,EC= 3,∴ AC=AE+EC= 4, ∵ △AED∽△ADC,∴ AE ∶AD=AD ∶AC, ∴ 1 ∶AD=AD ∶4,解得:AD= 2(负值舍去), ∴ AB=AD= 2. 4 分………………………………………………………………………………… 23、 (1)解:方程整理为(1-2k)x2 -2 k+1 x-1 = 0, ∵ 方程有两个不相等的实数根,∴ Δ= ( -2 k+1 ) 2 -4×(1-2k) ×( -1) >0, 解得 k<2,又 1-2k≠0,k+1≥0,解得 k≠ 1 2 ,k≥-1, ∴ -1≤k<2 且 k≠ 1 2 ; 4 分………………………………………………………………………… (2)解:根据题意知 Δ= ( -2 k+1 ) 2 -4×(1-2k) ×( -1)= 0, 解得 k= 2,则方程为-3x2 -2 3 x-1 = 0,即 3x2 +2 3 x+1 = 0, 则( 3 x+1) 2 = 0,∴ 3 x+1 = 0, 解得 x1 = x2 = - 3 3 . 4 分…………………………………………………………………………… 24. (1)解:由题意得(52-2x)(28-2x)= 640, 整理得:x2 -40x+204 = 0,解得:x1 = 34(舍去),x2 = 6, 答:道路的宽为 6 米. 4 分………………………………………………………………………… (2)解:设当每个车位的月租金上涨 a 元时,停车场的月租金收入为 10920 元, 根据题意得,(400+a)(30- a 5 )= 10920,整理得,a2 +250a-5400 = 0, 解得 a= 20 或 a= -270(舍去) . 答:当每个车位的月租金上涨 20 元时,停车场的月租金收入为 10920 元. 5 分……………… 25. (1)x1 +x2 = - 10 5 = -2,x1x2 = - 1 5 ; 2 分………………………………………………………… (2)∵ 7m2 -7m-1 = 0,7n2 -7n-1 = 0,且 m≠n, ∴ m、n 可看作方程 7x2 -7x-1 = 0,∴ m+n= 1,mn= - 1 7 , ∴ m2n+mn2 =mn(m+n)= - 1 7 ×1 = - 1 7 ; 4 分……………………………………………………… (3)把 t2 +99t+19 = 0 变形为 1+99· 1 t +19·( 1 t ) 2 = 0, ∴ 实数 s 和 1 t 可看作方程 19s2 +99s+1 = 0 的两根, ∴ s+ 1 t = -99 19 ,s· 1 t = 1 19 , ∴ 3t +4s+1 t = s+4 s t + 1 t = s+ 1 t +4 s t = -99 19 + 4 19 = -95 19 = -5. 4 分…………………………………… 26、(1)3+2 2 2 分………………………………………………………………………………… (2)CE= 2CF-HG 或 CE= 2CF+HG 4 分……………………………………………………… (3)CP′+ 3 4 P′D 的最小值为 305 4 4 分……………………………………………………………