上海市格致中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

格致中学 二O二四学年度第一学期期中考试 高三年级 数学试卷(共4页) (测试120分钟内完成,总分150分,试后交答题卷) 友情提示:昨天,你配然经历了缘苦的营司,个天,你必将离得可喜的歧救/ 祝你,试实守信,沉看静,细鼓暗实,自信自强,去迎接胜制/ 一、填空题:(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生 在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知复数z-2-(i为虚数单位),则z的虚部为 2. 函数y-1-x2+lnx的定义域为__. 3. 若直线2x+my+1-0与直线y=3x-1垂直,则m=__. 4. 已知集合A-{xla<x<a+1),B={xl-4<x<0),若AcB,则实数a的取值范围是 6. 在一次为期30天的博览会上,主办方统计了每天的参观人数(单位 02244559 千人),并绘制了茎叶图(如图),其中“茎”表示十位,“叶”表示个位, 111336789 则这组数据的第75百分位数是 02455889 7. 二项#(2) 展开式的常数项为. 8. 已知P(x,%)(0<x。<1)是曲线C:x+=1上一点,作曲线C在点P处的切线l,/与x铀、 y轴分别交于点A、B,O为坐标原点,则OA+lOB=__. 9. 如图(1),在长方体ABCD-EFGH中,AB=BC=2, AE-1,O为上底面EFGH的中心.现将矩形EFGH绕点O在 原平面内顺时针旋转e(0<9<)角,连接AE、DE、AF、 (1) (2 BF、BG、CG、CH、DH,得到如图(2)所示的十面体 若这个十面体的各个项点都在球M的球面上,则球M的表面积是 10. 已知/(x)=3sin(cox+)(>0,0<<2π),函数y=f(x)的部分 图像如图所示,已知点A、D为y=f(x)的图像与x轴的交点,其中 1/4 D(G-o).点B、C分别为y-yf(x)的图像的最高点和最低点,且.DC--",则o=__. 11. 已知k为常数,若关于x的不等式(x-k)^s-对任意的xe(0,+co)都成立,则实数k的取值 范围为___. 线,切点分别为A、B,则直线AB称作点P关于圆C的极线,其方 程为-1. 现有如图所示的两个糊圆C、C.,它们的中心都 在坐标原点,对称轴都是坐标轴,离心率分别为e、,C.在C.内, 圆C.上的任意一点M关于C.的极线为l,若原点O到直线l.的距离为定值1,则e}-2的最 大值为_ __. 二、选择题:(本大题共4题,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分,满分18分) 13. 已知a、b是非零实数,若a<b,则下列不等式一定成立的是( A.a2<b?; B. ab?<a2b; 14. 已知事件A与B相互独立,且0<P(4)P(B)<1,则下列选项不一定成立的是( A. P(AOB)-(t-P(4))P(B): B. P(4UB)-P(4)+P(B): C. P(AUB)-P(4)P(B): D. P(AB)P(BlA)-P(AOB). 15. 已知圆锥S-O的底面半径为2,高为4,点P为圆锥底面上任意一点:点 O为圆锥侧面(点O异于顶点S且不在底面圆周上)上任意一点,则OP.SO 的取值范围为( ) A. (-8,8): B. [0.8): C. [-4.4]; D. (-4,4). 16. 已知数列(a.),若存在数列(6.)满足对任意正整数n,都有 (a.一b.)(..-bl)<0,则称数列(.)是{n.)的交错数列.有下列两个命题:①对任意给定的等 差数列(a.),不存在等差数列(.),使得(b.)是(a.)的交错数列:②对任意给定的等比数列(a.) 存在等比数列(6.),使得(6.)是fa)的交错数列.下列结论正确的是( A. ①与②都是真命题: B.①为真命题,②为假命题; :. ①为假命题,②为真命题: D. ①与②都是假命题. 2/4 三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的 步骤. 17.(本题共2小题,第1小题6分,第2小题7分,满分13分) 如图:在五面体ABCDEF中,四边形ABCD与四边形CDEF均为等 腰梯形,AB//CD,EF//CD,CD-2AB=2EF=4,AD-DE-5, AE-2、2. (1)证明:平面ABCD1平面CDEF: (2)若M为线段CD上一点,且CM=1,求二面角A-EM-B的余弦值. 18. (本题共2小题,第1小题5分,第2小题8分,满分13分) 已知/(x)-sinx+3]cosx(xeR). (1)是否存在正数m,使得f(x)=f(m-x)对xeR都成立?若存在,求出m的一个值 若不存在,请说明理由: (2)写出函数y=f(x)的一个周期,并求函数y-/(x)的值域 19.(本题共3小题,第(1)小题6分,第(2)小题的4分,第(3)小题的6分,满分16 分) 2024年某瓷器公司计划向市场推出两种高档中国红瓷杯4和B,已知A和B烧制成功率分 别为80%和90%,烧制成功一个A,盈利30元,否则亏损10元;烧制成功一个B,盈利80元. 否则亏损20元. (1)设X为烧制一个A和一个B所得的利润之和,求随机变量X的分布和数学期望; (2)求烧制4个4所得的利润不少于80元的概率; (3)公司将用户对中国红瓷器的喜欢程度分为“非常满意”(得分不低于85分)和“满意” (得分低于85分)两类,通过调查完成下表. [75,80) [80.85) [85,90) [90,95) [95,100) 年龄低于45岁 42 31 年龄不低于45岁 4 47 6 35 根据调查数据完成下列2x2列联表,并依据显著性水平a=0.05的独立性检验,判断居民对 经器的喜欢程度是否与年龄有关联? 非常满意 满意 合计 年龄低于45岁 年龄不低于45岁 合计 3/4 nad-bc)" (a+b)(c+d)(a+c)(b+a) =a+b+c+d,P(x”k)a,a与k的若干对应数 值见下表: 0.25 0.05 0.005 1.323 3.841 7.879 20.(本题共3小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分,满分18分) C(1,0)作斜率为k.(K,*0)的动直线/交圆r于M、N两点:当k,变化时,△ABM面积的最. 大值为2. (1)求圆r的标准方程: (2)当=1时,求△AMN的面积 (3)如图,设M关于原点O的对称点为P,直线AP、BN交 于点,设直线OQ的斜率为,试探究是否为定值?若是定值; 2 请求出该定值;若不是定值,请说明理由 21.(本题共3小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分,满分18分) 函数y=f(x)的导函数为y=f'(x),令g(x)=f(x)/f'(x),称y=g(x)是y=f(x)的特征函 数.若g(x)>0对一切x=(m,n)恒成立,则称函数y=f(x)是(m,n)上的绝对增函数 (1)已知/(x)=xe{,判断函数y=f(x)是否是(0,+o)上的绝对增函数,并说明理由; (2)已知/(x)-sin(x+),函数y-/(x)是[0.=])上的绝对增函数,求o的值; (3)函数y=f(x)是(m,n)上的绝对增函数,其特征函数y=8(x)在(m,n)上有唯一的零点 xo,求证:x。是函数y=f”(x)的极值点 4/4