第六章 反比例函数章节压轴题模拟训练-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

第六章 反比例函数章节压轴题模拟训练 一、填空题 1．如图，在直角坐标系中，点A、B在反比例函数（，）的图象上，点C在y轴上，轴，若，，则 ． 2．如图，直线与反比例函数交于，两点，若，则的值为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，将沿直线翻折后得到，若反比例函数的图象经过点，则 ． 4．如图，正方形的顶点、在函数的图象上，已知点的坐标为，点的横坐标为，则的值为 ．    5．如图，平面直角坐标系中，函数的图象经过，两点．若的面积为6，则的值为 ．    6．如图，已知反比例函数的图象上有，两点，连接，，且，是轴上的点，连接，且，连接，交于点，连接，若，点坐标，则面积为 ． 7．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点A、B在双曲线上，与x轴交于点D．若点A的坐标为，则四边形的面积为 ． 8．如图，的顶点B，C分别落在反比例函数和的图象上，连结，将沿着翻折，点的对应点恰好落在的图象上，与交于点．已知的面积为，，则的值为 ． 9．如图，已知直线与双曲线相交于A、B两点，其中点A在第一象限以为斜边作等腰直角，顶点C位于第四象限，边交x轴于点D，若，则点C的坐标是 ． 10．如图，正方形的顶点在反比例函数（）图象上，顶点在x轴的负半轴上，顶点在y轴的正半轴上，再在其左侧作正方形，顶点在反比例函数（）的图象上，顶点在x轴的负半轴上，则点的坐标是 ． 11．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，过点作，交轴于点．若都是等腰直角三角形，其中点，在反比例函数的图像上，则点的横坐标为 ． 12．如图所示，的顶点B，C分别在x轴正半轴，y轴负半轴上，点A在第一象限内，交x轴于点D，反比例函数分别交于点E，F，过点E作轴交于点G，且，若的面积为，则k的值为 ． 13．如图，已知平面直角坐标系中有一个的正方形网格，网格的横线、纵线分别与x轴．y轴平行，每个小正方形的边长为1．点N的坐标为． （1）点M的坐标为 ； （2）若双曲线L：与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数k的值有 个． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，在反比例函数图象上存在一点P（不与A、B重合），连接，，使得，如果这样的P点恰好有两个，则m的取值范围是 ． 15．如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，点F的坐标为 ． 16．如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，的值为 ，点F的坐标为 ． 二、解答题 17．如图，已知直线与双曲线交于两点，且点A的横坐标为4． (1)求的值； (2)若双曲线上一点C的纵坐标为8，求的面积； (3)过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第三象限），若由点为顶点组成的三角形面积为12，求点的坐标． 18．如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当以C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像相交于C、D两点，点D的横坐标为3．轴，垂足为 E ． (1)写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数的解析式： (2)M是反比例函数图像上的一个动点且在点D右侧，过点M作轴，垂足为F、是否存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M坐标，如果不存在，请说明理由． 20．在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 21．如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)求的值并直接写出点的坐标； (2)连接，求； (3)是轴上一点，是平面内一点，是否存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图1，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，与双曲线交于C、D两点，点C的纵坐标为． (1)求双曲线的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，P是双曲线段上的动点，过点P作x轴、y轴的平行线，分别交于点M、N，求的值及的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 反比例函数章节压轴题模拟训练 一、填空题 1．如图，在直角坐标系中，点A、B在反比例函数（，）的图象上，点C在y轴上，轴，若，，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．过点B作于点D，设，利用勾股定理，平行线间的距离处处相等，反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：过点B作于点D，设， ∵，， ∴，， 由， ∴， 解得， ∴，， ∵轴， ∴A，C两点的纵坐标相同，设为， 根据平行线间的距离处处相等，得到，， 故 解得， 故， 故答案为：15． 2．如图，直线与反比例函数交于，两点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系．联立直线与反比例函数得到，设方程的两个根为，，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，利用完全平方公式变形得到，再结合直线与轴交于点与建立等式求解，即可解题． 【详解】解：联立，得到， ， 设方程的两个根为，，且， ，， ， ， ， 直线与轴交于点， ， ． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，将沿直线翻折后得到，若反比例函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】由，可知，，由折叠得，要求的值只要求出点的坐标即可，因此过点作垂线，构造相似三角形，得出线段之间的关系，设合适的未知数，在直角三角形中由勾股定理，解出未知数，进而确定点的坐标，最终求出的值． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，与的延长线相交于点， 由折叠得：， ∴ 又∵ ∴， 设，则 在中，由勾股定理得：， 即：，解得：舍去）； ， 代入得，， 故答案为 【点睛】本题考查了折叠得性质、相似三角形的性质、勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特征等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．如图，正方形的顶点、在函数的图象上，已知点的坐标为，点的横坐标为，则的值为 ．    【答案】 【分析】过点轴，过点作于点，过点作于点，设，，证明，得，，继而得到，求解后确定，利用，都在函数的图像上，构建方程即可解决问题． 【详解】解：过点轴，过点作于点，过点作于点，设，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∵C，D都在的图像上， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题考查坐标与图形，反比例函数图像上点的特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键通过作辅助构造全等三角形、学会利用参数构建方程解决问题． 5．如图，平面直角坐标系中，函数的图象经过，两点．若的面积为6，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数k的几何意义，是解决问题的关键．根据条件和k的几何意义得到，代入坐标整理得到，依据，转化为，可求出，将所求代数式化简后代入数据即可得到结果． 【详解】解：如图，作轴，轴，垂足分别为D、C， ∵，， ∴， ∴， 又， 整理得：，则， ∵， ∴， ∴，即 解得，或（舍去）， ∴． 故答案为：．    6．如图，已知反比例函数的图象上有，两点，连接，，且，是轴上的点，连接，且，连接，交于点，连接，若，点坐标，则面积为 ． 【答案】7.5 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，反比例函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式．过点作轴于，过点作轴于，延长与的延长线交于，过点作轴于，设，证明为等腰直角三角形得，则点，进而得点，再求出直线的表达式为，再证明得，，则点，将点的坐标代入之中求出，进而得点，点，点，由此即可求出的面积． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，延长与的延长线交于，过点作轴于，如图所示： 设， ， ， 为等腰直角三角形， ， 点， ， 点， ，两点在反比例函数的图象上，且， 根据反比例函数的对称性可知点， 设直线的表达式为：， 将点，点代入， 得：，解得：， 直线的表达式为：， ， ， 轴，轴， ， ， 即， ，， 点的坐标为， 点在直线上， ， 解得：， 点，点， 点， ，，， ， ，，， ． 故答案为：7.5． 7．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点A、B在双曲线上，与x轴交于点D．若点A的坐标为，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的综合应用以及待定系数法求一次函数和反比例函数解析式和三角形面积求法等知识，首先求出直线解析式，进而得出直线解析，再利用直线解析式与反比例函数联立求出B点坐标，进而利用，求出即可． 【详解】解：∵A在双曲线上， ∴， 故， 设方程为，将A点坐标代入得出： ，解得：， 故AO直线解析式为：， ∵， ∴直线的解析式可以假设为， 将A点坐标代入得：， 故直线的解析式为：， 将直线与反比例函数联立得出： ， 解得：，， 那么B点坐标为： ， ∵，经过B点， ∴直线解析式一次项系数为：2， 故设解析式为：， 将B点代入得出：， 故， 则直线解析式为：， 则与x轴交点D为：， 解得：， 故D点坐标为：， ∵直线的解析式为：， ∴与x轴交点坐标E为：， 则 ． 故答案为：． 8．如图，的顶点B，C分别落在反比例函数和的图象上，连结，将沿着翻折，点的对应点恰好落在的图象上，与交于点．已知的面积为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，折叠问题．根据已知条件可得，进而得出；过点，点，点作轴，轴，轴，垂足分别为，证明得出，，则，根据得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：， ， ， 过点，点，点作轴，轴，轴，垂足分别为，如图所示 则． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 又∵ ∴， ，， ， ， ， ， 解得． ， ． 故答案为：． 9．如图，已知直线与双曲线相交于A、B两点，其中点A在第一象限以为斜边作等腰直角，顶点C位于第四象限，边交x轴于点D，若，则点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】连接，分别过点A、C作x、y轴的平行线交于E点， 交x轴于D点，分别过点A、C作x轴的平行线交y轴于M、N，由反比例的性质可知，A、B两点关于中心O对称，即，根据为等腰直角三角形，为斜边，可得，，且，设点，则，证明，得出，，则，根据可证明，则可求出，得出，则，求出a，即C点坐标可求． 【详解】连接OC，分别过点A、C作x、y轴的平行线交于E点，CE交x轴于D点，分别过点A、C作x轴的平行线交y轴于M、N，如图： 则， 由反比例的性质可知，A、B两点关于中心O对称，即， 又∵为等腰直角三角形，为斜边， ∴， ∴，， 设点，则，，， 由题意知：，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 即， 又， ∴， ∴（负值舍去） ∴， ∴C的坐标为 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数和一次函数的综合，主要考查了反比例函数的性质、一次函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质．掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 10．如图，正方形的顶点在反比例函数（）图象上，顶点在x轴的负半轴上，顶点在y轴的正半轴上，再在其左侧作正方形，顶点在反比例函数（）的图象上，顶点在x轴的负半轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，作轴于点C，作轴于点D，作轴于点E，作轴于点F，证明，则同理可证，，则，得到，则， 得到，的坐标为，由得到，则的坐标为，设的坐标为，则，同上可证，，则，得到，则，解得，即可得到答案． 【详解】解：作轴于点C，作轴于点D，作轴于点E，作轴于点F， ∵是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ 同理可证， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为， ∴， 解得，（不合题意，舍去） ∴ ∴的坐标为， 设的坐标为，则 ∵四边形是正方形， 同上可证， ∴， ∴， ∴ 解得，（不合题意，舍去） ∴， ∴点的坐标为， 故答案为： 11．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，过点作，交轴于点．若都是等腰直角三角形，其中点，在反比例函数的图像上，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数图像的交点问题，掌握一次函数、反比例函数图像上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 根据题意找到点的横坐标的规律，然后再求出的横坐标即可． 【详解】解：如图，过点A，，，，分别作轴，轴，轴，轴…，垂足分别为…．．． ∵直线的关系式为， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得……都是等腰直角三角形， 设， 则点，点A在反比例函数的图象上， ∴，解得：（负值舍去）， ∴点A的横坐标为1， 设， 则点，点A1在反比例函数的图像上， ∴，解得：， ∴点的横坐标为 设， 则点，点在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴点的横坐标为 以此类推：点横坐标为：． 故答案为：． 12．如图所示，的顶点B，C分别在x轴正半轴，y轴负半轴上，点A在第一象限内，交x轴于点D，反比例函数分别交于点E，F，过点E作轴交于点G，且，若的面积为，则k的值为 ． 【答案】 【分析】由，可设，则，，，再设，，分别过点作的垂线，垂足分别为，由得，则，据此得进而得，则点，同理得，然后根据得，则，设，得点，据此列方程整理①，由△ABD的面积得，整理得②，由①②解出，进而可得k的值． 【详解】 ， 设，则，， ， ，即：， 设，， 分别过点作的垂线，垂足分别为，如图： ， ， ， 即：， ， 同理：， ， 点E的坐标为， ， ， ， ， 设，则， ，， 点F的坐标为， 点，均在反比例函数的图象上， ，整理得：①， 的面积为，， ，②， 由①②得：，． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等，根据题意，设置适当的辅助未知数分别表示出点E，F的坐标，理解根据函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上是解答此题的关键． 13．如图，已知平面直角坐标系中有一个的正方形网格，网格的横线、纵线分别与x轴．y轴平行，每个小正方形的边长为1．点N的坐标为． （1）点M的坐标为 ； （2）若双曲线L：与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数k的值有 个． 【答案】 4 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征及性质，解题的关键是熟练运用以上知识点． （1）根据已知条件及线段的和差求出的坐标． （2）先找出正方形网格线上横纵坐标相乘得正整数的点，假设每个点处都有双曲线，求出此时的值，再根据只有两个点的对应的值相等即可得出答案． 【详解】解：（1）如图所示， ∵每个小正方形的边长为1， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． （2）正方形网格线上横纵坐标相乘得正整数的点有、、、、、 则分别过以上点的双曲线的值分别为：， 所以当与正方形网格线有两个交点，的值可以为， 满足条件的正整数的值有4个． 故答案为：4． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，在反比例函数图象上存在一点P（不与A、B重合），连接，，使得，如果这样的P点恰好有两个，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式，根据条件求出与直线平行并且与双曲线只有一个交点的直线和，设、与双曲线的交点分别为，和是的两个临界值，即可得解． 【详解】解：将点代入中，得到， 反比例函数为， 将点代入中，得到， 点坐标为， 将点，代入中，得到， 解得， 一次函数为， 设与直线平行的直线为， 联立， 整理得：， 当直线与双曲线只有一个交点时，有， ， 如图，与双曲线只有一个交点并且与直线平行的直线为和，设、与双曲线的交点分别为，、与直线的距离分别为， 直线与轴的交点坐标为，直线轴的交点坐标为，直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，作直线于点，直线于点， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， 直线与的距离为， 直线与的距离为， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点，一次函数的的图象和性质，反比例函数的图象和性质，两点间的距离公式等，灵活运用相关知识并数形结合分析问题是解题的关键． 15．如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，点F的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式． 作轴于G，连接，设和交于I，设点，根据矩形的面积得出三角形的面积，将三角形的面积转化为梯形的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果． 【详解】解：如图， 作轴于G，连接，设和交于I， 设点， 由对称性可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴，即：， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 设直线的解析式为，将点B代入得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 同理得：直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，的值为 ，点F的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接，作轴，设点，，根据矩形的面积得出三角形的面积，将三角形的面积转化为梯形的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果． 【详解】解：如图， 作轴于G，连接，设和交于I， 设点，， 由对称性可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴(， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴），即：， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴， ∵直线的解析式为：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式． 二、解答题 17．如图，已知直线与双曲线交于两点，且点A的横坐标为4． (1)求的值； (2)若双曲线上一点C的纵坐标为8，求的面积； (3)过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第三象限），若由点为顶点组成的三角形面积为12，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据一次函数与反比例函数相交于点A，将点代入函数解析式即可求得k的值， （2）利用已知点的坐标表示出围成图形的边长，运用反比例函数k的几何意义即可求解． （3）由反比例函数正比例函数图象交点关于原点对称，可分情况设出点P，Q的坐标，点P在点A的左面与右面表示出四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵点A横坐标为4， 把代入 得， ∴， ∵点A是直线与双曲线的交点， ∴． （2）解：如图，    过点C、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点C在双曲线上， 当时，， ∴点C的坐标为． ∵点C、A都在双曲线上， ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴； （3）解：∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ∴，， ∴， ∴， 设点P的横坐标为（且）， 得 ， 过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点P、A在双曲线上， ∴， 若，如图，    ∵， ∴． ∴． ∴，（舍去）， ∴， ∴； 若，如图，    ∵， ∴． ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． ∴点Q的坐标是或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的图像交点问题， 反比例函数与坐标轴围成面积， 反比例函数正比例函数图象结合问题，中心对称图形的性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 18．如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当以C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设点关于轴的对称点为，连接交轴于点，则最小，此时，据此求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． （3）由菱形的性质可得．轴，则设，利用两点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为； 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：将代入，得， ． 设点关于轴的对称点为， 连接交轴于点，则最小，此时． 设过点和的直线为， 将，代入，得 解得 ， 点的坐标为． （3）解：设直线的表达式为， 将，代入，得： ． 如图，C、M、E、F为顶点组成的四边形为菱形时，．轴， 设， ∴， 解得， ∴或 点的坐标为，点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像相交于C、D两点，点D的横坐标为3．轴，垂足为 E ． (1)写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数的解析式： (2)M是反比例函数图像上的一个动点且在点D右侧，过点M作轴，垂足为F、是否存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，反比例函数的解析式为； (2)或 【分析】（1）由一次函数的，，，分别求解对应的，，从而可得点A、B、D的坐标，再代入D的坐标可得反比例函数解析式； （2）如图，于，证明，由在的右侧，分两种情况：当时，设，当时，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：一次函数， 当，则，当，则， ∴，， 当时，， ∴， 在反比例函数上， ， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：如图，于， ∴， ∵点M、E、F为顶点的三角形与相似，在的右侧， 当时， ∴， 设， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， 当时， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 综上：或． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 20．在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为、，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点E，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)①的值为4；②m，的值为1，3； (2)当时，； (3) 【分析】（1）①将点的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论； ②过点作轴，可得，可用，表达点的坐标，建立关于，的二元一次方程组即可得出结论； （2）过点作轴于点，可得，可用，表达点的坐标，由此建立关于，的不等式，解之即可； （3）过点作轴于点，设，由等腰三角形的性质可表达点和点的坐标，由此建立关于的方程，解之即可． 【详解】（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ； 即的值为4； ②如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得． ，的值为1，3； （2）解：当时，，理由如下： 如图，过点作轴于点， 同理（1）可得，， ，， ， ， ， 若，则， ，， ， 即当时，； （3）解：由（2）得，，又， ∴， ，， ，即， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 是等腰直角三角形， ， 设，， ，， 点是的中点， ； ， ， 点在上， ，整理得， （舍）或； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质等相关知识，用，表达出点，的坐标是解题关键． 21．如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)求的值并直接写出点的坐标； (2)连接，求； (3)是轴上一点，是平面内一点，是否存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为； (2) (3)存在，点的坐标为或或或． 【分析】（1）将点的坐标为代入直线中，可求得，即可求得，解方程组，即可求出点的坐标； （2）如图1，作轴于点，轴于点，则，，利用相似三角形性质即可求得，，然后根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）分两种情况：当点在的正半轴上时，当点在的负轴上时，如图2，设点的坐标为，过点作轴于点，通过，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将点的坐标为代入直线中， 得， 解得：， ， ， 反比例函数解析式为， 由， 得或， 点的坐标为； （2）解：如图1，作轴于点，轴于点， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3）解：存在，当点在的正半轴上时，如图2，设点的坐标为， 过点作轴于点， ，， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 当点在的负轴上时，如图2，设点的坐标为， 过点作轴于点， 同理证得点的坐标为， 当四边形或是矩形四边形时，， 点的坐标为或， 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法，轴对称性质，矩形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题． 22．如图1，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，与双曲线交于C、D两点，点C的纵坐标为． (1)求双曲线的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，P是双曲线段上的动点，过点P作x轴、y轴的平行线，分别交于点M、N，求的值及的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的值为，的最大值是 【分析】（1）由点C的纵坐标为 ，可得，可求；由点C在双曲线 上，可得，可求，进而可得双曲线的函数表达式为； （2）联立，，即，可求，即，由直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，可得，，根据，计算求解即可； （3）由勾股定理得，，设，则，，如图1，作轴于G，轴于H，证明，则，即，可求，同理，，可求，则，如图1，延长交x轴于E，延长交y轴于F，则，，同理，，，可求 ，，则，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：∵点C的纵坐标为 ， ∴， 解得，， ∴； ∵点C在双曲线 上， ∴， 解得，， ∴双曲线的函数表达式为； （2）解：联立，，即， 解得，， ∴， ∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴，， ∴ ， ∴的面积为； （3）解：由勾股定理得，， 设， 如图1，作轴于G，轴于H， ∵轴，轴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴， 如图1，延长交x轴于E，延长交y轴于F，∴，， 同理，，， ∴ ，， ∴， ∴的最大值是 ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式，勾股定理，坐标与图形，相似三角形的判定与性质．熟练掌握反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式，勾股定理，坐标与图形，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$