假期作业十三 导数的应用(二)-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业

三022 高二数学 所以[日小上单调造减。 假期作业十三 导数的应用（二） 所以fx)m=fe)=e+knc=+k-1. 技能提升台技能提升 e 1.B2.C3.B4.A f=f(）=e-- 5.C[f(x)=f2-x)+4r-4.求导得f(x)=-f(2-x)+ 4,即f(x)+(2-x)=4①.因为f(x)为R上的奇函 综上所递，当k是时fm=+k-1, 数，则f(一x)=一f(x),求导得(x)=(一x),所以 广(x)是R上的偶函数，所以广(2-x)=∫(x-2),结合 f（x)mx=e-k-L. ①式可得，(x)+f(x-2)=4,所以f(x-2)+f(x一4)= 13.解：(1)f(x)=3ax2+2bx-3, 4,两式相减得了(x)=(x一4)，所以了(x)是周期为4 依题意，f1)=f(-1)=0.即(3a+26-3=0. 的周期函数，所以f(2025)-f(1).由①式，令x=1,得 {3a-2b-3=0. 广(1)=2，所以(2025)=f(1)=2.] 解得=所以f()=x-3x 1b=0. f(.x)=3.x2-3-3(x+1)(x-1). 6Af)=r+m+1e-(任+1小x>0.周为画 数f(.x)=(x十m)e-n(lnx+x)的图象在点(1，f(1) 令(.x)=0,得x=-1或1. 处的切线方程为y=(2e一2)x十1一e,所以 若x∈(-∞，-1)U(1,十0∞)，则f(x)>0, 故f(x)在(-∞，一1)和(1，十∞)上是增函数： )=(m十2)e-2m=2c-2,解得m=0·所以fx) f(1)=(m+1)e-n=e-1, 若x∈(-1,1)，则f(x)<0, {n=1. 故f(x)在(-1,1)上是减函数， =xe-hr-,则fx)=(x+lDe-子-1=(x+D 所以，f(一1)=2是极大值：f(1)=一2是极小值 (2)曲线方程为y=x3-3.r,点A(0,16)不在曲线上 (e-）个8e)=e-是>0.则g=e+月 设切，点为M(.xoyo),则点M的坐标满足yo=x8-3xo. >0(x>0),所以函数g(x)在(0，十0)上单调递增.又 因f(x0)=3(x6-1), 故切线的方程为y-y0=3(.x号-1)(x一x0）. R(侵)=E-2<0.g(1)=e-1>0,对存在，∈ 注意到点A(0,16)在切线上，有 16-(x8-3x0)=3(x6-1)(0-x). (合使得g()=0,即存在∈（侵小使得 化简得x8=一8，解得xo=一2. 所以，切，点为M(一2，一2)，切线方程为9x一y十16=0. fo)=0,则氏-名故=h-ln:当0K< 14.解：(1)若a=1,则f(x)=x2+x-lnr,x>0. x0时，f(x)<0,当x>x0时，f(x)>0,所以函数f(x) f)=2x+1-}=2+1-21+D, 在(0，x0)上单调递减，在(x0,十0∞)上单调递增，所以 x f(x)mm=f(xo)=xoe5-lnxo-xo=L.又因为不等式 “fx)在(0，)上单润适减，在（侵+）上单润递 f(x)≥a恒成立，所以a≤1，所以a的最大值为1.] 7.BD 8.ABC 增m=(）厂是-h+2 9.解析：设上底的一半为x,高为h,则h=√下2一x稀形面积 (2由已加得了)=2r+a-<0在[1,2]上恒成主 S=r+0·P-2则s=二22+r,令S=0得 2-2 a≤-2x在[1,2]上成立.令g()=-2x,r∈ =乞.当x∈(0，)时，S>0,S单调递增，当x∈ [1.2],则g(x)= -2<0,∴.g(x)在[1,2]单调递 (乞）时S"<0,S单调递减.S在x=乞时取得最大 减，∴g(x)min=g(2)= a≤-2 7 ,即实数4的取 值所以梯形面积最大时，梯形的上底长为 位范国为(，一引 答案：r 10.解析：f(x)=3x2-a≥0在[1，十o∞)上恒成立， 高考冲浪 即a≤3.x2在[1，十o)上恒成立，所以u≤3. L,ACD[首先有f(x)=(x-1)2(x-4), 答案：3 则f(x)=3(x-1)(x-3), 11.解析：，总利涧y(万元)与营运年数x之间的关系式为 对于A有，x=3左右的两侧符号变化为由负到正，故其 y=-x2+12x-25, 为极小值点，故A正确： 对于B有，当0<x<1时，函数单调递增且x2<x, 平均利河=-一5+12=-（+）十12 故f(x2)<f(x),故B错误： 对于C有，当1<x<2时，得1<2.x-1<3且f(1)=0, (=-1+空令-1+9=0，释=5 f(3)=-4,故-4<f(2x-1)<0,故C正确： 运营5年的年平均利润最大，最大利润为2万元 对于D有，当一1<x<0时，f(x)单调递增，f(2一x)> 答案：52 f(x)成立，故D正确.] 12.解：(1)因为f(x)=a2x2+a.x一3lnx+1,所以定义城为 2.AD[求导得f(x)=6x(x一a),于是：A正确，当a>1 (0,十0∞)， 时，极大值f(0)=1>0,极小值f(a)=1-a3<0,所以必 有三个零点：B错，a<0时x=0应为极小值点：C错，任 所以f(x)=2a2x+a-3=2ar2+ax-3 何三次函数不存在对称轴；D正确，当a=2时∫(x) =(2a.x+3)(a.t-1) 2(x-1)3-6(x-1)-3,关于(1，-3)中心对称.] x ·53· 快乐假期 因为a>0.x>0,所以2ar+3>0. 因为g(x)有三个零点，所以方 x 程m=一 令f(x)>0→ax-1>0=ar>1→x>1 2+2+2+ 在区间[一2,4幻内有三个实数根， f(x)单调递增. 2D14$起 令f(r)<0→ax-1<09ar<1→x<1 2x十1的图象与直线y=n在 国为>0，所以0<≤日f)单调递减 区间[-2,4门内有三个交点. - f(x)=-x2+x十2，则令f(x)>0,解得-1<x<2:令 综上)在(0，)上单调递减，在（，+）单调递增。 广(x)<0,解得x>2或x<-1,所以函数f(x)在（一2， (2)由1)得知代x)有最小值f(日)}： 一1)，(2,4)上单调递减，在（一1,2）上单调递增. 又因为f-1)=-言2)=号f(-2)=号f4) f(日）=1+1-3n2+1=3+3na, 若f(x)的图象与x轴没有公共点，而3十3引na>0, 号所以画载f)在[一2,4]内的大线周象知图 ho-iot. 所示 若使函数∫(x)= a的取值范周是（合+o∞） 号2+22+2红+1的国象与直线 1 13.1)解：f)=兰了(2)=号=2，解得a=4. y=m在区间[一2,4们内有三个交点，则需使-日<m≤ (2)证明：令gx)=anx-1+） 高考冲浪 g)=a(仕)令gu>0 1.解：(1)a=1,f(x)=e-x-1,切点(1，e-2),f(x)=e -1,k=f(1)=e-1 即a(任-)>0，解得>l, 所以要求的切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x一1)，即y 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增. =(e-1).x-1. (2)f(x)=e-a,当a≤0时，了(.x)>0,f(x)在R上单 所以gtx)最小植为g)=0.所以x≥(-士）月 调递增，此时无极值 (3)解：由题意可知e÷<ex,化简得一1<1nr,a> ∴.a>0,令广(x)=0,x=lna a f(x)在（一oo,lna)上单调递减，(lna,十o∞）上单调递增， 是◆)-品则N)- nx-(x-1).1 ∴f(x)极小撞=flna)=a一alna-a3<0, (In x)2 .1-lna-a<0 Inz-1+1 令g(a)=-a2-lna+1,g'(a)=-2a-1<0 a 所以h'(x)= (In r)2 g(a)在(0，十o○)单调递减，而g(1)=0, 由2)知，在x1,e)上，nx一1+>0 .g(a)<0a>1 4的取值范围(1，十∞). 所以h'(x)>0,即函数h(x)在(1，e)上单调递增， 2.解：1)fx)=a(x-1D-nx+1,(x)=ax1,x>0. 所以h(x)<h(e)=e-1.所以a≥e一1. 所以a的取值范国是[e一1，十o∞). 若a≤0，f(x)<0,f(x)的减区间为(0，十∞)，无增区间： 14.解：1)周为x)=-号+a2+bx+1,所以了)= 若a>0时，当0<x<士时，f(x)<0,当r>L时，(x) 一x2+2ax十b,根据极值点定义，方程f(x)=0的两个 根即为x1=-1,x2=2. >0,所以f(红)的减区间为(0，增区同 因为f(x)=-x2+2ax+b,代入x1=-1,x2=2,可 得/-1-2a+b=0, 为（位+ (2)因为a≤2，所以当x>1时，e-1-f(x)=e1-a(x 1-4+4a+b=0. -1)+lnx-1≥e-1-2x+lnx+1.令g(x)=e1-2z 解得a'经验运特合题意，所以了)=一言+ b=2. +nx+1.则g)=e-2+子令h)=gx.则 22+2xt1. 一京'（x)在(1，+oo)上递增，(r)> h'(x)=e-1-1, （2)根据题老得gx)=-日+合r+2x+1-me h'(1)=0,所以h(x)=g'(x)在(1，十∞)上递增，g'(x)> g'(1)=0,故g(x)在(1，十co)上递增，g(x)>g(1)=0, [-2,4]. 即：当x>1时，f(x)<c1恒成立. ·54·--二 有志者事竟成。 假期作业十三 导数的应用(二) 完成日期:_ 月_口 思维整合室 2.已知某生产厂家的年利润v(单位:万元)与 年产量x(单位:万件)的函数关系式为 知识梳理 1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 大年利润为 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实 ( A.300万元 际问题的数学模型,写出实际问题中变量 B.252万元 C.200万元 D.128万元 之间的函数关系式一/(x). 3.已知函数f(x)=x{}十mx十lnx是单调递 (2)求函数的导数/(x),解方程/(x)=0. 增函数,则的取值范围是 ( ) (3)比较函数在区间端点和f(x)一0的点的 A.m-22 B.m>-2/② 函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值 C.m<2/2 D.m<22 (4)回归实际问题作答 4.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要 2.不等式问题 ( 使其体积最大,则其高为 ) (1)证明不等式时,可构造函数,将问题转化头 A.20 -3~3m B.100 cm 函数的极值或最值问题 (2)求解不等式恒成立问题时,可以考虑将参 C.20cm 数分离出来,将参数范围问题转化为研穷 5.已知f(x)为R上的奇函数,f'(x)为f(x) 新函数的值域问题. 的导函数,若f(x)=f(2一x)十4x-4,则 要点记忆 /'(2025)一 ( ) A.1 1.实际问题中的最值. B.-2025 C.2 (1)注意函数定义域的确定 D.2025 (2)在实际问题中,如果函数在区间内只有一 6.已知函数f(x)=(x十m)e一n(lnx十x)的 个极值点,那么只要根据实际意义判定是 图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=(2e -2)x十1一e,若不等式/(x)>a恒成立, 最大值还是最小值即可,不必再与端点的 则a的最大值为 ( ) 函数值进行比较 A.1 B.-1 2.判断方程根的个数时,可以利用数形结合思 C.2 D.e 想及函数的单调性, 7.(多选)下列命题正确的是 ( 【《《技能提升台 A. 函数在某区间上或定义域内的极大值是 唯一的 技能提升 B.函数的极大值不一定比极小值小 1.已知函数f(x)=x十ax2}+(a十6)x十1有极 C.对可导函数f(x),f(x。)一0是x点为 大值和极小值,则实数a的取值范围是( ) 极值点的充要条件 A.(-1,2) B.(-o0,-3)U(6,+) D.函数的最大值不一定是极大值,函数的 C.(-3,6) D.(-,-1)U(2,+) 最小值也不一定是极小值 .3· ##朵# 8.(多选)若函数f(x)=ax}+bx^{}十cx十d有 13.已知函数f(x)=alnx(a>0),e为自然对 ) 极值,则导函数/(x)的图象可能是( 数的底数. (1)过点A(2,f(2))的切线斜率为2,求实 数a的值; (2)当x>0时,求证:/(x)a(1-); (3)在区间(1,e)上e一ex<0恒成立,求 实数a的取值范围. 9.在半径为,的半圆内作一内接梯形,使其下 底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形面积 最大时,梯形的上底长为 . 10.已知.f(c)三x一ax在l,十o)上是增函 数,则a的最大值是 . 11.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投 人运营,据市场分析,每辆客车营运的总利 润(万元)与营运年数x(xN)满足y= -x+12x-25,则每辆客车营运 年,可使其营运年平均利润最大,最大利润 为 万元. 12.设函数f(x)=a}x{}+ax-3lnx+1,其中$ a>0. (1)讨论f(x)的单调性 (2)若v三f(x)的图象与x轴没有公共点; 求a的取值范围. .36· 高二数学 2.(2024·全国甲卷(文),20)已知函数/(x) 14.已知x=-1,x-2是函数f(x)= -a(x-1)-lnx+1. ar^}士bx士1的两个极值点。 (1)求f(x)的单调区间 (1)求f(x)的解析式; (2)若a<2时,证明:当x>1时,f(x) (2)记g(x)=f(x)-m,x-2,4],若函 e恒成立. 数g(x)有三个零点,求实数的取值 范围. 高考 冲浪 1.(2024·新课标II卷,16)已知函数f(x)= er-ax-a. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)) 处的切线方程 (2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求 的取值范围. ·37·