假期作业十二 导数的应用(一)-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业

快乐假期 学而不思则罔，思而不学则殆。 假期作业十二导数的应用（一） 完成日期： 月 《思维整合室 ①求f(x)在(a,b)内的 知识梳理 ②将f(x)的各极值与 进行比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是 1.函数的单调性 在某个区间(a,b)内，如果子(.x) 0,那 最小值. 么函数y=f(x)在这个区间内单调递增：如果 自测自查 f(x) 0,那么函数y=f(x)在这个 1.> <2.(1)①f(x)>0f(x)<0 区间内单调递减 ②f(x)<0f(x)>0(2)②f(x)=0 2.函数的极值 ③f(x)=0极大值 极小值3.(2)f(a) (1)判断f(xo)是极值的方法. f(b)f(a)f(b)(3)①极值②f(a),f(b) 般地，当函数f(x)在点x。处连续时， 要点记忆 ①如果在x,附近的左侧 ,右侧 1.可导函数的极值表示函数在一点附近的情况， ,那么f(x)是极大值； 是在局部对函数值进行的比较：函数的最值表 ②如果在x附近的左侧 ,右侧 示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个 ,那么f(x)是极小值 区间上的函数值进行的比较 (2)求可导函数极值的步骤. ①求f(x): 2.f(x)>0在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上 ②求方程 的根； 单调递增的充分不必要条件」 ③检查子(x)在方程 的根的左右两 3.对于可导函数f(x),f(x)=0是函数 侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在 f(x)在x=x。处有极值的必要不充分 这个根处取得 ;如果左负右正，那么 条件 f(x)在这个根处取得 《《技能提升台 3.函数的最值 技能提升 (1)在闭区间[a,b们上连续的函数f(x)在[a, 1.函数y=f(x)的导函数y=了(x)的图象如图 b们上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增，则 所示，则函数y=f(x)的图象可能是() 为函数的最小值， 为函数的 最大值；若函数f(x)在[a,b们上单调递减， 则 为函数的最大值， 为 函数的最小值， (3)设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可 导，求f(x)在[a,b们上的最大值和最小值 的步骤如下： ·32 三0022 高二教学岁) 2.当x=1时，函数f(x)=alnx十b取得最大 C.函数y=x3-12x(.x∈[-3,3])的最大值 为16，最小值为一16 值-2，则/(2)= D.函数y=x3-12x(-2<x<2)无最大值， A.-1 也无最小值 9.设a∈(0,1)，若函数f(x)=a+(1+a) c D.1 在(0，十∞)上单调递增，则a的取值范围是 3.函数f(x)=xnx的单调递减区间是() 10.函数f(x)=x3+x2-5x十2的图象与直 A.(-∞，0) B(合+∞) 线y=k恰有三个不同的交点，则实数k的 c(-, D.(.) 取值范围是 4.函数f(x)=x3-3x在闭区间[-2,2]上的 1山.函数fx)=一号·e的单调递增区间为 x+2 最大值和最小值分别是 ( A.1,-1 者a[-o小则函数g) B.2,-2 (x一2)e'一a(x+2)的零点的取值范围是 C.4,-14 D.4,-4 5.已知函数f(x)=x3+3a.x2+bx+a2在x= 一1处有极值0，则(1)= 12.已知函数f(x)=1-x+k1nx,k<1,求函 A.6 B.12 C.24 D.12或24 数fx)在[。e]上的最大值和最小值， 6.若不等式n≤是+b≤e(a,b∈R)对任意 的x∈，]恒成立，则a的最小值为 A.-3e B-e C. D.3e-3In 2 7.(多选)若函数fd)=alnx+2+兰a≠0) 既有极大值也有极小值，则 ( A.bc0 B.ab0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 8.(多选)给出下面四个命题，其中正确的是 A.函数y=x2-5x+4(x∈[-1,3])的最 大值为10，最小值为-号 B.函数y=2x2-4x+1(.x∈(2,4))的最大 值为17，最小值为1 ·33· 火曼快乐限期 c900号 13.已知函数f(x)=a.x3十b.x2-3.x在x=士1 14.已知函数f(x)=x2十ax-lnx. 处取得极值， (1)若a=1,求函数y=f(x)的最小值； (1)f(1)和f(一1)是函数f(x)的极大值 (2)若函数y=f(x)在[1,2]上单调递减， 还是极小值？ 求实数a的取值范围. (2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线， 求此切线方程 高考冲浪 1.(多选)(2024·新课标I卷，10)设函数 f(x)=(x-1)2(.x-4),则 () A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 2.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷，11)设函数 f(x)=2.x3-3a.x2+1,则 A.当a>1时，f(.x)有三个零点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线f(x)的对 称轴 D.存在a,使得点(1，f(1))为曲线y=f(x) 的对称中心 ·34·三022 富二数， 10.解析：设点A(oo),则o=lnx0.又y'=上 高考冲浪 x 1.A[f(x) 当x=0时y'=1 =e+2osr)1+r2)（e+2sin)·2红，所以f(0) (1+x2)2 点A在曲线y=nr上的切线为y一为=（(r一0 =3,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y一1 =3(x一0)，即3.x一y+1=0,切线与两坐标轴的交点分 中h0话一1 别为0D·(一30）所以切线与两坐标轴所图成的三 我入点(-e.得-1-n-。-1 即coln xo=e, 角彩的西积为日×1X号日，】 考查函数H(x)=xlnx,当x∈(0,1)时，H(x)<0, 2.解析：由题知y'=(e十x)'=e十1，当x=0时，切线斜乖 当x∈(1，十∞)时，H(x)>0, k=2, 且H'(x)=nx+1,当x>1时，H'(x)>0,H(x)单调 递增， 则切线方程为y=2x+1,y=[n(x+1D+a]'=中 注意到H(e)=e,故zoln=e存在唯一的实数根o= 2,得x=一 e,此时yo=1, y=2x()十1=0，y=ln+1)+a 故点A的坐标为A(e,1). 答案：(e,1) 的初点（0小 11.解析：依题意得，y,=0=一5er|=0=-5, 即0=ln(-号+1）十a,故a=ln2. 因此所求的切线方程是y一3=一5.x, 即5x+y-3=0. 答案：ln2 答案：-55x十y一3=0 假期作业十二 导数的应用（一） 12.解：(1)y=6.x3+2x2-3.x-1. 技能提升台技能提升 y=18x2+4x-3. 1. (2y=-n营c0s专=r-之nr 2B了0-兰-会由条#，年0 iy-1-tonr. 所以a=b=-2,即了(x)=-2+2。 (3)y=,1+1 (1-x)2 所以了2)=一号+是-合故选R] 13.解：1)：y=nx(x>0)y=1lnx十x·1=nx x 3.D +1,.y=lnx+1(x>0). 4.B[f(x)=3.x2-3.由f(.x)=0,得x=士1. (2)由(1)得k=y1x-1=ln1+1=1. 又因为f(-2)=-2,f(-1)=2, 当x=1时，y=0,,切，点为(1,0)，∴切线方程为y一0 f1)=-2.f(2)=2. 1×(x-1),即y=x-1. fmax(r)=2,fmin(.r)=-2.] 14.解：1)方程7z-4-12=0可化为)=子r-3. 5.C[由f(.x)=x3+3a.x2+bx+a2,得f(x)=3.x2+6ax 十b.因为f(x)在x=一1处有极值0，所以 当x=2时y=号又f)=a+名， T2 1)=0,1+3“解得63或 {f(-1)=0,{3-6a+b=0, 2a二22'解得-·故fx)=x-3 于是 8s8g时f)-3r2+6r+8=3+1≥ 1b=3. x a十44' 0,则f(x)在R上单调递增，函数无极值，舍去. (2)设P(x0%)为曲线上任一点，由广(x)=1+3 当=2时，fx=3x2+12z+9,令f(x=0,得x 1b=9 可得曲线在点P(0y)处的切线方程为 一1或x=一3，经检验x=一1和x=一3都为函数的极 值点，综上，侣所以了0-3+12+9=24] .A[国为nr≤号+be,re[,]所以lnrc 点，从而得切线与直线工=0的交点坐 十a≤xe,所以问题可转化为求直线y=b.x十a的纵戴距 令x=0,得y= a的最小值，先考虑不等式右半边，设f(x)=xe,则 标为0- 了)=e(+1>0,所以)在x,号]上单调逆 令y=x,得x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐 标为(2x0,2u), 增，所以代在x∈[，]上的图象上回所以直线 所以曲线在点P(xo,y%)处的切线与直线x=0,y=x所 y=br十a与f(x)的图象相切时，切点横坐标越大，纵截 国成的三角形西积为引一马2，=8 距想小，令切点横坐标为受，则切点为（侵·受）切线 故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x 所国成的三角形的面积为定值，此定值为6. 斜单为c,切线方程为y=心（侵x-号）下西考感不 ·51· 快乐假期 c900= 等式左*边，对于y=(受-号)当y=0时x= 9 当x变化时，(x),f(x)的变化情况如下表： <1,即这条切线与g(x)=xlnx的图象无交点.g(x) 5 1,+o∞) nx十1gx)的图象在（受g(受）处的切线斜率为 (x) 0 n三+1，在1，g)处的切线斜率为1，均小于直线y 229 f(x) 心（停一）的斜率，所以可令直线y=征十a在 27 (停，多6+e)处与f)的图象相交，在1,6十a)袋与 根据上表与右因知，当=一号时 y229 27 g(x)的图象相交，此时a取最小值，此时直线方程为y= 函数取得极大值且极大值为 2et-0 (哥）一器当=1时高数取 (x-1)+0=3e(x-1),截距为-3e.] 得极小值且极小值为(1)=一1. 根据题意结合图形可知k的取值 7.BCD[由题可知f(x)的定义城为(0，+∞)，了(x)=4 龙周为(1器) _b_2c=Qr2-br-2c,由函数fx)既有极大值也有 答案(1器)】 极小值，知f(x)在(0，十o∞)上有两个不等实根，令h(x) 11.解析：易知f(.x)的 =ax2一bx-2c,则h(x)在(0，十∞)上有两个不等实根， 定义城为（一0， fb2+8ac>0, -2)U(-2,+∞)， f(x)=2-2 +2 4>0, 所以x1十x2>0,即 b70, (x)= (引 0 12>0 -2c>0. () y=a a ,b2+8ac>0, [2+引e=周为了x)≥0在 4 所以ab>0, 所以b与a同号，e与a异号，故bx<0,所 (ae<0. (-∞，一2)U(一2，十o∞)上恒成立，所以f(x)的单调递 以A错误，B,C,D正确.故选BCD.] 增区间为(-o∞，-2)，(-2，十∞).令g(x)=(x-2)e 8.ACD[由二次函数的图象和性质可知A正确，B错误， 因为函数y=2x2一4.x+1在(2,4)上单调递增，并且x≠ ar+2》=0.得a-号.将高数gr)=一2e 2,x≠4，所以无最大值、无最小值；对于C,f了(x)=3x2 一a(x十2)的零点问题，转化为直线y=a与函数f(x) 12=3(x十2)·(x-2),令f(.x)=0得x=2或x=-2, 所以x=2和x=-2是函数f(.x)在[一3,3]上的两个极 一子图泉的文点的赞坐标问看.作出直线y=。与 值点，且f(2)=-16,f(一2)=16，又f(x)在区间端点的 函数(x)的大致图象，如图所示.当x<一2时，f(x)> 函数值为f(3)=一9，f(一3)=9，比较以上函数值，可得 f八.x)mx=16,f八x)min=一16，所以C正确.对于D,由C 国-10-二号e1=-8<0,f2)-号款 e 知，y=x3-12x在(-2,2)上单调递减，故在(-2,2)上无 最大值也无最小值，正确.门 =0,所以当ae【是0]时，直线y=a与南线f八x) 9.解析：由函数的解析式可得了(x)=alna+(1十a)r 文点的扶业标龙周是[一1,2】故高款g的本 ln(1十a)≥0在区间(0，十oo)上恒成立. 点的取值范围是[-1,2]. +ara1+a≥-,.即（）≥ 答案：(-∞，-2)，(-2，十∞)[-1,2] na一在区间(0，十∞)上恒成立， 12.解：因f(x)=1二+k1nx, In(1a) 故(）)°=1≥-na而a+1e1,2 In a f(x)=-x-1-24k=kx-1 2 故ln(1+a)>0, 故nat)≥-ha即aa+1)≥l, a)若0，则在[日，上有了)<0， {0<a<1. 10<a<1, 所以)在[日©小上单润运减， 故51≤a<1. 2 所以f(r)m=f(e)=1e+1ne=1+k-1, e 结合超意可得实数a的取值范国是[5，】 fam=/日)Fe--1 答案， 2)若>0，由<，得>e, 10.解析：f(x)=x3+x2-5.x+2,f(x)=3.x2+2.x-5, 由f(.x)=0,得x=- ·52· 三022 高二数学 所以[日小上单调造减。 假期作业十三 导数的应用（二） 所以fx)m=fe)=e+knc=+k-1. 技能提升台技能提升 e 1.B2.C3.B4.A f=f(）=e-- 5.C[f(x)=f2-x)+4r-4.求导得f(x)=-f(2-x)+ 4,即f(x)+(2-x)=4①.因为f(x)为R上的奇函 综上所递，当k是时fm=+k-1, 数，则f(一x)=一f(x),求导得(x)=(一x),所以 广(x)是R上的偶函数，所以广(2-x)=∫(x-2),结合 f（x)mx=e-k-L. ①式可得，(x)+f(x-2)=4,所以f(x-2)+f(x一4)= 13.解：(1)f(x)=3ax2+2bx-3, 4,两式相减得了(x)=(x一4)，所以了(x)是周期为4 依题意，f1)=f(-1)=0.即(3a+26-3=0. 的周期函数，所以f(2025)-f(1).由①式，令x=1,得 {3a-2b-3=0. 广(1)=2，所以(2025)=f(1)=2.] 解得=所以f()=x-3x 1b=0. f(.x)=3.x2-3-3(x+1)(x-1). 6Af)=r+m+1e-(任+1小x>0.周为画 数f(.x)=(x十m)e-n(lnx+x)的图象在点(1，f(1) 令(.x)=0,得x=-1或1. 处的切线方程为y=(2e一2)x十1一e,所以 若x∈(-∞，-1)U(1,十0∞)，则f(x)>0, 故f(x)在(-∞，一1)和(1，十∞)上是增函数： )=(m十2)e-2m=2c-2,解得m=0·所以fx) f(1)=(m+1)e-n=e-1, 若x∈(-1,1)，则f(x)<0, {n=1. 故f(x)在(-1,1)上是减函数， =xe-hr-,则fx)=(x+lDe-子-1=(x+D 所以，f(一1)=2是极大值：f(1)=一2是极小值 (2)曲线方程为y=x3-3.r,点A(0,16)不在曲线上 (e-）个8e)=e-是>0.则g=e+月 设切，点为M(.xoyo),则点M的坐标满足yo=x8-3xo. >0(x>0),所以函数g(x)在(0，十0)上单调递增.又 因f(x0)=3(x6-1), 故切线的方程为y-y0=3(.x号-1)(x一x0）. R(侵)=E-2<0.g(1)=e-1>0,对存在，∈ 注意到点A(0,16)在切线上，有 16-(x8-3x0)=3(x6-1)(0-x). (合使得g()=0,即存在∈（侵小使得 化简得x8=一8，解得xo=一2. 所以，切，点为M(一2，一2)，切线方程为9x一y十16=0. fo)=0,则氏-名故=h-ln:当0K< 14.解：(1)若a=1,则f(x)=x2+x-lnr,x>0. x0时，f(x)<0,当x>x0时，f(x)>0,所以函数f(x) f)=2x+1-}=2+1-21+D, 在(0，x0)上单调递减，在(x0,十0∞)上单调递增，所以 x f(x)mm=f(xo)=xoe5-lnxo-xo=L.又因为不等式 “fx)在(0，)上单润适减，在（侵+）上单润递 f(x)≥a恒成立，所以a≤1，所以a的最大值为1.] 7.BD 8.ABC 增m=(）厂是-h+2 9.解析：设上底的一半为x,高为h,则h=√下2一x稀形面积 (2由已加得了)=2r+a-<0在[1,2]上恒成主 S=r+0·P-2则s=二22+r,令S=0得 2-2 a≤-2x在[1,2]上成立.令g()=-2x,r∈ =乞.当x∈(0，)时，S>0,S单调递增，当x∈ [1.2],则g(x)= -2<0,∴.g(x)在[1,2]单调递 (乞）时S"<0,S单调递减.S在x=乞时取得最大 减，∴g(x)min=g(2)= a≤-2 7 ,即实数4的取 值所以梯形面积最大时，梯形的上底长为 位范国为(，一引 答案：r 10.解析：f(x)=3x2-a≥0在[1，十o∞)上恒成立， 高考冲浪 即a≤3.x2在[1，十o)上恒成立，所以u≤3. L,ACD[首先有f(x)=(x-1)2(x-4), 答案：3 则f(x)=3(x-1)(x-3), 11.解析：，总利涧y(万元)与营运年数x之间的关系式为 对于A有，x=3左右的两侧符号变化为由负到正，故其 y=-x2+12x-25, 为极小值点，故A正确： 对于B有，当0<x<1时，函数单调递增且x2<x, 平均利河=-一5+12=-（+）十12 故f(x2)<f(x),故B错误： 对于C有，当1<x<2时，得1<2.x-1<3且f(1)=0, (=-1+空令-1+9=0，释=5 f(3)=-4,故-4<f(2x-1)<0,故C正确： 运营5年的年平均利润最大，最大利润为2万元 对于D有，当一1<x<0时，f(x)单调递增，f(2一x)> 答案：52 f(x)成立，故D正确.] 12.解：(1)因为f(x)=a2x2+a.x一3lnx+1,所以定义城为 2.AD[求导得f(x)=6x(x一a),于是：A正确，当a>1 (0,十0∞)， 时，极大值f(0)=1>0,极小值f(a)=1-a3<0,所以必 有三个零点：B错，a<0时x=0应为极小值点：C错，任 所以f(x)=2a2x+a-3=2ar2+ax-3 何三次函数不存在对称轴；D正确，当a=2时∫(x) =(2a.x+3)(a.t-1) 2(x-1)3-6(x-1)-3,关于(1，-3)中心对称.] x ·53·