作业14 导数的概念及运算-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（湘教版）

1.当函数y=f(x)表示曲线方程时,其导数f'(x)的几何意义就是该曲线在点(x,f(x))处的切线的　　　　.  2.基本初等函数的导数公式 函数 导数 常函数 f(x)=C(C为常数) f'(x)=　　　  幂函数 f(x)=xα f'(x)=　　　  指数函数 f(x)=ax(a>0且a≠1) f'(x)=　　　  f(x)=ex f'(x)=　　　  对数函数 f(x)=logax(a>0且a≠1) f'(x)=　　　  f(x)=ln x f'(x)=　　　  三角函数 f(x)=sin x f'(x)=　　　  f(x)=cos x f'(x)=　　　  3.复合函数y=F(x)=f(g(x))的导数,记u=g(x),则F'(x)=　　　　　　　　,或y'x=y'u·u'x.  【例题】　(1)曲线y=在点(1,-1)处的切线方程为 (　　) A.y=x-2　　　 B.y=-3x+2 C.y=2x-3 D.y=-2x+1 (2)设f(x)=ln(x+1)++ax+b(a,b∈R,a,b为常数),若曲线y=f(x)与直线y=x在点(0,0)处相切,则a-b=　　　　.  【解析】　(1)由题意知,点(1,-1)在曲线y=上,又y'==,所以曲线在点(1,-1)处的切线的斜率k==-2,故所求切线的方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1. (2)由曲线y=f(x)过点(0,0),可得ln 1+1+b=0,故b=-1.由f(x)=ln(x+1)++ax+b,得f'(x)=++a,则f'(0)=1++a=+a,此即曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率.由题意知+a=,故a=0.故a-b=0-(-1)=1. 【答案】　(1)D　(2)1 【思维升华】　 　利用导数的几何意义求参数时,常根据以下关系列方程:(1)函数在切点处的导数值等于切线的斜率;(2)切点在切线上;(3)切点在曲线上;(4)题目所给的其他条件.最后通过解方程(组)得到参数的值. 一、选择题 1.已知函数f=,f'= (　　) A. B. C. D.2 2.曲线y=x4-3x在点(1,-2)处的切线的倾斜角为 (　　) A. B. C. D. 3.一质点A沿直线运动,位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为y=t2+2,则质点A在t=3s时的瞬时速度为 (　　) A. m/s B.5 m/s C.6 m/s D.8 m/s 4.已知f=f'ln-fx+x2,则f的值为 (　　) A.2+2ln 3 B.1+3ln 3 C.2+ln 3 D.1+4ln 3 5.曲线y=x2-3lnx在点P处的切线与直线x+2y-2=0垂直,则点P的横坐标为 (　　) A.e B.1 C.3 D.2e 6.曲线f(x)=xex+1在(-1,f(-1))处的切线方程是 (　　) A.y=-ex B.y=2ex C.y=1 D.y=-1 7.若函数f在R上可导,且f=x2+2f'x+m,则 (　　) A.f<f B.f=f C.f>f D.以上答案都不对 8.(多选)设b为实数,直线y=3x+b能作为曲线f的切线,则曲线f的方程可以为 (　　) A.f=- B.f=x2+4lnx C.f=x3 D.f=ex 二、填空题 9.已知函数f=2f'x+3ex-2,f'是f的导函数,则f'=　　　　　　.  10.函数f=x3-x2+2的图象在点处的切线方程为　　　　.  11.写出过点与曲线y=x3+1相切的一条直线的方程:　　　　.  三、解答题 12.已知函数f(x)=x3+x-16.如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线方程. 13.已知函数f=ke-x+x2. (1)求导函数f'; (2)当k=e时,求函数f的图象在点处的切线方程. 14.已知两曲线y=x3+ax和y=x2+bx+c都经过点P,且在点P处有公切线. (1)求a,b,c的值; (2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积. 作业14　导数的概念及运算 知识梳理 1.斜率　2.0　αxα-1　axlna　ex　　　cos x　-sin x 3.f'(u)·g'(x) 知能训练 1.A　由f=,得f'=,所以f'=.故选A. 2.B　因为y'=4x3-3,所以=1,故所求切线的倾斜角为.故选B. 3.C　由y=t2+2,得y'=2t,则y'=6, 即质点A在t=3s时的瞬时速度为6m/s.故选C. 4.A　因为f=f'ln-fx+x2, f=f'ln-f×0+×02=0, 所以f'=+x, 所以f'=+1=+1, 所以f'=2,所以f=2ln+x2, 所以f=2ln+×22=2ln3+2.故选A. 5.C　设切点P,,y=x2-3lnx的导数为y'=x-,可得切线的斜率为k=m-,由切线与直线x+2y-2=0垂直,可得m-=2,解得m=3或m=-1(舍),所以P的横坐标为3.故选C. 6.D　f'(x)=(x+1)ex+1,f(-1)=-1,f'(-1)=0,则曲线f(x)在(-1,f(-1))处的切线方程为y=-1.故选D. 7.C　因为f=x2+2f'x+m,所以f'=2x+2f', 所以f'=4+2f',解得f'=-4,所以f=x2-8x+m=+m-16,函数开口向上,对称轴为x=4,因为>,所以f>f.故选C. 8.ACD　因为直线y=3x+b能作为曲线f的切线,所以f'(x)=3有解,对于A,由f=-,得f'=,由f'(x)=3,得=3,解得x=±,所以直线y=3x+b能作为曲线f=-的切线,所以A正确;对于B,由f=x2+4lnx,得f'=x+(x>0),由f'(x)=3,得x+=3,化简得x2-3x+4=0,因为Δ=(-3)2-4×4<0,所以方程无解,所以直线y=3x+b不能作为曲线f=x2+4lnx的切线,所以B错误;对于C,由f=x3,得f'(x)=3x2,由f'(x)=3,得3x2=3,解得x=±1,所以直线y=3x+b能作为曲线f=x3的切线,所以C正确;对于D,由f=ex,得f'=ex,由f'(x)=3,得ex=3,解得x=ln3,所以直线y=3x+b能作为曲线f=ex的切线,所以D正确.故选ACD. 9.-3e 解析:由f'=2f'+3ex,可得f'(1)=2f'(1)+3e即f'(1)=-3e. 10.y=2x 解析:因为f=x3-x2+2,所以f'=3x2-2x+,所以f'=2,又f=2,所以所求切线方程为y-2=2,即y=2x. 11.y=1或27x-y-53=0(写出其中一条即可) 解析:设切点为,因为=3, 所以切线方程为y-=3, 将点代入得2-6=0,解得x0=0或x0=3. 当x0=0时,切线方程为y=1; 当x0=3时,切线方程为27x-y-53=0. 12.解析:由f(x)=x3+x-16得f'(x)=3x2+1, 因为切线与直线y=-x+3垂直,所以切线斜率为k=4. 设切点为(x1,y1),则k=f'=3+1=4,解得x1=±1, 所以或, 即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18). 所以切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18, 即y=4x-18或y=4x-14. 13.解析:(1)由题意,函数f=ke-x+x2, 可得f'=k+2x=-kxe-x+2x. (2)当k=e时,可得f(1)=3, 由(1)得f'=-exe-x+2x,所以f'(1)=1, 所以函数f的图象在点处的切线方程为y-3=1·(x-1),即y=x+2. 14.解析:(1)两函数y=x3+ax和y=x2+bx+c的导数分别为y'=3x2+a和y'=2x+b, 由题意,解得. (2)由(1)知公切线方程为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0,令x=0得y=-2;令y=0得x=, 所以所求面积为S=×2×=. 学科网（北京）股份有限公司 $