假期作业十 等比数列及其前n项和-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业

三022 高二数学 2十n （2)号知6，=a1十na 所以6-品aa62 6 ·,当9≠1时，受·不是常 因为{bn}是等差数列，所以2b2=b1十b3, 所以12 =12 +2 数，此时数列 工)不是等比数列，则甲不是乙的充分条 a+d a+2d ar 整理得(a1-2l)(a1一d)=0.所以a1=2d或a1=d. T 件：若为等比数列，令首项为，公比为，则 2 当a1=d时，an=nd,a1=d>1. 于是么="8=.n=。 p-1,T.=2h1·(2p)-1,于是当n≥2时a.=T,广 2 2d 2h1·(2p)m-1 而Sw-Tn=9,所以50d-}-1 2b,·(2p)0=2p,而a1=T1=2h1,当61≠p时，an不 解释d=韶或d=-1合去 是等比数列，即甲不是乙的必要条件，所以甲是乙的既不 充分也不必要条件.] 当a1=2d时a,=(n+1)d,,=n2+=n2+n 7.ABD[对于A,因为等比数列中的各项都不为0，所以A n+10a1: 不正确：对于B,因为等比数列的公比不为0，所以B不正 故5=nn3d.T,=m0D,又5g-T=99. 确：对于C,若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0， 2 2d 根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确： 即99×102d_9×100=99,即5142-d-50=0, 对于D,只有当a,b,c都不为0时，a,b,c才成等比数列， 2 2d 所以D不正确，故选ABD.] 所以d= 贸会)或d=1含)：降上可知d品 8.AD[因为a1=1,则a1十a2=2,u2=1.又a2十ag=4,a3 =3,同理as十a4=23,a1=5,故A正确： 高考冲浪 1.D[由S,=a1n+nm,14得5。=9a1+36d=1,a 而2=1，=3，故an不是等比数列，B错误： 2 a1+a2十…十a2o21 +4d=号a+a,=2ag=2a4+4d)=号.J =a1+(a2十a3)+(a4十a5)+…+(a2o20十agog1) 2.解析：设an=a1十(n-1)d.则由条件得2a1+5d=7,4a =1+2+24+…+2020=1+41-41010)-=4101-1 1-4 十7d=5,解得a1=-4,d=3, 3 则S10=5(2a1+9d)=95. _22-1,C错误： 3 答案：95 a1+a2+…+a2o22 假期作业十等比数列及其前项和 =(a1+ag)+(a3十a4)+…+(a2o21+a2022) 技能提升台技能提升 =21+23+…+22021=21-4111)_2×41011-2 1.A[由慝得化，e1=名9=2，= 1-4 3 lag=8. 1×2 -22-2,故D正确.] 3 =32. 9.解析：设{an}的公比为q(q≠0)则a2a4a5=a3a6=a24· 2.D a5g,显然an≠0， 3.D[根据题意可知{an}的通项公式为am=3”, 当am=32024时，n=2024,故选D.] 则a4=,即a1g3=q,则a19=1, 4.B[由韦达定理，可得a2·a222=2,由等比数列性质 因为aga10=-8,则a198·a1g2=-8, 则g5=(g)3=-8=(-2)3,则g5=-2, 可得an·a224-m=2,n∈[1,2023]，n∈N”. 设S=log2a1十log2a2+log2a3十…+log2a2023, 则a=a19·g5=1×(-2)=-2. 答案：一2 则2S=log2a1+log2a2023+log2a2+log2a2o22+…十 log2a2 023+logza 10.解析：根据题意，“追梦数列”(a}满足1一3=0(m∈ an+l an 得2S=l0g2(a1·a202%·a2·a2022·…·a2023·a1） =l6g2=2023pS-2023.故选R] N),即a。=3a时则载列{aa是公比为号的等比数 1 5.A[由于数列{an}的后7项构成等比数列，所以ag= 列，若量列{么行为造梦盘到，则有一有× as9,即192=12g,解得g=16.由于{an)为递增数列， 因此g=2,a5=a3q2,得a3=3,又a1=1,且前3项成等差 (侵)了安%+1=学流=学-1故客案为31 数列，所以a2=2,故数列{an}的所有项的和为1十2十 答案：3”一1 31-22)=384. 11.解析：由题意，设整体为1，较大部分为x,则较小部分为 1-2 6.D[设等比数列{an}的公比为q,则am=a1g-1,T。= 即2+红一1=0，解得5(=有1合去)故 黄金分制数为5引 ·49· 快乐假期 c900= 令g-521则g+g1=0,即a,g+g-1D=0, Tm-Sm=2k2-k=k(2k-1), 2 当n>5即k>2时，k(2k-1)>0,所以Tm>Sm: 所以ar+2十an+1一an=0,故a223=d2021十a22s=2023. 答案：2023 当n=2k+1∈N)时，T,=k+1D(-1D+k士1k×4+ 2 12.解：(1)设等比数列{an的公北为9(g≠0).因为a2=g· 1 14+k2D×8=62+11k-1, 2 aa,=287所以ag·ag=27所以=动解得 1 S=(2+1)X5+25+12×2=k2+12+5. 2 T。-Sm=2k2-k-6=(2k+3)(k-2), 当n>5即k>2时，(2k+3)(k-2)>0, 2)由于a,=(合）广所以6，=a,=1·(合）广所以工 所以Tm>Sn 高考冲浪 =1x名+2×()++…（得）广@ 1.解析：由题意不妨设x>y,若x,y均在[a1a2],则有x一 y∈[0，a2-a],若x,y均在[amaw+1],则有x-y∈[0， 号工=1x(合)广+2x(后)广++u-)…(传)广 am+1-am],若x,y分别在两个区间，则x-y∈[an一a2, am+1一a1],又因为g>1,总有ln是闭区间，则am一a2≤ …(传）@ am+1一am恒成立即可，化简得g"-1(g-2)十g≥0，所以有 ①-@得号，=言+（合）++（传）+（信） 9≥2恒成立. 答案：[2，十0∞) 2.解：(1)因为2Sm=3aw+1-3,所以2S+1=3am+2-3,两 式相减可得2au+1=3au+2一3am+1,即3a1+2=5ar+1,所 1-3 以等比载列a,}的公北g=号又周为25=3a-3=5☑ 是-(+)小（合） -3,即2a1=5a1-3,所以a1=1,所以{an}的道项公式为 13.解：(1)设等比数列{an}的公比为q (停)。 因为S一S,=5-5,所以2a=-@,解得g 2 (2)周为25，-3a+1-3,所以S-是（a+1-1D 因为a2=- 子，所以数列(a,的道项公式为a, [()- (小（)=-3x()月 设数列{S。}的前n项和为T则 -(] 则T 3× -川] 1-() 1-号 1-（) 9×(停)广g 所以T,=1-s-()八所以1T=()门 假期作业十一 导数的有关概念及其 计算 =(合）广由1T.>202 技能提升台技能提升 可得（侵）广223中<1g2023且EN 1.B2.B3.D4.C 5.C[由题意知f)=受r2+b加，所以f(x)=ar+ 故满足T,>2023的n最大值为10. 14.(1)解：设{an的首项为a1,公差为d,由S,=32, f)=+b加1=1， a=2, 得4a1+6d=32, F)=a+6=-1. 解得 5则= b= · 2, 又b=a1-6,b2=2a2=2a1+2d,=4g-6=a1+2d-6, 所以T3=4a1+4d-12=16,即a1十d=7, 由a十6d,32解得e5· （)-草 {a1+d=7, 1d=2, 所以{an}的通项公式为 6B[周为f)-吊十了)，所以了(x) am=2n+3. (2)证明：由（1)知，=2二3Cn为奇数) +2fr=D+2f,故fD (x+1)2 {4n十6(n为偶数). a+1D+2f,解得f)=-÷.] e 当m=2k(k∈N)时，T,=k(-1D+,D×4+14k十 2 7.AB 8.ACD k(k-1D×8=6k2+7k, 2 以解折：y-子初线斜奉=y1=2, S.=2k×5+2(2-×2=4k2+8歌. .切线的方程为y-0=2(x-1),即2x-y-2=0. 2 答案：2x-y-2=0 ·50·### 乐期 锲而不舍,金石可镂。 假期作业十 等比数列及其前”项和 完成日期:_ 月_口 思维整合室 ②对有穷等比数列,与首末两项“等距离” 的两项之积等于首末两项的积,即a·a. 知识梳理 1.等比数列的定义 (3)和的性质 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前 公比不为一1的等比数列a的前n项和 一项的比等于 ,那么这个数列叫做 为S,则S,S一S., 仍成等比 等比数列, 叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q 数列,其公比为q”;当公比为一1时,S; S一S., 子0)表示. 不一定构成等比数列. 2.等比数列的通项公式 6.数列求和的常用方法有 如果一个等比数列a。的首项为a.,公比为q 那么它的通项公式是 自测自查 3.等比中项 1.同一个常数 这个常数 2.a.=aq”(q≠0) 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b a.(1-q”) 3.等比数列 士ab 4.na1 成 1- 那么G叫做a,b的等比中项,此时G= a-a.q 5.(1)a。·q““ 过1-甲 (2)a。·a。 (3)S .-S。S.-S。6.公式法 裂项相 4.等比数列a。的前n项和 (q-1). 消法 错位相减法 S.-( (q1). 要点记忆 5.等比数列通项公式的推广及运算性质 等比数列前”项和公式的应用 (1)等比数列通项公式的推广 (1)知三求二:在等比数列前”项和公式中,共 通项公式 通项公式的推广 有a,a,9,n和S.这五个量,已知其中任 a-a:”-1 意三个,都可以求出另外两个 (2)两种思想:关于等比数列前”项和公式的 (揭示首末两 (揭示任意两 项的关系) 基本运算,多运用方程的思想,解决两个基 项之间的关系 本量,即首项a,和公比q,从而求出通项公 (2)等比数列项的运算性质 式.此类问题在求解中经常使用整体代换 在等比数列a中,若n十n=+q(m,n, 的思想. qN),则a.a.= (3)一个注意点:凡涉及等比数列前”项和的 ①特别地,当n十n=2(m,n,kEN*)时 问题,必须注意公比q是否等于1,如果不 a.a-a{. 确定,应分q一1和g关1两种情况讨论 ·26· 高二数学 《《技能提升台 6.记数列a.)的前”项积为T。,设甲:(a。)为 技能 提升 为等比数列,则 1.在等比数列{a.中,a。=1,a-8,则a= A. 甲是乙的充分不必要条件 ( _ B.甲是乙的必要不充分条件 B.24 C.甲是乙的充要条件 A.32 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 C.20 D.1 7.(多选)下列说法不正确的是 ( 2.设{a)是等比数列,且a十a十a=l,a十 A.等比数列中的某一项可以为0 ( ) a+a=2,则a+a+a B. 等比数列中公比的取值范围是 (-,十。) A.12 B.24 C.若一个常数列是等比数列,则这个常数 C.30 D.32 列的公比为1 3.a。是首项和公比均为3的等比数列,如果 D.若b2②}一ac,则a,b,c成等比数列 a.-32024,则n等于 。 ) 8.(多选)已知数列{a。)满足a=l,a。十al A.2020 B.2021 -2(nEN),则下列结论中正确的是 ) D.2024 A.a.-5 C.2022 B.a.)为等比数列 4.已知数列a。是各项均为正数的等比数列, C.a+a2..+2 021-2022-3 若a。,a。。是方程x2-3x十2-0的两个根, 2023-2 D.a.+a十.+a2 o2z 则loga.+loga十loga+...+logao23的 5 9. 已知{a)为等比数列,aaa:=aa。,aoa。 值为 ( ) -8,则- B.2023 A.2023 13-0,则{d.)为“追梦 3 ## 10.若数列a.)满足 □□ C.2023 D.1022 5.我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时 一2,则数列的通项公式b三 期就出现了类似干延码的用来测量物体质 11.黄金比又称黄金律,是指事物各部分间一 量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位; 定的数学比例关系,即将整体一分为二,较 铢)从小到大构成项数为9的数列a.,该 大部分与较小部分之比等于整体与较大部 数列的前3项成等差数列,后7项成等比数 分之比,其比值约为1:0.618,其中,较大 部分与整体之比的比值称为黄金分割数, 列,且a.-1,a-12,a。-192,则数列a 黄金分割数被公认为最具有审美意义的比 的所有项的和为 ( ) 例数字,若数列a是以黄金分割数为公 A.384 B.378 比的等比数列,且a。o2.十ao25=2023,则 C.372 D.244 a2023 ·27· 峡乐期 12.已知在等比数列(a.)中,a2=,aa 14. 已知(a。)为等差数列,。= a.-6(n为奇数), 记S。,T。分别为数列 2187* (2a.(n为偶数). (1)求数列a的通项公式 l$,b.的前n项和,S =32,T=16 (2)设b一na。,求数列。的前n项和T。 (1)求a.的通项公式; (2)求证:当n>5时,T.>S.. 13.已知在等比数列a。的前n项和为S。,a 高考 冲浪 (1)求数列a.的通项公式; 1.(2024·上海卷,12)等比数列a.的首项 a 0,公比q1,记I.={x-yx,y[a a]U[a。,a]),若对任意正整数n,I.是 的最大值. 闭区间,则c的取值范围是 2.(2024·全国甲卷(文),17)已知等比数列 (a的前n项和为S,且2S.=3a,-3. (1)求a的通项公式 (2)求数列S的前n项和 .28.