假期作业九 等差数列及其前n项和-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业

三0022 假期作业九等差数列及其前项和 《思维整合室 (4)数列Sm,S2m一Sm,Sm一 S2m,…也是等差 知识梳理 数列 (5)S2m-1=(2n-1)a. 1.数列的概念 (1)数列：按照一定 排列的一列数称 自测自查 为数列。 1.(1)顺序 (2)每一个数2.序号n (2)项：数列中的 叫做这个数列的项。 3.2 同一个常数公差 2.数列的通项公式 4.(1)a1+(n-1)dam+(n-m)d 如果数列{an}的第n项a。与 之间 (2)nanDd 2 的关系可以用一个式子来表示，那么这个公 式叫做这个数列的通项公式。 5.(1)a+b 2 (2)am+an=a。+a。(3)d 3.等差数列的定义 要点记忆 如果一个数列从第 项起，每一项与 等差数列的解题技巧 它的前一项的差等于 ,那么这个数 (1)首项a1和公差d是解决等差数列问题的 列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列 两个基本量，等差数列的问题一般可以转 的 ,公差通常用字母d表示。 化为首项a1和公差d的关系问题. 4.等差数列的通项公式与前n项和公式 (2)利用等差中项公式可简化解题的过程. (1)若等差数列{a.}的首项是a1,公差是d,则 (3)在等差数列中，灵活运用等差数列的性质 其通项公式为an= 可简化计算. 若等差数列(an}的第m项为am,则其第n (4)等差数列的通项公式及前n项和公式，共 项a,可以表示为an= 涉及五个量a1,am,d,n,Sn,知其中三个就 (2)等差数列的前n项和公式 能求另外两个，体现了方程的思想。 S=m(aita.) (其中n∈N°， 2 《技能捉升台 a1为首项，d为公差，a,为第n项) 技能提升 5.等差数列及前n项和的性质 1.已知数列1,3,5,7，…2n-1,则35是 (1)若a,A,b成等差数列，则A叫做a,b的等 它的 ( 差中项，且A= A.第22项 B.第23项 (2)若{an}为等差数列，当m十n=p十q, C.第24项 D.第28项 (m,n,p,q∈N°). 2.等差数列{a.}的前n项和为Sn,若a=7, (3)若{an是等差数列，公差为d,则as,a+m ao=2,则S14= ( a+2m,…(k,m∈N)是公差为 的 A.49 B.63 等差数列 C.70 D.126 ·23· 火壑快乐限期 c900= 3.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S223= A.数列{an}为等差数列 2023,且a3十a2021=m,则m= ) B.数列{an}为递减数列 A.1 B.2 S224_2027 C.2023 D.2024 C.2024 2 2a0a,< 9 D.若6.=(0)·a,则数列{6.}有最大项 4.数列{an满足an+1 2a-1.(g,<1. 9.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1= 2,a2十a6=2,则S1o= 6 若a=号，则a,等于 10.中国古代建筑中包含 许多与9相关的设 A. R男 计.例如，北京天坛圜 丘坛的地面由扇环形的石板铺成，如图，最 c n 高层的中心是一块天心石，围绕它的第一 5.在等差数列{an}中，已知a1=2,d=3,S+3 圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一 一Sn=60,则n的值为 圈多9块，共9圈，则第7圈的石板数为 A.3 B.4 ,前9圈的石板总数为 C.5 D.6 11.已知等差数列{an}的首项为a1,前n项和 6.数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高 阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见 为5者器器-1，且S≥8则 的高阶等差数列，如数列2,4,7,11,16，从 a1的取值范围为 第二项起，每一项与前一项的差组成新数列 12.已知{an}是等差数列，其中a2=22,a。=10. 2,3,4,5,新数列2,3,4,5为等差数列，则称 (1)求{an}的通项公式： 数列2,4,7,11,16为二阶等差数列.现有二 (2)求a2十a1十a6十…十a2o的值. 阶等差数列{a},其中前几项分别为2,5,9， 14,20,27,记该数列的后一项与前一项之差 组成新数列{bn},则b。 A.5 B.6 C.7 D.8 7.(多选)下面是关于公差d>0的等差数列 {a}的四个命题，其中正确的是 () A.数列{a,}是递增数列 B.数列{nan}是递增数列 C.数列)是递增数列 n D.数列{a.十3nd}是递增数列 8.（多选)对于正项数列{an},定义Gn= a十2a,十4a,十+2a为数列(an}的 “匀称值”.已知数列{an}的“匀称值”为G =2”,前n项和为Sn,则下列关于数列{an》 的描述正确的是 ) ·24· 三0022 富二数学) l3.若数列{an}满足a+m=am十d(mN, 14.设等差数列{an}的公差为d,且d>1.令b d是不等于0的常数)对任意n∈N·恒成 =n+”,记S,T分别为数列{a,,b.》 立，则称{an}是周期为、周期公差为d的 an “类周期等差数列”.已知在数列{an}中， 的前n项和. (1)若3a2=3a1十a1,S3十T3=21,求{am》 a=1,an+am+1=4n+1(n∈N）. 的通项公式： (1)求证：{an}是周期为2的“类周期等差 数列”，并求a2,a2o2z的值； (2)若{bn}为等差数列，且S一T9=99, 求d. (2)若数列{b.}满足bn=a+1一a.(n∈N), 求{bn}的前n项和T. 高老冲浪 1.(2024·全国甲卷（文），5)等差数列{a}的 前n项和为Sn,若S,=1,则ag十a,= ( A.-2 C.1 n号 2.(2024·新课标Ⅱ卷，12)设S,为等差数列 {an}的前n项和，若a3十a1=7,3a2十a5=5, 则S1o= ·25·快乐假期 c900= 假期作业九等差数列及其前项和 10.解析：由题可知从第1圈到第9圈的石板数形成等差数 技能提升台技能提升 列{an},且首项a1=9,公差d=9, 1.B 则第7图的石板数为47=9十6×9=63，前9圆的石板 2.B[设(an}的公差为d,由a6=7,a1o=2,得 a1十d=7解得0=11，所以S4=14a十14X13 总数为8=9X9+9×9=05,故答案为63,405。 la1+9d=2, 答案：63405 1d=-1, 2 14×11-7×13=63.] 1l.解析：设等差数列{an}的公差为d, 3.B[图为Ss-2023a,+a2m=2023. 2 S=a+02D. 所以a1+a228=2, 又a3十a2021=a1十a2023=m,所以m=2.故进B.] “到侣}是以-a1为首项，号为公是的等差款列， (n a=2a,-1=号ag=2a-1=号∈[0,2） 5 ÷器-==1，解得4=2： 20232022-2 a,=2a=号同理a=号 5 Sm≥5/as=a+4d=a1+8<0. 1a6=a1+5d=a1+10>0, 3 5 解得-10≤a1≤-8， 即a1的取值范围为[一10，一8]. 5.C[由题意得am=a1十(n-1)d=2+(n-1)×3=3n 答案：[-10，-8] 1,Sm+8-Sm=aw+1十am+2+am+3=60,即3(n+1)-1十3 12.解：(1)设等差数列{an}的公差为d.因为ag=a2十4d,所 (n十2)一1+3(n十3)一1=60，解得n=5.] 以10=22+4d,得d=-3,所以a1=a2-d=25,所以am 6.D[根据题意知，数列2,5,9,14,20,27，…，满足bm-1 =28-3n. am一am-1=n十1(n≥2)，所以bs=a7-a6=8.] 7.AD[设an=a十(n-1)d=dn+(a1-d),因为d>0, (2)因为{an}是等差数列，所以a2,a4,a6…,a2如也是等 所以数列{am}是递增数列，A为真命题. 差数列，公差为2d,所以a2,a4,…,a20是首项为a2=22, 同理am十3nd-4dn十(a1一d)是递增数列，D为真命题. 公差为-6的等差数列，共有10项，则a2+a4十a6十 若{am}的首项a1=一3，d=1,则aw=n一4， +a0=10×22+9X10×(-6)=-50. 2 此时am=n2一4n不单调，则B为假命题. 13.(1)证明方法一：由aw十am+1=4n十1，a+1十am+2 若等差教列{@n}满足am=,则=1为常数，C错.因此 =4(n+1)十1，相减得am+2一an=4(n∈N·), A,D正确：B,C错误.] 所以{an}是周期为2、周期公差为4的“类周期等 &.ACD[南已知可得G.=a十2ae++2'a=20 差数列”， 由a1十a2=5,a1=1,得a2=4, 所以a1十2a2十…十2m-1an=n·2",d 所以a202=a2+(2022-2)×2=4+4040=4044. 所以n≥2时，a1十2a2十…+2"-2am- 证明方法二：由am十am+1=4n+1,am+1十an+2=4(n十 =(n-1)·21,② 1)+1,相减得am+2-an=4(n∈N), 得n≥2时，2-1an=n·2m-(n-1)·2"-1 所以{am}是周期为2、周期公差为4的“类周期等差 数列”， =(n十1)·2m-1, 即n≥2时，an=n十1， 从而{am}的奇数项和偶数项分别是公差为4的等差 当n=1时，由①知a1=2,满足am=n十1. 数列， 所以数列{am}是首项为2、公差为1的等差数列，故A 所以an= (2n-1(n为奇数)， 正确， 2n(n为偶数). 显然该等差数列是递增数列，故B不正确， 所以a2o22=2022×2=4044. 所以S。-nn3》,所以3=n十3. (2)解：由bn=am+1一ambw+1=ag+2一an+1· 2 2 得bn+1十bn=aw+2一an=4, 字22，故C玉填 当n为偶数时.T.=(h1十b2)十(b3十b)十…十(bn-1十b) 2 =4×2=2m: ·(n+1),假设是最大项， 当n为奇数时，Tm=b1十(b2十b3)+(b十bs)十…+ 则有 1b-1≤be &。-1+6,)=3+4×”号-2+1. 品) k十1 ·(k+1)≥ ·(k+2) 接上所建：工一侣a资就 →8≤k≤9. 14.解：(1)因为3a2=3a1十a3,故3d=aa=a1+2d,即a1= ·k 因此数列{bn}有最大项，故D正确，故选ACD.] d,故a=nd,所以bn=n=,S。=”n十1）d,T nd 2 9.解析：由a2+a6=2,可得a1+d+a1+5d=2,因为a1= 一2，可求出d=1,由数列的前n项和公式得S0=-2X =站”.又周为S+=21,即3+=21 2d 2d 10+10×(10-1D×1=-20+45=25. 2 即22-7d+3=0,故d=3或d=合（会）.故(a,的通 答案：25 项公式为am=3n. ·48· 三022 高二数学 2十n （2)号知6，=a1十na 所以6-品aa62 6 ·,当9≠1时，受·不是常 因为{bn}是等差数列，所以2b2=b1十b3, 所以12 =12 +2 数，此时数列 工)不是等比数列，则甲不是乙的充分条 a+d a+2d ar 整理得(a1-2l)(a1一d)=0.所以a1=2d或a1=d. T 件：若为等比数列，令首项为，公比为，则 2 当a1=d时，an=nd,a1=d>1. 于是么="8=.n=。 p-1,T.=2h1·(2p)-1,于是当n≥2时a.=T,广 2 2d 2h1·(2p)m-1 而Sw-Tn=9,所以50d-}-1 2b,·(2p)0=2p,而a1=T1=2h1,当61≠p时，an不 解释d=韶或d=-1合去 是等比数列，即甲不是乙的必要条件，所以甲是乙的既不 充分也不必要条件.] 当a1=2d时a,=(n+1)d,,=n2+=n2+n 7.ABD[对于A,因为等比数列中的各项都不为0，所以A n+10a1: 不正确：对于B,因为等比数列的公比不为0，所以B不正 故5=nn3d.T,=m0D,又5g-T=99. 确：对于C,若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0， 2 2d 根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确： 即99×102d_9×100=99,即5142-d-50=0, 对于D,只有当a,b,c都不为0时，a,b,c才成等比数列， 2 2d 所以D不正确，故选ABD.] 所以d= 贸会)或d=1含)：降上可知d品 8.AD[因为a1=1,则a1十a2=2,u2=1.又a2十ag=4,a3 =3,同理as十a4=23,a1=5,故A正确： 高考冲浪 1.D[由S,=a1n+nm,14得5。=9a1+36d=1,a 而2=1，=3，故an不是等比数列，B错误： 2 a1+a2十…十a2o21 +4d=号a+a,=2ag=2a4+4d)=号.J =a1+(a2十a3)+(a4十a5)+…+(a2o20十agog1) 2.解析：设an=a1十(n-1)d.则由条件得2a1+5d=7,4a =1+2+24+…+2020=1+41-41010)-=4101-1 1-4 十7d=5,解得a1=-4,d=3, 3 则S10=5(2a1+9d)=95. _22-1,C错误： 3 答案：95 a1+a2+…+a2o22 假期作业十等比数列及其前项和 =(a1+ag)+(a3十a4)+…+(a2o21+a2022) 技能提升台技能提升 =21+23+…+22021=21-4111)_2×41011-2 1.A[由慝得化，e1=名9=2，= 1-4 3 lag=8. 1×2 -22-2,故D正确.] 3 =32. 9.解析：设{an}的公比为q(q≠0)则a2a4a5=a3a6=a24· 2.D a5g,显然an≠0， 3.D[根据题意可知{an}的通项公式为am=3”, 当am=32024时，n=2024,故选D.] 则a4=,即a1g3=q,则a19=1, 4.B[由韦达定理，可得a2·a222=2,由等比数列性质 因为aga10=-8,则a198·a1g2=-8, 则g5=(g)3=-8=(-2)3,则g5=-2, 可得an·a224-m=2,n∈[1,2023]，n∈N”. 设S=log2a1十log2a2+log2a3十…+log2a2023, 则a=a19·g5=1×(-2)=-2. 答案：一2 则2S=log2a1+log2a2023+log2a2+log2a2o22+…十 log2a2 023+logza 10.解析：根据题意，“追梦数列”(a}满足1一3=0(m∈ an+l an 得2S=l0g2(a1·a202%·a2·a2022·…·a2023·a1） =l6g2=2023pS-2023.故选R] N),即a。=3a时则载列{aa是公比为号的等比数 1 5.A[由于数列{an}的后7项构成等比数列，所以ag= 列，若量列{么行为造梦盘到，则有一有× as9,即192=12g,解得g=16.由于{an)为递增数列， 因此g=2,a5=a3q2,得a3=3,又a1=1,且前3项成等差 (侵)了安%+1=学流=学-1故客案为31 数列，所以a2=2,故数列{an}的所有项的和为1十2十 答案：3”一1 31-22)=384. 11.解析：由题意，设整体为1，较大部分为x,则较小部分为 1-2 6.D[设等比数列{an}的公比为q,则am=a1g-1,T。= 即2+红一1=0，解得5(=有1合去)故 黄金分制数为5引 ·49·