假期作业七 双曲线-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业

三0022 高二数学的 假期作业七双曲线 《《思维整合室 自测自查 知识梳理 1.I|MF|-MF2I|焦点IF,F2 1.双曲线的定义 1 2. a=1 x≥a或x≤一a 条件 结论1 结论2 y≤-a或y≥a 坐标轴原点 坐标轴 平面内的动点M与 F1,F2为双曲线 原点(-a,0) (a,0)(0,-a)(0,a) 平面内的两个定点 M点的 的 天 F1,F2 (1,+0∞) 2a 轨迹为 a 为双曲 =2a 双曲线 2b a+b2 线的焦距 2a<|F1F2 2.双曲线的标准方程和几何性质 要点记忆 待定系数法求双曲线标准方程的步骤 利州性质判断悠点的位置 图形 改出双竹线的标准方程■ 标准方程 利用心知构造关于参数的方程组) (a>0,b>0) (a>0,b>0) 范围 解方程（组）得标准方程 对称轴： 对称轴： 对称性 当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两 对称中心： 对称中心： 种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论， 顶点坐标： 顶点坐标： 也可设双曲线方程为mx2一ny=1(n>0), 顶点 A A 直接求得。 性 A2 A2 质 《技能提升台 渐近线 离心率 e= ,e∈ 技能提升 线段AA2叫做双曲线的实轴， 它的长|AA2|= 实、虚轴 1.已知双曲线号-y=1o>0)的离心率是后。 线段B,B,叫做双曲线的虚轴，它 则a= 的长|BB,|= A.6 B.4 a,b,c间 (c>a>0,c>b>0) 的关系 C.2 n ·17· 快乐假期 c900号 2.双曲线x2一义=1的离心率大于2的充分 8.(多选)已知F是双曲线 3a a =1(a>0) 必要条件是 的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线C Am>号 B.m≥1 上一点，则∠POF的大小可能是 A.15 B.25 C.m>1 D.m>2 C.60 D.165 3已知双周线C:号一若=1a>0,b>0)的离 9.设双曲线C的两个焦点为（一2,0），（√2， 心率为5，C的一条渐近线与圆(x一2)2+ 0),一个顶点是(1,0)，则C的方程为 (y一3)2=1交于A,B两点，则|AB= ( 10.已知双曲线y+工=1的渐近线方程为y n25 3x,则m= C36 5 D4 5 Ⅱ.已知双曲线号芳=1。>0,6>0)的左焦 4.渐近线方程为x士y=0的双曲线的离心 率是 ( 点为F,过F且斜率为名的直线交双曲线 号 B.1 于点A(x1y),交双曲线的渐近线于点 B(.x2,y2),且x1<0<x2,若|FB引=3FA|, C.2 D.2 则双曲线的离心率是 5设双自线号芳-1a>0.6>0)的渐近线 12.求适合下列条件的双曲线的标准方程： 与抛物线y=x2十1相切，则该双曲线的离 心率等于 ) a=4,经过点A1, A.3 B.2 (2)焦点在y轴上，且过点(3，一4√2)， C.6 D.5 6已知RR,分别是双曲线子芳 =1(b>0) 的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，且点 P在以F,F2为直径的圆上，若PFI· PF,|=12,O为坐标原点，则tan∠POF2= 3 A. c D. 7.（多选)已知双曲线的方程为5m.x2-my= 5(m∈R,m≠0)，则随m的变化而变化的是 () A.顶点坐标 B.渐近线方程 C.焦距 D.离心率 ·18· 三0022 富二数学的 13.已知双曲线3x-y=3,直线1过右焦点 (2)若6=26 F2,且倾斜角为45°，与双曲线交于A,B两 ,△MA,P为等腰三角形，且 点.问A,B两点是否位于双曲线的同一支 点P在第一象限，求点P的坐标： 上，并求弦AB的长. (3)连接QO(O为坐标原点)并延长交T于 点R,若A,R·A2P=1,求b的取值范围. 14.(2024·上海卷，20)已知双曲线：-芳 =1,(b>0),左、右顶点分别为A1,A2,过 点M(一2,0)的直线交双曲线T于P,Q两 点。 (1)若下的离心率为2，求b; 高老冲浪 1.(2024·全国甲卷（文），6)已知双曲线的两 个焦点分别为(0,4)、(0，一4)，点P(一6,4) 在该双曲线上，则该双曲线C的离心率是 () A.4 B.3 C.2 D.√2 2.(2024·新课标I卷，12)设双曲线C: 方=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F, F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B 两点.若|FA=13,AB|=10,则C的离 心率为 ·19·三0022 富二数学 MN= 1 2 Iy 所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x, 1一y1一 -k(x1+2)-k(9+2) 则圆心(2,3)到渐近线的距离 1 2 I kE2+2x1+2 d=12×2-31-5 x2(x1+2)-x1(x2十2) √22+1 1 1 k x1x2+2(x1+x2)+4 所以孩长1AB=2P-=2厂号-45，故选D] 1 2√/（x1十x2)2-4.x1x2 =2, 4.C k x1x2十2(x1+x2)+4 代入韦达定理式子可得 5.D[由题意可知双曲线的一条渐近线方程为y= ax,与 -(16k2+8k) 4×16k2+16k b 1 1+4k2 1+4k2 =2, 抛物线方程组成方程组 y= ,消去y得，2- k 16k2+16k+2 -16k28k+4 y=x2+1, 1+4k2 1十4k2 化简可得 +1=04-()-4=0，即（） =4,所以e 2√64(2k+k)2-4×16(k2+k)(1+4h2) 1 1+4k2 =2. k 16k2+16k+-32k2-16k+4+16k9 6.A[如图，设|PF1|=m,|PF2 1+4k2 1十42 1十42 =,则m>>0。由双曲线定义 即 冬级+掀+-4极-4级-一- =2,可得 知，m一n=4.又mn=12,故m= 6,1=2.由于点P在以F1F2为 √一k 直径的国上，所以PF1⊥PF2, k -之两边净方则有子-·解得=一4故 k的值为一4. 故an∠PE,=子 高考冲浪 从而tan∠POF2=tan2∠PF1F2 1.A[设P点坐标为(x'y),中点M坐标为(x,y),则x =x,y=2y,代入圆的方程为x2十4y=16,化为标准方 ,子 程为后+号-1>0.] ,ACD[得以商战方程化为标准式可将兰一置 =1.当m 2.解：1)由已知得6=3，将点P(3,受)及6=3代入C得 a2+4X3=1,则a2=12,所以c2-a2-=3, 99 >0时，双曲线y2 15 =1表示焦点在工轴上的双曲线， 所以C的离心率e=￡=5=1 mm a232 且心-品-品2=品北时项点垒标为 (2)由已知得S△w哪=合1PA1·dB-m=号 1 (士日0小浙近线方程为y=士悬范2=源离 9+(3-受)×da-H=9,剥d-A=125 51 32 心单e气1+ 三丙6，当m<0时，双南线 1 kAP-3 一21加y=-2x+3,设过点B且与 m PA平行的直线为：y=一十m, 写1表示格点在y轴上的双曲线，且心一，： 因为d-M=125,所以3二m=125,则m=一3或 1 5 + 5 c2=- 6,此时顶点坐标为 0,± 5 ,渐近线 9(含去)，所以1：y=-x-3 1 方程为y=士5.x,焦距2c= 26 ,离心率e=1十 联立：y=-日-3和C方程后+号-1.得=0 √什号=丽蜂上可得，随m的变化而交化的是顶点 =-3,所以B(0,-3)或B(-3,-受） 坐标、焦距和离心率，] 当B坐标为(0，-3)时，1：y=21一3： &AD双由线新近线方程为y=士。 .双曲线渐近线与x轴夹角为30°或150 当B坐标为(-3，一号)时：y=x 又：F为右焦点，P是双曲钱上一点， 假期作业七双曲线 ∴.0°≤∠POF<30°或150°<∠POF≤180°. ∴∠POF不可能为60°.] 技能提升台技能提升 9.x2-y2=1 1.D2.C 3.D[由e=5,则-2+=1+2 0.解析：双曲线y2十1的渐近线方程为 a2 解得么=2， 后n士故m=-3 渐近线y=一2x与圆无法相交， 答案：-3 ·45· 快乐假期 c900= 1解折：过F且单为品的直线一名（十，晰近线 14.解：因为e2即。=2，所以5=日 :y=b 因为a2=1,所以c2=4. 因为a2十=2，所以=3，所以b=3(负值会去). =bx+e (2)因为△MA2P为等腰三角形， 联立 6 得B(管)由FB=3FA, r, ①若M2为底，则点P在直线x=一名，与P在第一象 限矛盾，故舍去 得A(-晋盒） ②若A2P为底，则MP=MA2,与MP>MA2矛盾， 81a81we-1,得二-s1. 点A在双曲线上，于是25Ce2 故舍去. a224' ③若MP为底，则MA2=PA2: 设P(x0)xm>0,0>0. 所以离心率e=3⑤ 4 则/(x0-1)2+(%-0)=3,即(x0-1)2+y%2=9,又 答案3 因为--1， 8 12解：①芳所求的双南线方程为导一芳-=10>0，>0. 得0-1D2+u6-1D×号-9，得11w2-6w-32=0 用特。一4代入用后益- 得xn=2,y%=22,即P点坐标为P(2,22). (3)由A1(-1.0),A2(1.0),设P(.x1y1).Q(x2y2),则 又点A,)在双线上. R(--为，设直线1：x=my-2(m>右）： 1-160=1,由此得b<0,不合题意，舍去 有69 1 x=my-2(m>方) 若所求的双曲线方程为兰 联立 得(2m2-1)y2-4my+ a262 =1(a>0,b>0), 同上方法解得2-9， 4b2 心双曲线方程为一号1， y+2=62m2-1 3b2=0,则 362 ②)设所求双面线方程为兰-后-1a>0,6>0. 1·%m2-1 :点(8，-42)（得5）在双南线上. AR=(-2+1,-2).AP=(1-1y),又由A1R·AP =1,得(-x2十1)(c1-1)-12=1. 点的坐标满足方程， 即(x2-1)(x1-1)+3y1y2=-1.即(my2-3)(my1-3) +y1y2=-1, 化简后可得到(m2+1)y1y2一3m(y1十y2)+10=0, 由此得 25一81=1. 所以36(m2+1)-12m2b2+10(b2m2-1)=0,化简 a2166 m2+362-10=0, 32m-9n=1, 令m一一，则方程组化为 1 所以6= 810=1 25m一16 m=16 又所以 10 1062 1十3 36十得≠3，所以 解此方程组得 1 n=9 ∈03U3,号]又>0，故么的取值范国是(0同U 2=16,2=9,故所求双曲线方程为- 169=1. 13.解：a=1,b=3,c=2, 高考冲浪 :克线1过点F2,且倾斜角为45°， 1.C[设F1(0.-4),F2(0,4)、P(-6,4). ∴.直线l的方程为y=x一2， 则F1F21=2c=8,1PF1=√62+(4+4)2=10.PF21= 代入双曲线方程，得2.x2十4x一7=0. √62+(4-4)2=6， 设A(x1y1),B(x2y2), “·a=-<0 则a=1PF1-1PR1=10-6=4,则e=无=是 =2.] A,B两点分别位于双曲线的左，右两支上 2.解析：由题知：lAF2|=5,|AF1|=13,|F1F2|=2c “+=-2=名 √/132-52=12，解得c=6,AF-AF2=2a=8,解得 ∴.|AB=√1+12|x1-x2 a=4,所以e=￡=3 a2· =E×√国+n-tn西=2×√-2-(-2）=6 答案： ·46·