假期作业六 椭圆-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业

三022 富二数学的， 402+y2=号与国2+（g-)2=8有公共点，则22 方法二：向梦 <-0+0-a<2反+3，解得-≤a 消去二次项得x十y一2=0，即为公共弦所在直线的方程。 2 2 (2)由两圆方程可得圆心连线为y=x,由圆的性质所求 <国，故C错误：帝的几何套又为国M上的点 圆的圆心在y=x上， 由y=x 与定点P(一1,0)连线的斜率，当过P(一1,0)的直线与圆 {+2y-3=0,得x=y=1,故所求国的国心C(1,), 半径r=AC1=√(-1-1)2+(3-1)2=22， M相切，且直线的斜率为正时，十取得最大值.设过点 ∴.所求圆的方程为(x-1)2+(y一1)2=8. P(一1,0)与圆M相切的直线方程为y=k(x十1)，即kx 14.解：(1)圆C1的方程可化为(x -y=0,由禁-解释=士3 -2)2+(y-3)2=4, 则国心C1(2,3),半径为2， √2+I 2 由(3-2)2十(5一3)2>4，可知 的最大值是3国，故D正确，] 点P在圆C1的外部，作出圆C 41 及过点P的切线如图所示， 9.22 由图可知，过点P的切线1的斜 10.解析：由图可得，两图外 率存在，设1的方程为y一5= 2白10十2才4主 切，且均与直线l1:x=一1 k(x-3),即k.x-y+5-3k=0, 相切.另过两圆圓心的直 则国心C到直线1的距离为2k-3+5-3张=2，解得 43 /1+k 线1的方程为y=青，可 得L与1交点为 k=0或k=一言，所以直线1的方程为4r十3y一27=0 或y=5. P(1,-)由切线定 7-2 (2由士y4x-6y+9=0, 理得，两圆另一公切线妇 x2+y2+2.x-4y-4=0. 两式相减得直线AB的方程为6.x十2y-13=0, 这点P,设：十号-（十，由点到直线距离公式可 则国心C到直线AB的距离d=12+6-13=10 √40 4 得 2+1 1,解得=名即y=司一费另由于 7 所以1AB=2V4-严-36 2 两圆外切，因此在公切点处存在公切线妇与1垂直，解 高考冲浪 1.B[由题可知，圆的方程可化为(x一2)2十 y2=5,故心B(2,0),A(0,-2),如图，设 答案-1.成y引一票或y-是+（答对 切，点为M,N,AB|=2√2，|BM=5, 其中之一即可) 故AM1=3,sin∠MBA=AM IABI 山.解折：因为=“23，所以AB关于直线y=4的时称 00sMBAn asin(-g) 直线为(3-a)x-2y+2a=0,所以3(a-3)+4±2a≤1，整 =sin∠NBM=sin2∠MBA √4+(3-a)7 理可得12a2-2a十6<0，每释号<a≤号 2×得×得年故连] 2.解析：由x一my十1=0恒过定点（一1,0）， 答案：[ 又C1.0.5am=2×2X1g=g 12.(1)证明：因为直线：m.x-y十1=0恒过定点N(0,1), 且点V(0,1)在圆C:x2+(y-2)2=5的内部， 所以g=号代入周的方程得xB=昌 所以直线1与围C总有两个不同的交点. (2)解：由题知C(0,2),设动点M(x,y), 或所以B得)得） 当x=0时，M(0,1): 当x≠0时，由垂径定理，知INLMC, B(-吉·誉)成B(吉一吕)代入直线方程解得 所以二2.1=一1， m=士2或m=士2（任写一个即可） 垫理得十（一受）广又0D活尾花方程 答案：士2或士2（任写一个即可） 假期作业六椭圆 所以孩AB的中点M的轨选方程是2+(-受)=子 技能提升台技能提升 1.B2.A3.B 13.解：(1)方法一： 由2+y2-10, 4.B[设∠FPF2=20,0<0<交 {x2+y2+2x+2y-14=0, 释3 所以S△r,5=bPan∠PPE-ana. 2 “{y=-1. 故两国的交，点为A(一1,3)，B(3,一1)， 由cos∠F1PF2=cos20=cos0-sin20_1-an2g3 cos20+sin2 0 1+tan20 5' 由直线方程的两点式可得公共弦所在的直线方程为 x+y-2=0. 解得am0=之 ·43· 化曼快乐假研 c900= 由椭圆方程可知，a2=9,b2=6,c2=a2-b2=3, 又：1MN1=23,即1MN1=√m2+(√2m)2=25,即 所以，Sar,R号×FFXp=号×2，Xn m+2m=12,m=2,所以直线1的方程为y=- 2x+2. =6X1 ,解得：=3， 即x+2y-2√2=0. 中=9×-号）号，周此OP=辱+环 答案：x十√2y一2√2=0 +号-选取] n.5号 5 m2‘得m=2:由 -m= 2解：设所求稀圆的标准方程为5+卡1（口>>0 2·得 设焦点F1(-c,0),F(c,0 m≥>1， 0n1, F1A⊥F2A,∴.F1A·F2A=0, m子所以”州=2”是“箭圆C的高心率为号的克分不 1 而F1A=(-4+c,3),F2A=(-4-c,3), 必要条件.门 ∴.(-4+c)·(-4-c)+32=0, 6.D[设m=PF|,n=|PF21,∠F1PF2=0,由题意得 ∴2=25，即c=5.∴.F1(-5,0),F2(5,0). .2a=AF+AF2 nncos0=9.易知a=5,b=4,c=√a2-b=3,则|F1F2 =2c=6,m十n=2a=10,由余弦定理可得cos0 =√(-4+5)2+32+√/(-4-5)2+32 m2+n2-F1F22 =/10+/90=410. -,所以(m+n)2-2mn-36=2 nncos0 21n .a=210, =18,即100-2mm-36=18,解得mn=23,即PF1|· .b2=a2-e2=(210)2-52=15. 1PF21=23.] m[P,则导+爱=1可P(,经 所家情国的标滚方程为后+后-1 13.解：(1)由椭国的定义得2a=|PF1|+|PF2|=4, ∴.a=2. S△aB=2ab 在△PF,F2中，由余弦定理可得 1 FF2=PF2+PF212-2PFPF2cos 120, a :△OAB的面积是△OPF面积的号倍， =15c=雪b2-a-2=4-号- 44 6=音×g2=k 故精圈C的方程为十2=1 (2)设点P(m+n),由题意可知m>0. :Sam,g=号PF1PF:in120=号×2+× 2-0×9-名×2x×1a-± 10 .e= 将点P的丝标代入精园C的方程可得气+号-1，解得 &AB[:搭国C的方程为号+苦-10-26-厅c m45,故点P的坐标为色5. 5 5 、5 10 (5 1,由椭圆的定义可知PF1十|PF2|=2a=4,故A正确： b=1, ,a=2, 离心率t=名=合，故B正痛：△PF,的面款S6E 14.解：(1)依题意可知：{2c=23.解得b=1, (a2=b2+c2, (c=3, =号F,rl·p=lp,两0≤yn<原△PFF 戴精圆E的方程为号+y2=1. 面积最大值为，故C错误： F1(-1,0),F2(1,0),F1F2=2,∴.以线段F1F2为直 (2)由题可设直线方程为：y-1=k(x十2)，B(x1y1), C(x2y2), 径的国的方程为x2+y2=1,其圆心为(0,0)，半径为1，又 /y1=k(x+2). 直线方程为x十y一2=0，.园心到直线的距离d= 联立直线和精国E方程行+少一1， 可得(1十42).x -2L=2>1· √1+I +(16k2+8k).x+16k2+16k=0,由△>0可得(16k2+8k)2 ∴以线段FF2为直径的周与直线x十y一2=0相离，故 4×(1+4h2)(16k2+16k)>0, D错误.] 解得k<0, 0.f+2-1 根据韦达定理可得x1十x2= -(16k2+8k) 1+4k2 1O.解析：取AB的中点为E,因为MA=|NB|,所以 TiTy= 6k2+16k IME=NE1,设A(y),B(x22),可得士型× r1十x2 1十4k2 器吉脚E·加=一专设直线AB:y=红 直线AB的斜率为kB=一1，AB的直线方程为： 十m0,m>0令x=0y=m,令y=0,x=-是，所 y=当1 x十1，令y=0,可得点M的横坐标 以E(器）所以x-==一 M-1-y1' 2k 同理可得点N的横坐标xN一1一y2 x2.则有 ·44· 三0022 富二数学 MN= 1 2 Iy 所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x, 1一y1一 -k(x1+2)-k(9+2) 则圆心(2,3)到渐近线的距离 1 2 I kE2+2x1+2 d=12×2-31-5 x2(x1+2)-x1(x2十2) √22+1 1 1 k x1x2+2(x1+x2)+4 所以孩长1AB=2P-=2厂号-45，故选D] 1 2√/（x1十x2)2-4.x1x2 =2, 4.C k x1x2十2(x1+x2)+4 代入韦达定理式子可得 5.D[由题意可知双曲线的一条渐近线方程为y= ax,与 -(16k2+8k) 4×16k2+16k b 1 1+4k2 1+4k2 =2, 抛物线方程组成方程组 y= ,消去y得，2- k 16k2+16k+2 -16k28k+4 y=x2+1, 1+4k2 1十4k2 化简可得 +1=04-()-4=0，即（） =4,所以e 2√64(2k+k)2-4×16(k2+k)(1+4h2) 1 1+4k2 =2. k 16k2+16k+-32k2-16k+4+16k9 6.A[如图，设|PF1|=m,|PF2 1+4k2 1十42 1十42 =,则m>>0。由双曲线定义 即 冬级+掀+-4极-4级-一- =2,可得 知，m一n=4.又mn=12,故m= 6,1=2.由于点P在以F1F2为 √一k 直径的国上，所以PF1⊥PF2, k -之两边净方则有子-·解得=一4故 k的值为一4. 故an∠PE,=子 高考冲浪 从而tan∠POF2=tan2∠PF1F2 1.A[设P点坐标为(x'y),中点M坐标为(x,y),则x =x,y=2y,代入圆的方程为x2十4y=16,化为标准方 ,子 程为后+号-1>0.] ,ACD[得以商战方程化为标准式可将兰一置 =1.当m 2.解：1)由已知得6=3，将点P(3,受)及6=3代入C得 a2+4X3=1,则a2=12,所以c2-a2-=3, 99 >0时，双曲线y2 15 =1表示焦点在工轴上的双曲线， 所以C的离心率e=￡=5=1 mm a232 且心-品-品2=品北时项点垒标为 (2)由已知得S△w哪=合1PA1·dB-m=号 1 (士日0小浙近线方程为y=士悬范2=源离 9+(3-受)×da-H=9,剥d-A=125 51 32 心单e气1+ 三丙6，当m<0时，双南线 1 kAP-3 一21加y=-2x+3,设过点B且与 m PA平行的直线为：y=一十m, 写1表示格点在y轴上的双曲线，且心一，： 因为d-M=125,所以3二m=125,则m=一3或 1 5 + 5 c2=- 6,此时顶点坐标为 0,± 5 ,渐近线 9(含去)，所以1：y=-x-3 1 方程为y=士5.x,焦距2c= 26 ,离心率e=1十 联立：y=-日-3和C方程后+号-1.得=0 √什号=丽蜂上可得，随m的变化而交化的是顶点 =-3,所以B(0,-3)或B(-3,-受） 坐标、焦距和离心率，] 当B坐标为(0，-3)时，1：y=21一3： &AD双由线新近线方程为y=士。 .双曲线渐近线与x轴夹角为30°或150 当B坐标为(-3，一号)时：y=x 又：F为右焦点，P是双曲钱上一点， 假期作业七双曲线 ∴.0°≤∠POF<30°或150°<∠POF≤180°. ∴∠POF不可能为60°.] 技能提升台技能提升 9.x2-y2=1 1.D2.C 3.D[由e=5,则-2+=1+2 0.解析：双曲线y2十1的渐近线方程为 a2 解得么=2， 后n士故m=-3 渐近线y=一2x与圆无法相交， 答案：-3 ·45·快乐假期 c900号 驽马十驾，功在不舍。 假期作业六椭圆 完成日期： 月 〈《思维整合室 自测自查 知识梳理 1.F1,F2 FF 1.椭圆的定义 22 61 +茶- -a a-b b 条件 结论1 结论2 -b b-a a 坐标轴 原点(-a,0) 平面内的动点M与平 为 (a,0) (0.-b)(0,b)(0,-a)(0,a) 面内的两个定点F,F M点的 椭圆的焦点 (-b,0)(b,0) (0,1)b2+c2 轨迹为 MF+MF,|=2a 为 要点记忆 椭圆 2a>|F,F2 椭圆的焦距 求椭圆的标准方程的两种方法 (1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2,b的 2.椭圆的标准方程和几何性质 值，结合焦点位置可写出椭圆方程， (2)待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭 图形 圆的标准方程，结合已知条件求出a,b;若 焦点位置不明确，则需分焦点在x轴和y 标准方程 (a>b>0)】 (a>b>0) 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B). ≤x≤ ≤x 【《技能提升台 范围 ≤y≤ y 技能提升 对称轴： 1.设点P是桃圆后+号-1。>2)上的一点， 对称性 对称中心： F,F2是椭圆的两个焦点，若|FF2|= 性 AL A 43,则|PFI+|PF2|= () 质 A2 A2 A.4 B.8 顶点 B1 B1 C.42 D.4√7 B2 B2 长轴A1A2的长为2a 2椭圆+1(@>6>0)上任意一点到两 轴 短轴B1B2的长为2b 焦点的距离分别为d,d2,焦距为2c,若d1,2c, 焦距 FF2|=2c 山2成等差数列，则椭圆的离心率为() 离心率 e=c∈ a A号 R号 a,b,c a2= 的关系 c号 ·14· 三0022 3.已知椭圆C的焦点为F(一1,0)，F,(1,0),过 8(多选)设椭圆C,着+ F2的直线与C交于A,B两点.若|AF|= 3 =1的左、右焦点 2FB,AB=|BF,则C的方程为( 分别为F,,F,P是椭圆C上的动点，则下 列说法正确的是 ( A.+y= A.PF+PF2=4 c+苦 n号+苦I B.椭圆C的离心率e=2 4已知椭圆号+若-1，R,F,为两个焦点，0 C.△PF,F,面积的最大值为23 6 D.以线段F,F2为直径的圆与直线x十y一 为原点，P为椭圆上一点，cos∠F,PF2= 2=0相切 号则1P01 9.若椭圆的焦点在y轴上，长轴的长为4，离 A号 B.30 心常。一，则其标准方程为 2 c 要 10.已知直线1与椭圆后+号=1在第一象限 交于A,B两点，l与x轴、y轴分别交于 5.已知椭圆C,+y=1(m>0),则“m=2” M,N两点，且IMA|=|NB,|MN|= 是“椭圆C的离心率为受~的 23,则（的方程为 A.充分不必要条件 1.已知猫圆号+若-1(。>6>0，套点 B.必要不充分条件 F1(一c,0),F2(c,0),c>0,若过F1的直 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 线和圆(x一2)+y=相切，与椭圆的第 6设椭圆写+ =1的左、右焦点分别为F、 象限交于点P,且PF2⊥x轴，则该直线的 斜率是 ,椭圆的离心率是 F2,点P在椭圆上，且满足PF,·PF2=9, 12.已知椭圆的中心在原点，两焦点F1,F2在 则PF·PF的值是 () x轴上，且过点A(-4,3).若F1A⊥F2A, A.14 B.17 C.20 D.23 求椭圆的标准方程。 7.（多选)如图，F为椭圆 吾+若=1a>6>0) 的右焦点，过F作x轴 的垂线交椭圆于点P, 点A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点，O 为坐标原点，若△OAB的面积是△OPF面 积的倍，则该椭圆的离心率是 /15 A. 5 B.25 5 D. ·15· 快乐假期 c900= 3.已知椭圆C +2=1(a>b>0)的左、右 高考冲浪 1.(2024·新课标Ⅱ卷，5)已知曲线C:x2+y 焦点分别为F,F2,点P为椭圆C上一点， =16(y>0),从C上任意一点P向x轴作 ∠F1PF2=120°，|PF|=2+3,|PF2|= 垂线段PP',P'为垂足，则线段PP的中点 2-3. M的轨迹方程为 (1)求椭圆C的方程； (2)求点P的坐标. A6+誉-1>0)B后+誉-1>0) C6+-1w>0)D.若+若-1g>o) 2.(2024·新课标I卷，16)已知A(0,3)和P 3)为播圆6号+若-1。>6>0)上 两点 (1)求C的离心率； (2)若过P的直线l交C于另一点B,且 △ABP的面积为9，求l的方程， 4已知椭圆E针长1(a>b>0)的一个项 点为A(0,1),焦距为23. (1)求椭圆E的方程； (2)过点P(一2,1)作斜率为k的直线与椭 圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC 分别与x轴交于点M,N.当MN|=2时， 求k的值： ·16·