假期作业四 圆的方程-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业

三022 7.AC 高考冲浪 8.AB 1.B[由直线y=k(x+1)过定点（一1,0），要使距离最大， 90x10.号+￥=1 则当y=k(x+1)与(0,1)和（一1,0）的连线垂直时可得最 大距离为(0,1)和（一1,0）两点之间的距离d= 11.10-12-2 √(0+1)2+(1-0)2=√2，故选B.] 12.解：(1)由41⊥l2,得2(a+2)-(a-1)(2a+1)-0,即 2.解析：因为圆心(0,0)到直线x一3y十8=0的距离d= 2a2-3a-5=0,所以(2a-5)(4+1)=0.解得a=-1 8 =4,由弦长公式1=2√2-产可得6 √1+3 22-4,解得r=5. (2)由l1∥12，得2(2a+1)=-(a-1)(a+2),即a2+5a =0,解得a=0或a=-5.当a=0时，l1:2x十y-2=0, 答案：5 4:2x+y十3=0，则4,2之间的距离为3-（-2则 假期作业四圆的方程 √22+1 技能提升台技能提升 1.C2.C3.B =√5： 4.A[设圆的一般方程为x2+y2十Dx十Ey十F=0(D+ 当a=一5时，1：x十3y-1=0,l2:x+3y-1=0,此时两 E2-4F>0),过坐标原，点，则F=0,即x2+y2+Dx十 直线重合，含去， Ey=0,令x=0,则y2十Ey=0,∴y=-E=3,.E=-3. 综上，若1∥12，则1，l2之间的距离为5. 令y=0,则x2十Dx=0,∴x=一D=2,.D=一2.∴.所求 13.解：设P(x,y)关于直线l:3x一y十3=0的对称点 圆的方程为：x2+y2-2x-3y=0.] 为P'(x'y). 5.B[设所求圆的方程为x2+y2-2x十4y十m=0,由该圆 mk=-1会3=-1.0 过点(1，一1)，得m=4,所以所求圆的方程为x2十y2一2z +4y+4=0.] 又PP的中点在直线3x-y十3=0上， 6.C[如图所示，当直线AO与国相切时， 3×y+3=0.② A为切点，此时∠AOC最大，连接CA, 2 2 易得AC⊥AO.由x2+y2-4x+2=0→ x=-4r+3y-9,③ 5 (x-2)2+y2=2,即C(2,0),AC=2, 联立①②，解得 y-3x+4y+3 ① 所以sin∠A0C-号释∠A0C-=系] 5 (1)把x=4,y=5代入③④，得x'=-2,y=7, 7.AD[因为(0,0)在(x-m)2+(y十m)2=4的内部，则有 ∴.P(4,5)关于直线1的对称点P的坐标为(-2,7) (0-m)2+(0+m)2<4,解得-√2<m<2.] (2)用③④分别代换x-y一2=0中的x,y,得关于1对 8.ABC[可知直线m.x+2y-4=0过國心(2,1)， 称的直线方程为二4虹+3y-9_3江+4y+3-2=0, 有2m+2n一4=0，即n=2-m, 则mn=m·(2-m)=-m”+2m=-(m-1)2+1≤1.] 即7x+y+22-0. 9.(1,2)10.(x-2)2+(y+1)2=411.√26+2 14.解：(1)当两直线的斜率都不存在时，方程分别为x= 12.解：方法一：设圆的方程为2+y2十Dx十Ey十F=0(D+ 一4，x=0,满足题意： E-4F>0)① 当两直线的斜率都存在时，设方程分别为y=k(x十4)与 将P,Q的坐标分别代入①， y=kx-3.即kx-y+4k=0与k.x-y-3=0, 得1D-2E+F+20=0,@ 由题意得-4，解得长=员所以所求的直线方程 1D-3E-F-10=0,③ √k2+1 令x=0,由①得y2十Ey+F=0,④ 分别为7x-24y+28=0,7x-24y-72=0. 由已知y1一y2|=43,其中y1y2是方程④的两根 综上，所求的直线方程为7.x一24y十28=0,7x一24y ∴.(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y12=E-4F=48,⑤ 72=0或x=-4,x=0. D=-2. /D=-10. (2)由(1)知，当两直线的斜率都存在时，d=L6+3劉 联立②③⑤解得E=0,或E=-8. k2+1 F=-12,F=4. 4P=16k2+24k+9.(d2-16)k2-24k+de-9=0, 故所求方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x k2十1 8y+4=0. k∈R,∴.△≥0，即d-25d2≤0，∴.d2≤25 方法二：由题意得线段PQ的中垂线方程为x一y一1 .0d≤5， =0. ∴dnm=5,此时及=导 ∴所求圆的园心C在直线x一y一1=0上，设其坐标为 (a,a一1).又圈C的半径长r=|CPI= 当两直线的斜率都不存在时，d=4,∴dmx=5, √(a-4)2+(a+1)2.① 此时两直线的方程分别为4r一3y十16=0,4r-3y一9 由已知圆C截y轴所得的线段长为4√3，而圆心C到y =0. 轴的距离为a. ·41· 快乐假期 900号 ,代入①并将两骗平方得a2一6a十5 (3)若圆过A,C,D三点，则线段AC的中垂线方程为y x+1,线段AD的中垂线方程为y=一2x十5，联立得 =0,解得a1=1,a2=5..r1=√/13，r2=37. 4 t= 3 故所求圆的方程为(x一1)2+y2=13或(x-5)2+ /16+49=√65 3 (y-4)2=37. y=3 →rN9T9 13.解：(1)根据题意，直线l1与l2:3r-2y一1=0平行， 则直钱，的斜率为受，又直线山过原点，所以直线山的 所以调的方根为（一音）广+（一哥）-要 (4)若图过B,C,D三点，则线段BD的中垂线方程为 方程为3.x-2y=0. (2)直线l1的方程为3.x-2y=0,直线l2:3.x一2y-1 y=1,线段BC中垂线方程为y=5x-7,联立得 0,所以4与2间的距离为，0+山 =1=/13 x=5→r= √32+(-2)F√1313 y=1 (3)设圆心C(a,b). 由于直线l1:3x-2y=0平分圆C,所以间心在直线1 所以圆的方程为一号)广+(g-1-1 25 上，即3a-2b=0.① 答案：(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5 又ICA=ICBI, 所以有/(a-1)2+(b-3)产=√(a-2)2+(b-2)产.②@ 联立①②，解得a=2,b=3. -169 25 所以CA=√(2-1)2+(3-3)2=1. 所以圆C的方程为(x2)2+(y一3)2=1. 假期作业五 直线、圆的位置关系 14.解：原方程化为(x-2)2+y2=3, 技能提升台技能提升 表示以点C(2,0)为圆心，以3为 1.C2.C3.A 半径的圆」 4.A[:直线x十y十2=0分别交x轴，y轴于A,B两点， (1)设义=k,即y=kx, .A(-2,0),B(0,-2),AB|=22,点P在圆(x 2)2十y2=2上，∴.圆心为(2,0)，设圆心到直线的距离为 由图可知当直线y=kx与圆相切 时，斜率k取最大值和最小值， 4,则d=2+0+2=22.故点P到直线r十y十2=0的 2 Rt△AOC中，tan∠AOC= √22-3 距高d的范周是[E,3,②，剩S△un=1ABd∈[2 =/3. 61.] 故k的最大值为3，由对称性知k的最小值为一√ 5.C[圆C:x2+y2-6.x+8=0,即(x-3)2+y2=1,圆心 为C(3,0),半径r=1,又直线l:x=my十3，令y=0,则 故义的最大值为，最小值为一√③ x=3,即直线1恒过，点C(3,0),即直线恒过圆心.又直线 (2)设y-x=b,即y=x+b, l:x=my+3与圆C:.x2+y2-6x+8=0相交于A,B两 当y=x十b与圆相切时，纵裁距b取得最大值和最小 点，所以CA=-CB,所以OA·OB=(OC+CA)·(OC+ 值，此时2-0+1=5，即6=一2士后. CB)=(0C+CA)(OC-CA)=0C2-CA=32-12 2 =8.1 故y一x的最大值为一2十v6,最小值为一2一6. 6.B[因为四边形APBM为正方形，且MA=MB=1,所 (3)x2十y2表示圆上点与原点距离的平方，由图知x2十 以MP=√2，故动点P的轨迹是以M为园心，W2为半径的 y2的最大值为(0C|+3)2-(2+√3)2=7+45. 圆，其方程为(x十2)2+(y十3)2=2.] 最小值为(1OC1-3)2=(2-3)2=7-43. 7.ABD[圆x2+y2-2x=0的标准方程为(x-1)2+y2=1, 高考冲浪 圆心为(1,0)，半径为1，圆x2十y2十4y=0的标准方程为 1.D[圆x2+y2-2x十6y=0的标准方程为(.x-1)2+(y x2+(y+2)2=4,闻心为(0，-2)，半径为2..圆心距d +3)2=10,国心坐标为(1，一3)，因此圆心到直线，x一y十 =1-0)2+(0+2)2=5<1+2=3,且5>2-1=1， 2=0的距离d=1+3+2到 =3√2.] ∴两圆相交.] √12+(-1)2 8.ABD[由题意，△ABC的“欧拉线”即AB的垂直平分 2.解析：x2+(y-2)2=m十4,2=元=1，由题意m十4=1 线，：A(0,1),B(2,一1)，.AB的中点坐标为(1,0)，k →m=-3. 1一1=-1，则AB的垂直平分线方程为y=x一1.即 2-0 答案：一3 x-y-1=0,故A正确，“欧拉线”与圆M:(x一4)2+ 3.解析：设点A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2),國过其 y2=2相切，且圈心M(4,0)到直线x一y一1=0的距离 中三点共有四种情况，解决办法是两条中垂线的交点为 圆心，圆心到任一点的距离为半径， 为4=r=8明周M的方程为( (1)若圆过A,B,C三点，则圆心在直线x=2,设圆心坐标 √1+1 为(2，a),则4十a2=9十(a-1)2>a=3,r=√4+a2= 402+y2=号，周心M4,0)到直线x-y=0的距离为d √13，所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13. (2)若圆过A,B,D三点，同(1)设国心坐标为(2，)，则 =4-0=22,则圆M上的点到直线工一y=0的最小 1+I 4十a2=4十(a-2)2→a=1,r=√4+a2=5,所以国的方 程为(x-2)2+(y-1)2=5. 距高为d-=2反-8-号故B正确：若调M:x 2 ·42·快乐假期 假期作业四 圆的方程 〈《思维整合室 要点记忆 知识梳理 求圆的方程的两种方法 (1)直接法： 1.设圆的圆心是C(a,b),半径是r,则圆的标 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和 准方程是 :当圆的圆心在 半径，进而写出方程。 坐标原点时，圆的半径为r,则圆的标准方 (2)待定系数法： 程是 ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关， 2.设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r.若 点P在圆外，则d r.若点P在圆 则设圆的标准方程，依据已知条件列出关 上，则d r.若点P在圆内，则 于a,b,r的方程组，从而求出a,b,r的值： d ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则 3.方程x2+y2+Dx十Ey十F=0. 选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 (1)当 时，方程表示一个点， D,E,F的方程组，进而求出D,E,F的值. 该点的坐标为 (2)当 时，方程不表示任何 《技能提升台 图形. 技能提升 (3)当 时，方程表示的曲线 1.点P(m,5)与圆x2+y2=24的位置关系是 为圆，它的圆心坐标为 ,半径等于 () ,上述方程称为圆的一 般式方程 A.在圆内 B.在圆上 4.比较二元二次方程Ax2十Bxy十Cy2十Dx+ C.在圆外 D.不确定 Ey十F=0和圆的一般方程x2+y+Dx十 2.圆C:x2十y2十2x+4y-3=0的圆心坐 Ey十F=0,可以得出如下结论.当二元二次 标是 ( 方程具有以下条件： A.(1,2) B.(2,4) (1)x和y的系数相同，且不等于0，即 C.(-1,-2) D.(-1,-4) (2)没有xy项，即 3.圆的一条直径为x=2(一2≤y≤0)，则此圆 (3) 时，它才表示圆 的方程是 自测自查 A.(x-2)2+(y-1)=1 1.(x-a)+(y-b)2=r2x2+y2=r2 B.(x-2)2+(y+1)2=1 2.>=< C.(.x+2)2+(y-1)2=1 3.I)D+E-4F=0（-D,-E D.(x+2)2+(y+1)2=1 2-2） 4.过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别 (2)D2+E2-4F<0 (-D._E 为2和3的圆的方程为 (3)D2+E2-4F>0 2-2） A.x2+y2-2x-3y=0 专D+B-4F B.x2+y2+2x-3y=0 C.x+y2-2.x+3y=0 4.(1)A=C≠0(2)B=0(3)D+E-4AF>0 D.x2+y+2x+3y=0 ·10· 三022 高二数学的) 5.与圆x2+y2一2x+4y+3=0同圆心，且过 13.已知直线1过原点，且与直线l2:3x一2y 点(1，一1)的圆的方程是 () -1=0平行. A.x2+y2-2.x+4y-4=0 (1)求直线l1的方程； B.x2+y2-2x+4y+4=0 (2)求11与l2间的距离： C.x2+y2+2.x-4y-4=0 (3)若圆C经过点A(1,3),B(2,2),并且 D.x2+y2+2x-4y+4=0 被直线(，平分，求圆C的方程. 6.设O为坐标原点，A为圆C:.x2+y2一4x十2 =0上的一个动点，则∠AOC的最大值为 () A及B君 C. D.5 7.（多选)若坐标原点在圆(x一m)2+(y十m)2 =4的内部，则实数的取值可以是() A.-1 B.2 C.-√2 D.1 14.已知实数xy满足方程x十y一4x十1=0. 8.（多选)若直线1.x十21y一4=0始终平分圆 (1)求2的最大值和最小值： x2+y2-4x-2y-4=0的周长，则mn的取 值可以是 ( (2)求y一x的最大值和最小值： A.-1 B.-2 (3)求x2十y2的最大值和最小值. C.1 D.2 9.已知圆x2十y2一2x一4y=0,则该圆的圆心 坐标为 10.设圆x2+y2-4x+2y-11=0的圆心为 A,点P在圆上，则PA的中点M的轨迹 方程是 11.设点P(x,y)是圆x2+(y+4)2=4上任意 一点，则√(x一1)2+(y一1)的最大值为 12.已知一个圆过P(4,一2)，Q(一1,3)两点， 且在y轴上截得的线段长为4√3，求该圆 的方程 高专冲浪 1.(2024·北京卷，3)圆x2+y2一2x+6y=0 的圆心到x一y十2=0的距离为() A.2 B.2C.3D.32 2.(2023·上海卷，7)已知圆C:x2+y2一4y-m =0的面积为r,则m= 3.(2022·全国乙卷，14)过四点(0,0)，(4,0)， (一1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为 11。