假期作业三 直线方程和两条直线的位置关系-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业

飞曼快乐假期 c900-= (2)解：由(1)得BC⊥平面AA1B1B,从而，点C到平面 2.解：(1)取CB1中点P,连接VP,MP, AA1B:的距离为BC, 由N是BG的中点，故NP/∥CG,且Np=CC 故VA越e=VeMg=号×A1B·AM·BC 由M是DD1的中点，故DM=2DD,=CG,且DM -君c-号脚BC-E ∥CC1, 以B为原点，分别以BC,BA,BB1所在直线为x轴，y 则有DM∥NP且D1M=NP, 轴，之轴建立如图所示的空间直角坐标系， 故四边形DMPN是平行四边形，故D1N∥MP, 文MPC平面CB1M,D1Nt平面CB1M, 则A(0,1,0),A(0,1,1),B1(0,0,1),C(2,0,0), 故D1N∥平面CB,M: 设平面AB1C的法向量为m=(x1,y1,),因为AC (2)以A为原点建立如图所示空间 (2,-1,0),AB1=(0,-1,1) 直角坐标系，有A(0,0,0)、B(2,0, 所以m·AC0→-y=0, 0)、B1(2,0,2)、M(0,1,1)、 m·AB1=0-y1+1=0, C(1,1,0)、C1(1,1.2),则有CB1 令x1=2,则y1=1=2,可得平面AB1C的一个法向量 (1,-1,2)、CM=(-1,0,1),BB =(0,0,2), m=(2,2,2). 设平面CB1M与平面BB1CC的 设平面AB,C的法向量为n=(x2y22),因为AC 法向量分别为m=(x1,y1·1)、 (W2,-1,-1),A1B1=(0,-1,0) n=(x2y22g), 所以AC-0,→小24-为-=0. 则有 m·CB1=x1-1+2x1=0 n·A1B=0{-2=0, m·CM=-x1+1=0 令x2=2,则y2=0,2=2,可得平面AB1C的一个法 (n·CB1=t2-y2十22=0 向量n=(2,0,2) n·BB1=2x2=0 设平面A,B,C与平面AB1C的夹角为0，则cos0 分别取x1=x2=1,则有y1=3、1=1y2=1,2=0, 即m=(1,3,1),n=(1,1,0), m·n=15 第sm-0沿-市量 1+3 2√22 故平面ABC与平面AB,C的夹角的余弦值为⑤ 51 故平面CBM与平面BB,CC的夹角的余弦值为22四 高考冲浪 11 1.解：(1)因为PA⊥底面ABCD,AP,BPC平面PAB,所以 (3)由BB=(0,0,2),平面CB1M的法向量为m=(1,3,1) PA⊥AD,PA⊥BC.又AD⊥PB,且AP∩BP=P,所以 则有 |BB1·m 2=2 AD⊥平面PAB.在△ABC中，因为AC=2.BC=1,AB=3,所 m W1+9+ī11 以AC=BC+AB,即AB⊥BC,又AP⊥C,且AP∩AB= A,AP,ABC平面PAB,所以BC⊥平面PAB.因此，AD∥BC, 申表B到辛面CB,M的距高为2酒 又AD丈平面PBC,BCC平面PBC,所以AD∥平面PBC 假期作业三 直线方程和两条直线 (2)过D点作DE∥PA,则DE 的位置关系 ⊥平面ABCD,以D为坐标原 技能提升台技能提升 点，分别以DA,DC,DE所在的 1.B2.A3.D4.B 直线为x轴，y轴，：轴建立空间 直角坐标系.设DA=m,DC= 5B[由直线y十2-停。一4同可得共针率-侣设直 3 n,其中m2+n2=4,则A(m, 0,0),C(0,n.0),P(m,0,2), 度的凭针角为8时m0一受 所以AP=(0,0,2).CP=(m,-,2),DC=(0,n,0). 因为0[0，x),所以0=石，即领斜角为否.当x=0时，y 设平面APC的法向量为n=(x,y,z),则 12x=0, 十2=经×（一43）=一4，得y=一6，所以直钱在y轴上 3 mx-ny+2=0 令x=n,则y=m,所以n=(n,m,0): 的戴距为一6.] 设平面DPC的法向量为v=(x,y,z),同理可得v=(2,0, 6.C[B(3,-3),C(0,2),.BC中点的坐标为D (生，)即D(受一)则C边上的中线应证 图为二面角APCD为锐二面角，所以共余弦值为吗，因 A-5,0.D(侵号)两点由两点式，释言。 21 2 ,解得m=√3，即 √m2+n2/4+m +5,整理得x+13y+5=0,] AD=√5. +5 ·40· 三022 7.AC 高考冲浪 8.AB 1.B[由直线y=k(x+1)过定点（一1,0），要使距离最大， 90x10.号+￥=1 则当y=k(x+1)与(0,1)和（一1,0）的连线垂直时可得最 大距离为(0,1)和（一1,0）两点之间的距离d= 11.10-12-2 √(0+1)2+(1-0)2=√2，故选B.] 12.解：(1)由41⊥l2,得2(a+2)-(a-1)(2a+1)-0,即 2.解析：因为圆心(0,0)到直线x一3y十8=0的距离d= 2a2-3a-5=0,所以(2a-5)(4+1)=0.解得a=-1 8 =4,由弦长公式1=2√2-产可得6 √1+3 22-4,解得r=5. (2)由l1∥12，得2(2a+1)=-(a-1)(a+2),即a2+5a =0,解得a=0或a=-5.当a=0时，l1:2x十y-2=0, 答案：5 4:2x+y十3=0，则4,2之间的距离为3-（-2则 假期作业四圆的方程 √22+1 技能提升台技能提升 1.C2.C3.B =√5： 4.A[设圆的一般方程为x2+y2十Dx十Ey十F=0(D+ 当a=一5时，1：x十3y-1=0,l2:x+3y-1=0,此时两 E2-4F>0),过坐标原，点，则F=0,即x2+y2+Dx十 直线重合，含去， Ey=0,令x=0,则y2十Ey=0,∴y=-E=3,.E=-3. 综上，若1∥12，则1，l2之间的距离为5. 令y=0,则x2十Dx=0,∴x=一D=2,.D=一2.∴.所求 13.解：设P(x,y)关于直线l:3x一y十3=0的对称点 圆的方程为：x2+y2-2x-3y=0.] 为P'(x'y). 5.B[设所求圆的方程为x2+y2-2x十4y十m=0,由该圆 mk=-1会3=-1.0 过点(1，一1)，得m=4,所以所求圆的方程为x2十y2一2z +4y+4=0.] 又PP的中点在直线3x-y十3=0上， 6.C[如图所示，当直线AO与国相切时， 3×y+3=0.② A为切点，此时∠AOC最大，连接CA, 2 2 易得AC⊥AO.由x2+y2-4x+2=0→ x=-4r+3y-9,③ 5 (x-2)2+y2=2,即C(2,0),AC=2, 联立①②，解得 y-3x+4y+3 ① 所以sin∠A0C-号释∠A0C-=系] 5 (1)把x=4,y=5代入③④，得x'=-2,y=7, 7.AD[因为(0,0)在(x-m)2+(y十m)2=4的内部，则有 ∴.P(4,5)关于直线1的对称点P的坐标为(-2,7) (0-m)2+(0+m)2<4,解得-√2<m<2.] (2)用③④分别代换x-y一2=0中的x,y,得关于1对 8.ABC[可知直线m.x+2y-4=0过國心(2,1)， 称的直线方程为二4虹+3y-9_3江+4y+3-2=0, 有2m+2n一4=0，即n=2-m, 则mn=m·(2-m)=-m”+2m=-(m-1)2+1≤1.] 即7x+y+22-0. 9.(1,2)10.(x-2)2+(y+1)2=411.√26+2 14.解：(1)当两直线的斜率都不存在时，方程分别为x= 12.解：方法一：设圆的方程为2+y2十Dx十Ey十F=0(D+ 一4，x=0,满足题意： E-4F>0)① 当两直线的斜率都存在时，设方程分别为y=k(x十4)与 将P,Q的坐标分别代入①， y=kx-3.即kx-y+4k=0与k.x-y-3=0, 得1D-2E+F+20=0,@ 由题意得-4，解得长=员所以所求的直线方程 1D-3E-F-10=0,③ √k2+1 令x=0,由①得y2十Ey+F=0,④ 分别为7x-24y+28=0,7x-24y-72=0. 由已知y1一y2|=43,其中y1y2是方程④的两根 综上，所求的直线方程为7.x一24y十28=0,7x一24y ∴.(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y12=E-4F=48,⑤ 72=0或x=-4,x=0. D=-2. /D=-10. (2)由(1)知，当两直线的斜率都存在时，d=L6+3劉 联立②③⑤解得E=0,或E=-8. k2+1 F=-12,F=4. 4P=16k2+24k+9.(d2-16)k2-24k+de-9=0, 故所求方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x k2十1 8y+4=0. k∈R,∴.△≥0，即d-25d2≤0，∴.d2≤25 方法二：由题意得线段PQ的中垂线方程为x一y一1 .0d≤5， =0. ∴dnm=5,此时及=导 ∴所求圆的园心C在直线x一y一1=0上，设其坐标为 (a,a一1).又圈C的半径长r=|CPI= 当两直线的斜率都不存在时，d=4,∴dmx=5, √(a-4)2+(a+1)2.① 此时两直线的方程分别为4r一3y十16=0,4r-3y一9 由已知圆C截y轴所得的线段长为4√3，而圆心C到y =0. 轴的距离为a. ·41·高二数学 温故而知新，可以为师矣。 假期作业三直线方程和两条直线的位置关系 完成日期：月日 思维整合室 续表 知识梳理 在x轴、y轴上 不包括 截 的截距分别为 和 1.直线的倾斜角 a，b(a，b≠0) 的直线 (1)定义：当直线与x轴相交时，x轴与 直线方向之间所成的角叫做这条直 线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时，规 式 定它的倾斜角为. 4.两直线的位置关系 (2)倾斜角的范围为. 2.直线的斜率 斜截式 一般式 (1)定义：一条直线的倾斜角 α 方 $$y = k _ { 1 } x + b _ { 1 } | A _ { 1 } x + B _ { 1 } y + C _ { 1 } = 0 \left( A _ { 1 } ^ { 2 } + B _ { 1 } ^ { 2 } e 0 \right)$$ y 程 $$y = k _ { 2 } x + b _ { 2 } | A _ { 2 } x + B _ { 2 } y + C _ { 2 } = 0 \left( A _ { 2 } ^ { 2 } + B _ { 2 } ^ { 2 } e 0 \right)$$ 做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即 k= ，倾斜角是 $$9 0 ^ { \circ }$$ 的直线 ≠0 没有斜率 交 (当 $$A _ { 2 } B _ { 2 } e 0$$ 时，记为 $$\frac { A _ { 1 } } { A _ { 2 } } e \frac { B _ { 1 } } { B _ { 2 } }$$ (2)过两点的直线的斜率公式： =0 经过两点 $$P _ { 1 } \left( x _ { 1 } ， y _ { 1 } \right) ， P _ { 2 } \left( x _ { 2 } ， y _ { 2 } \right) \left( x _ { 1 } e { x _ { 2 } } \right)$$ 的 (当 $$B _ { 1 } B _ { 2 } e 0$$ 时， 直线的斜率公式为 $$k = \frac { y _ { 2 } - y _ { 1 } } { x _ { 2 } - x _ { 1 } } = \frac { y _ { 1 } - y _ { 2 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } .$$ 记为 $$\frac { A _ { 1 } } { B _ { 1 } } \cdot \frac { A _ { 2 } } { B _ { 2 } } = - 1 \right)$$ 3.直线方程 ( =0， =0， 名 ≠0 ≠0 几何关系 方程 局限性 平 且 称 (当 $$A _ { 2 } B _ { 2 } C _ { 2 } e 0$$ 时， 过点 $$\left( x _ { 0 } ， y _ { 0 } \right) ，$$ 不含 记为 $$\frac { A _ { 1 } } { A _ { 2 } } = \frac { B _ { 1 } } { B _ { 2 } } e \frac { C _ { 1 } } { C _ { 2 } }$$ 式 斜率为 k 的直线 5.三种距离 (1)两点间的距离： 斜率为 k， ，纵截 不含 平面上的两点 $$A \left( x _ { 1 } ， y _ { 1 } \right) ， B \left( x _ { 2 } ， y _ { 2 } \right)$$ 间的距 的直线 离公式 d(A，B)=|AB|= . 式 距为b (2)点到直线的距离： 过两点 $$\left( x _ { 1 } ，$$ 点 $$P \left( x _ { 1 } ， y _ { 1 } \right)$$ 到直线 l：Ax+By+C=0 的 两 $$\left. { y _ { 1 } } \right) ， \left( x _ { 2 } ， y _ { 2 } \right) ，$$ 不包括 距离 d= (3)两条平行线间的距离： $$\left( x _ { 1 } e { x _ { 2 } } ， y _ { 1 } e \right.$$ 的直线 两条平行线 $$A x + B y + C _ { 1 } = 0$$ 与Ax+ $$\left. { y _ { 2 } } \right)$$ $$B y + C _ { 2 } = 0$$ 间的距离 d= . 快乐假期 自测自查 《《技能提升台 1.(1)正向向上0° (2)[0°，180) 技能提升 2.(1)正切值tana 1.下列说法中，正确说法的个数是 3.y-yo=k(x-xo) 垂直于x轴y=kx ①任何一条直线都有唯一的倾斜角：②任何 一条直线都有唯一的斜率：③倾斜角为90° +6 垂直于x轴 y二y1=x一x1 垂 y:-y xx-x 的直线不存在；④倾斜角为0°的直线只有 一条 直于坐标轴 +义=1垂直于坐标轴 a b A.0 B.1 C.2 D.3 过原点Ax十By十C=0(A,B不全为0) 2.如图，直线l1,2,l3的斜率分别为k,k2,k3,则 16:AB一A,B太=一名或： -1A1A2+BB2 k1=k2b1≠b2 A B2-A2 B B2C-B C2 A B2-A2B A C2-A2C 5.(1)/(x1-x2)+(y1-y2月 A.k<ka<k2 B.k3<k<k (2)Ax+By,+Cl 3)1C-C C.k<k2<kg D.kg<k<k √A+B √A+B 3.已知直线3.x十2y-3=0和6.x十my十1=0 互相平行，则它们之间的距离是 ( 要点记忆 A.4 B213 13 (1)求直线方程的一般方法. C./ D名丽 ①直接法：根据已知条件，选择适当的直线 4.经过点A(3,2),且与直线4x+y-2=0平 方程形式，直接写出直线方程.选择时，应 行的直线方程为 注意各种形式的方程的适用范围，必要时 A.4x+y+2=0 B.4x+y-14=0 要分类讨论 C.x-4y-12=0 D.x-4y-14=0 ②待定系数法，具体步骤为： 5.直线y十2=5(x4)的倾斜角及在y ⅰ.设所求直线方程的某种形式： 3 轴上的截距分别是 () ⅱ.由条件建立所求参数的方程（组）： m.解这个方程（组），求出参数： A66 B8-6 V.把参数的值代入所设直线方程. C36 D.子-6 (2)在判断两直线的位置关系时，易忽视斜率 6.已知三角形三个顶点分别为A(一5,0)， 是否存在，两条直线都有斜率时可据条件 B(3,一3)，C(0,2),则BC边上中线所在直 进行判断，若无斜率，要单独考虑， 线的方程是 () (3)运用两平行直线间的距离公式时易忽视两 A.x-13y+5=0 B.x-13y-5=0 方程中的x,y的系数分别相等这一条件. C.x+13y+5=0 D.x+13y-5=0 ·8… 三0022 高二效学) 7.(多选)到直线3.x一4y+1=0的距离为3， 13.已知直线l:3.x-y+3=0.求： 且与此直线平行的直线方程是 () (1)点P(4,5)关于直线1的对称点的 A.3.x-4y-14=0 B.3.x-4y+4=0 坐标： C.3.x-4y+16=0 D.3x-4y-16=0 (2)直线x一y一2=0关于直线1对称的直 8.(多选)已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB 线方程. =5,则a的值可以是 A.1 B.-5 C.-1 D.5 9.已知点M(1,4)到直线l:m.x十y一1=0的 距离为3，则实数m= 10.过点A(3,一2)和B(1,2)的直线方程的截 距式为 11.已知直线a.x+4y-2=0和2x-5y十b=0 垂直，交于点A(1,m),则a= b= .m= 14.过A(一4,0)，B(0,一3)两点作两条平行 12.已知直线l1:2x-(a-1)y-2=0,l2:(a十 线，分别求满足下列条件的两条直线方程. 2)x+(2a+1)y+3=0(a∈R). (1)两条平行线间的距离为4； (1)若l1⊥l2,求实数a的值； (2)这两条平行线分别绕A和B旋转，使 (2)若1∥L2,求11，l2之间的距离 它们之间的距离取最大值 高考冲浪 1.(2020·课标Ⅲ卷，8)点(0，一1)到直线y= k(x十1)距离的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.2 2.(2020·天津卷，12)已知直线x-3y十8=0和 圆x2+y=2(r>0)相交于A,B两点.若 |AB=6,则r的值为 ·9