假期作业一 空间向量及其运算-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业

三0022 高二数学 假期作业一空间向量及其运算 《思维整合室 (4)向量垂直的坐标表示 a⊥b曰 =0. (5)向量长度与两个向量夹角的坐标计算公式 知识梳理 设a=(a1,a2,as),b=(b1,b2,b),则 1.空间向量的概念 lal= (1)相等向量 1b= 的向量叫做相等向量. cos(a,b)= (2)共线向量或平行向量 (6)空间两点间的距离公式 如果表示若干空间向量的有向线段所在 设A(x1y1,之1)，B(2y2,22),则 的直线互相 ,那么这些向量叫 IAB 做共线向量或平行向量，如a平行b记 作： 自测自查 1.(1)大小相等且方向相同(2)平行或重合 2.两个向量的夹角 (1)若a,b是两个非零向量，则其夹角记为 a∥b2.(1)(a,b〉[0，x](2)垂直a⊥b 3.1a|bcos04.(1)|acos0(2)0 范围是 (3)a·a5.(1)(a1+b1,a2+b2,a3+b) (2)若(a,b〉=90°，则称a与b ,记作： (a1-b1,a2-b2,a3-b）(入a1,da2,Aa3） 3.公式：a·b= ab十ab2十ab(2)(x2-x1y-y32-） 4.性质：(1)a·e= (其中e为单位 (3)41=-a by b2 ba (a1,a2,a3)=入(b1,b2,b2) 向量) (2)若a⊥b,则a·b ,反之也 (4)a1b1+a2b2+a3b3=0(5)/ai+a+a 成立. 6+b+b房 a·b ab+a2b2+a3bs ab (3)a2= √a+a+a匠+b+b 5.坐标运算 (6W(x2-x1)2+(2-y1)+(-x1) 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b,b). (1)a+b= 要点记忆 a-b= 空间向量数量积运算与运算律 Aa= 向量的数量积运算只适合交换律、加乘分 a·b= 配律及数乘结合律，不满足以下两条， (2)设A(x1y1z1),B(x2y22), (1)消去律：由a·b=b·c不能推出a=c,即 则AB= 向量不能约分 (3)向量平行的坐标表示 (2)乘法结合律：(a·b)c=a(b·c)不一定成 a∥b(b≠0)台 立，这是因为(a·b)c表示一个与c共线的 或当b与三条坐标轴都不平行时， 向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向 a∥b台 量，但c与a不一定共线 北壑快乐假期 900号 《技能提升台 7.（多选)已知三条直线11，l2,13的一个方向 向量分别为a=(4,-1,0),b=(1,4,5),c 技能提升 (一3,12，一9)，则下列说法错误的是( 1.在△ABC中，若∠C=90°，A(1,2,-3k), A.l1⊥l2,但l1与l3不垂直 B(一2,1,0)，C(4,0,一2k),则k的值为() B.11⊥13，但11与l2不垂直 A./10 B./10 C.12⊥1，但l2与l不垂直 D.L1,l2,l3两两互相垂直 C.25 D.±/10 8.(多选)以下四个命题中，不正确的是() 2.设O是△ABC的外心，则AO,BO,CO是 A.若O币=2OA+}O成，则P,A,B三点 共线 A.相等向量 B.平行向量 B.△ABC是直角三角形的充要条件是AB· C.模相等的向量 D.起点相同的向量 AC=0 3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任一 C.设{a,b,c}是空间一个基底，则{a十b,b十 点0，都有OM=x0A+2o丽+0C,则x c,c十a}构成空间的另一个基底 D.(a·b)c=a·|b·c 的值为 9.在空间四边形ABCD中，AB·CD+BC· A号 c. D.0 AD+CA.BD= 10.在直角坐标系O-xy?中，已知点P(2cosx 4.若向量a=(2,2,3),b=(一1,2,1)，c=(0, +1,2cos2x+2,0)和点Q(cosx,-1,3), 1,1),则a·(b十c)= 其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂 A.5 B.8 直，则x的值为 C.10 D.12 1.若A02号)B1,-1,8).C(-21g)是 5.已知单位向量a,b满足|a|=a+b|,则 平面a内的三点，设平面a的法向量a a+2b小b =(x,y,),则x:y:之 12.如图，已知平行四边形ABCD,从平面ABCD A号 B.1 c D.0 外一点O引向量OE=k 6.在三棱锥ABCD中，M为AC的中点，若 OA.OF =&OB,OG= MN=2ND,则BV= () kO元，Oi=kOD. (1)求证：四点E,F, A.BA+BC+号B丽 G,H共面； B名BA+号BC+号Bd C.}BA+日BC+2B而 D.BA+号BC+号Bd 2· 三022 言二数学) (2)求证：平面ABCD∥平面EFGH. 14.如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD,点E,F分别是PB, PD的中点，PA=AB=1,BC=2. (1)求证：EF∥平面ABCD: (2)求证：平面PAD⊥平面PDC. 13.已知向量a=(1,1,0),b=（-1,0,c),且 1a+b|=5. (1)求c的值； (2)若ka十b与2a一b互相垂直，求实数k 的值 高考冲浪 1.(2024·新课标卷，3)已知向量a=(0,1),b (2,x),若b⊥(b-4a),则x= () A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(2024·上海卷，5)已知a=(2,5),b=(6,k), a∥b,则k的值为 ·3快乐假期 0三 参考答案 假期作业一空间向量及其运算 F=(合-1.小B 技能提升台技能提升 1.D2.C3.A （-120.FE=-27BD 4.C[b+c=(-1,2,1)+(0,1,1)=(-1,3,2),又a= 即EF∥BD. (2,2,3),.a·(b+c)=(2,2,3)·(-1,3,2)=-2+6+ 又BDC平面ABCD,EF寸 6=10.] 平而ABCD, 5.D[,a,b是单位向量，.a2=b2=1.a=a+b, 所以EF∥平面ABCD. a+2ab叶=1，故ab=-号(a+b）b (2)证明：由(1)可知AP (0,0,1),AD=(0,2,0), 6.A[因为M为AC的中点，所 DC=(1,0,0), 以BM=号(BA+BC).又因为 因为AP·DC=(0,0,1)·(1,0,0)=0, M=2N市，所以=号Mò AD·DC=(0,2,0)·(1.0,0)=0, 所以AP⊥DC,AD⊥DC,即AP⊥DC,AD⊥DC. =号(B励-B,所以B时= 又AP∩AD=A,AP,ADC平面PAD,所以DC⊥平面 PAD.因为DCC平面PDC,所以平面PAD⊥平面PDC, BM+M=号B筋+号B丽 高考冲浪 号防+号×(+)-名所+成+号成.] 1.D[因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4+x2 4x=0,解得x=2.] 7.BCD[,a·b=0,a·c≠0，∴.只有A正确，BCD错误.] 2.解析：由题意可知，2k=5×6,k=15. 8.ABD[只有C正确.] 答案：15 9.010.受浅51.2：3(-40 假期作业二立体几何中的向量方法 12.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， 技能提升台技能提升 .AC=AB+AD, 1.A2.D3.C EG=0店-OE=k.O元-k·OA=k(O元-OA) 4.C[当二面角ABDC为锐角时，其大小为(n1,n2》= =kAC=K(AB+AD) 音：当二面角ABDC为能角时，其大小为不一(m:)二 -*(OB-0A+OD-0A)=OF-OE+OH-OE =EF+EH, E,F,G,H共面； 5.D (2)证明：EF=OF-O正=k(OB-OA)=k·AB, 6.D[依题意，PA,PB,PC两两垂 直，建立如图所示的空间直角坐 又，EG=k·AC.∴.EF∥AB,EG∥AC.又AB∩AC=A. 标系.设PA=PB=PC=2,则 所以.平面ABCD∥平面EFGH. P(0,0.0),A(2,0,0),B(0,2,0) 13.解：(1)a+b=(1,1,0)十(-1,0，c)=(0,1,c), C(0,0,2),E(1,1,0),F(0,1.1) 所以a+b=√/1+2=5，解得c=士2. 则PE=(1,1,0),PF=(0,1,1), (2)当c=2时，a+b=(k,k,0)+(-1.0,2)=(k-1,k, 2),2a-b=(2,2,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2). AF=(-2,1,1). 图为ka十b与2a一b互相垂直，所以3(k-1)十2k一22 设平面PEF的法向量为n=(x,y,z), 0,解得=子 期nP它=x+y=0, 令x=1,可得平面PEF的一个法 {n·PF=y+=0, 当c=一2时，ka+b=(k,k,0)十（一1,0，一2）=(k一1， 向量n=(1,-1,1). k,-2),2a-b=(2,2,0)-(-1,0,-2)=(3,2,2). 因为a十b与2a一b互相垂直，所以3(k一1)+2k-22 设直线AF与平面PEF的夹角为0，则in0=n·A 0,解得=子 nAF 综上k=子 2 3X6 号又e[,引故ms9=-( 14.(1)证明：以点A为原，点，AB所在直线为x轴，AD所在 直线为y轴，AP所在直线为？轴，建立如图所示的空间 直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0), D(0,2,0),P(0,0,1).点E,F分别是PB,PD的中点， 7.ABC F012）E(20）月 8.ABC[以D为原点，分别以DA,DC,DD1的方向为x 轴、y轴、：轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， ·38·