精品解析：福建省厦门双十中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

福建省厦门双十中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将 己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答.答案必须写在各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. [0，1] D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ）． A. B. C. D. 6. “函数的定义域为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若函数（，为常数）在区间上有最大值，则在区间上（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 8. 已知函数对于任意、，总有，且当时，，若已知，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正数，满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为4 10. 声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：dB）．下列选项中正确的是（ ） A. 闻阈的声强为 B. 声强级增加10dB，则声强变为原来的2倍 C. 此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：） D. 如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB 11. 已知函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则______． 13. __________. 14. 已知是定义在R上的偶函数，且对，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题： 已知集合， （1）当时，求； （2）若 ，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个条件解答按第一个解答计分． 16. 已知函数，关于的不等式的解集为，且. （1）求的值； （2）是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17. 已知的定义在上的奇函数，其中为指数函数，且的图象过点. （1）求实数的值，并求的解析式； （2）判断的单调性，并用单调性的定义加以证明. （3）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时. （1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围； （2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：） 19. 若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集，②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为的一个上界.（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明） （1）试判断函数，是否为上的有界函数？并说明理由. （2）已知函数是区间上的有界函数，设在区间上的上界为，求的取值范围； （3）若函数，问：在区间上是否存在上界？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门双十中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将 己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答.答案必须写在各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. [0，1] D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合运算的定义计算． 【详解】由已知 所以或， 故选：B． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定即可得答案. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C. 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数性质计算出定义域后，结合复合函数单调性的判定方法计算即可得. 【详解】由题意可得，解得或， 由， 则其在上单调递减，在上单调递增， 又为单调递增函数， 故的单调递减区间. 故选：B. 4. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的图象可得，然后结合指数函数的图象分析判断即可. 【详解】由二次函数（其中）的图象可得， 所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD； 因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B； 故选：A 5. 已知，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为所以选C． 考点：比较大小 6. “函数的定义域为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若函数的定义域为， 则当，，符合要求； 当时，有，解得； 综上所述，， 故“函数的定义域为”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 若函数（，为常数）在区间上有最大值，则在区间上（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】构造新函数为奇函数，利用奇函数求解． 【详解】设， 则， 所以是奇函数， 在上有最大值，则在上有最大值， 所以在上有最小值，于是在区间上有最小值， 故选：C． 8. 已知函数对于任意、，总有，且当时，，若已知，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，分析出函数为上的增函数，将所求不等式变形为，可得出，即可求得原不等式的解集. 【详解】令，则， 对任意的、，总有，则， 令，可得，可得， 令时，则由，即， 当时，，即， 任取、且，则，即，即， 所以，函数在上为增函数，且有， 由，可得，即， 所以，，所以，，解得. 因此，不等式的解集为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正数，满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助基本不等式中“1”的活用可得A；由构造出后利用基本不等式计算可得B；直接运用基本不等式可得C；结合基本不等式与同底数幂的乘法运算可得D. 【详解】由，为正数，且满足，则有： 对A：， 当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对B：， 则， 当且仅当时，等号成立， 即，则，故B正确； 对C：，当且仅当时，等号成立， 即，故C错误； 对D：， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ABD. 10. 声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：dB）．下列选项中正确的是（ ） A. 闻阈的声强为 B. 声强级增加10dB，则声强变为原来的2倍 C. 此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：） D. 如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意求出，即可判断A；将、代入求声强范围判断C；设声强变为原来的倍，对应声强级增加，依题意得到方程，解得，即可判断B、D. 【详解】解：由题意，即，所以，所以，故，故A正确； 若，即，则； 若，即，则，故歌唱家唱歌时的声强范围（单位：），C正确； 设声强变为原来的倍，对应声强级增加， 则，解得， 即如果声强变为原来的倍，对应声强级增加，故D正确，B错误； 故选：ACD 11. 已知函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 【答案】CD 【解析】 【分析】作出函数图像判断A，举反例判断B，转化为一元函数，利用二次函数的性质判断C，指数函数的性质判断D即可. 【详解】结合函数的图象可知，， 由，得不出，故A错误， 令，此时，但是，故B错误. 因为，所以，所以，则， 又，所以， 由二次函数性质得在上单调递增，故，所以C正确. 因为，所以，故， 令，由指数函数性质得在上单调递增， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题考查求多变元表达式的范围，解题关键是合理利用函数图像找到变量关系，构造一元函数，然后利用指数函数的性质得到所要求的取值范围即可． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值 【详解】解：由题意令，由于图象过点， 得， 故答案为：4． 【点睛】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值，属于基础题． 13. __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用指对数的运算法则，即可求出结果. 【详解】因为， 故答案为：. 14. 已知是定义在R上的偶函数，且对，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意分析函数的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函数在上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可. 【详解】由，可得：， 又因为是定义在R上的偶函数， 则，且函数图象关于轴对称， 所以，即的周期为4， 作出函数在上的图象， 根据对称性及周期为4，可得出在上的图象： 令， 若在区间内关于的方程至少有2个不同的实数根， 至多有3个不同的实数根， 则函数与函数在上至少有2个不同的交点， 至多有3个不同的交点， 所以，即，解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用，函数与方程的综合应用及数形结合思想.解题关键在于根据题意分析出分析函数的对称性及周期性，并作出和图象；将方程根的问题转化为函数图象交点问题，数形结合解答即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题： 已知集合， （1）当时，求； （2）若 ，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个条件解答按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 选①，实数a的取值范围是或； 选②，实数a的取值范围是； 选③，实数a的取值范围是或． 【解析】 【分析】（1）代入的值表示出，求解出一元二次不等式的解集表示出，根据并集运算求解出结果； （2）若选①：根据条件得到，然后分类讨论是否为空集，由此列出不等式组求解出结果； 若选②：根据条件得到，然后列出不等式组求解出结果； 若选③：根据交集结果分析集合的端点值的关系，列出不等式并求解出结果. 【小问1详解】 当时，，， 因此，． 【小问2详解】 选①，因为，可得． 当时，即当时，，合乎题意； 当时，即当时，， 由可得，解得，此时． 综上所述，实数a的取值范围是或； 选②，因为，可得． 可得，此时不等式组无解， 所以实数a的取值范围是； 选③，当时，即当时，，，满足题意； 当时，即当时，， 因为，则或，解得或， 此时或， 综上所述，实数a的取值范围是或． 16. 已知函数，关于的不等式的解集为，且. （1）求的值； （2）是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）3； （2）或. 【解析】 【分析】（1）先根据，求出不等式的解，结合可得的值； （2）利用换元法，把函数转化为二次函数，结合二次函数区间最值法求解． 【小问1详解】 由可得，又，∴， 又∵的解集为，∴， ∵，∴，即， 解得或，∵，∴； 【小问2详解】 由（1）可得， 令，则， 设， ①当时，在上单调递增， 则，解得，符合要求； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，又，故； ③当时，在上单调递减， ，解得，不合题意； 综上所述，存在实数或符合题意． 17. 已知的定义在上的奇函数，其中为指数函数，且的图象过点. （1）求实数的值，并求的解析式； （2）判断的单调性，并用单调性的定义加以证明. （3）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）在上单调递减，证明如下： ， 设，则， 则， 结合，可得， ∴，即， 故在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求出的表达式，结合奇函数性质计算即可得解； （2）设，从而计算的正负即可得证； （3）由奇函数性质结合函数单调性可得对恒成立，构造二次函，结合二次函数性质可得，解出即可得. 【小问1详解】 设，由的图象过点， 可得，∴（负值舍去），即， 故函数， 由为奇函数，可得， ∴，即,满足，即为奇函数， 故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由且为奇函数，所以， 又在上单调递减，所以对恒成立， 所以对恒成立， 令， 所以有，即，解得. 18. 随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时. （1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围； （2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：） 【答案】（1）车流密度的取值范围是 （2）隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米. 【解析】 【分析】（1）根据题意得，再根据分段函数解不等式即可得答案； （2）由题意得，再根据基本不等式求解最值即可得答案. 【小问1详解】 解：由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时）， 代入，解得， 所以. 当时，，符合题意； 当时，令，解得，所以. 所以，若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是. 【小问2详解】 解：由题意得， 当时，为增函数，所以，当时等号成立； 当时， . 当且仅当，即时等号成立. 所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米. 19. 若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集，②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为的一个上界.（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明） （1）试判断函数，是否为上的有界函数？并说明理由. （2）已知函数是区间上的有界函数，设在区间上的上界为，求的取值范围； （3）若函数，问：在区间上是否存在上界？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）不是上的有界函数，是上的有界函数 （2） （3）当时，存在上界，； 当或时，存在上界，； 当时，存在上界，， 当时，此时不存在上界． 【解析】 【分析】（1）根据有界函数的定义，分别计算出及的值域即可判断； （2）先求解函数的值域，进而求解的取值范围，再根据有界函数的定义确定上界M的取值范围； （3）先求解函数及，再根据有界函数的定义，讨论m取不同数值时，函数是否存在上界，并求解出对应的上界范围. 【小问1详解】 ，的值域为 不是上的有界函数； ，则， 当时，， 当时，，当且仅当时，等号成立， 则， 当时，， 当且仅当时，等号成立， 则， 综上可得，， 即有在上恒成立， 是上的有界函数； 【小问2详解】 ，易知在区间上单调递增， ∴，∴， 所以上界构成的集合为； 【小问3详解】 ， 当时，，，此时的取值范围是， 当时，在上是单调递减函数， 其值域为，故， 此时的取值范围是， 当时，，若在上是有界函数， 则区间为定义域的子集，所以不包含0， 所以或，解得：或， 时，在上是单调递增函数， 此时的值域为， ①，即或时， ，此时的取值范围是， ②，即时， ，此时的取值范围是， 综上：当时，存在上界，； 当或时，存在上界，； 当时，存在上界，， 当时，此时不存在上界． 【点睛】关键点点睛，本题关键点在于求出所给函数在对应定义域范围内的值域，从而可结合定义，得到该函数是否为有界函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $