北京交通大学附属中学2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试题

北京交大附中教育集团2024－2025学年初三第一学期期中练习 数学 说明：本试卷共8页，共100分．考试时间120分钟， 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 巴黎奥运会后，受到奥运健儿的感召，全民健身再次成为了一种时尚，球场上出现了更多年轻人的身影．下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将长方形绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 6. 二次函数的x与y的部分对应值如下表： 则的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 5 D. 10 7. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基础框架《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：“已知长方形门的高比宽多尺寸，门的对角线长丈，那么门的高和宽各是多少？”（1丈尺，1尺寸），若设门宽为尺，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 下面是“过圆外一点作的切线”的尺规作图的方法： ①连接； ②分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点； ③以为圆心，为半径画圆，交于两点； ④作直线．直线即为所求． 上述方法通过判定得到直线是的切线，其中判定的依据是（ ） A. 圆的切线垂直于过切点的半径 B. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C. 的圆周角所对的弦是直径 D. 直径所对的圆周角是直角 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 写出一个顶点为的抛物线的表达式______． 10. 将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为______． 11. 如图，为的两条弦，连接，若，则的度数为______． 12. 若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则ac_____0（填“＞”或“＝”或“＜”）． 13. 如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是点______． 14. 如图，分别切于点是上一点，是上一点．若，则的度数是______． 15. 如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器－－蒸馏瓶，其底部是圆球形．已知截面圆中弦的长为，瓶内液体的最大深度，则球形的半径为______． 16. 如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为．下列结论： ①若，则； ②当时，且的最小值为； ③抛物线上有两点和若，且，则； ④当时，对于抛物线上两点，若，则． 其中正确的是______． 三、解答题（本大题共68分，第17、18、19、21、23、25题每题5分，20、22、24、26题每题6分，27、28题每题7分） 17. 解方程：． 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 19. 在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请解答下列问题： （1）画出关于原点成中心对称的，并写出的坐标； （2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后的． 20. 如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 21. 已知二次函数解析式为． （1）将化成的形式，并写出它的顶点坐标； （2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，的取值范围为______． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果方程有一个根为正数，求的取值范围． 23. 小明在某景区看到一个标志性建筑物－－拱门观光台（如图1），拱门的形状近似于抛物线的一部分，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米．小明在图2中建立平面直角坐标系．请你结合数据，帮他求出拱门的高度（拱门的最高点到地面的距离）． 24. 如图，在ABC中，，以为直径作交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 25. 食用果蔬前，适当浸泡可降低农药的残留．某小组针对同种果蔬研究了不同浸泡方式对某种农药去除率的影响． 方式一：采用清水浸泡． 记浸泡时间为t分钟，农药的去除率为，部分实验数据记录如下： t（分） 5 8 10 12 15 20 30 50 57 52 37 33 方式二：采用不同浓度的食用碱溶液浸泡相同时间． 记食用碱溶液的浓度为，农药的去除率为，部分实验数据记录如下： 2 5 7 10 12 15 43 52 57 76 57 25 结合实验数据和结果，解决下列问题： （1）通过分析以上实验数据，发现可以用函数刻画方式一中农药的去除率与浸泡时间t（分）之间的关系，方式二中农药的去除率与食用碱溶液的浓度之间的关系，请分别在下面的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象； （2）利用方式一的函数关系可以推断，降低该种农药残留的最佳浸泡时间约为______分钟； （3）利用方式一和方式二的函数关系可以推断，用食用碱溶液浸泡含该种农药的这种果蔬时，要想不低于清水浸泡的最大去除率，食用碱溶液的浓度中，x的取值范围可以是_____． 26. 在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上任意两点． （1）若时，满足，则抛物线的对称轴为直线______； （2）若对于，都有，求的取值范围． 27. 如图，在中．是线段上的动点（不与点重合）．将射线绕点逆时针旋转得到射线，过点作于点，连接． （1）①补全图形； ②直接写出的大小（用含的式子表示）． （2）作点关于点的对称点，取线段的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”． （1）如图，点 ①在点中，点______是弦的“可及点”，其中______°； ②若点是弦的“可及点”，记点的横坐标为，则的取值范围为______； （2）已知点是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”记点的横坐标为，直接写出的取值范围． 北京交大附中教育集团2024－2025学年初三第一学期期中练习 数学 说明：本试卷共8页，共100分．考试时间120分钟， 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 【9题答案】 【答案】（不唯一） 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】＜ 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】##度 【15题答案】 【答案】9 【16题答案】 【答案】①④##④① 三、解答题（本大题共68分，第17、18、19、21、23、25题每题5分，20、22、24、26题每题6分，27、28题每题7分） 【17题答案】 【答案】， 【18题答案】 【答案】 【19题答案】 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示． 【20题答案】 【答案】（1） （2） 【21题答案】 【答案】（1）；顶点坐标是 （2） 图象如图所示； （3） 【22题答案】 【答案】（1）证明： 无论m取何值，， ∴方程总有两个实数根． （2） 【23题答案】 【答案】200米 【24题答案】 【答案】（1）证明：连接，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又为的半径， ∴与相切； （2） 【25题答案】 【答案】（1）方式一和方式二函数图象如图所示： （2）10 （3）答案不唯一，如 【26题答案】 【答案】（1） （2）或 【27题答案】 【答案】（1） ①补全图形如图： ② （2） 解： 证明：如图，在射线上截取点，使，连接． 是的中点， 是的中位线， 关于点对称， ∵点，点，点，点在以为直径的圆上． 【28题答案】 【答案】（1）①，；② （2）或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $