三角函数专题训练-2025届高三数学上学期一轮复习

三角函数专题训练-2025年高三数学上学期一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•道里区校级期中）某圆拱桥的拱高为5m，现有宽10m，水面以上的高度为3米的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位：m）在下列哪个区间内（　　） A．（12，13） B．（13，14） C．（14，15） D．（15，16） 2．（2024秋•玉山县校级月考）已知，则sin2α＝（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•石家庄月考）已知sin（α+β）＝2cos（α﹣β），，则tanα•tanβ＝（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 4．（2023秋•金坛区校级期末）已知，则＝（　　） A． B．3 C． D．﹣3 5．（2024秋•和平区校级月考）设函数f（x）＝3sin（ωx+φ）+1（ω＞0，）的最小正周期为π，其图象关于直线对称，则下列说法正确是（　　） A．f（x）的图象过点 B．f（x）在上单调递减 C．f（x）的一个对称中心是 D．将f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝3sin2x+1的图象 6．（2024秋•龙凤区校级月考）函数在区间上恰有2个极值点，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．（2024秋•定州市校级月考）已知函数的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，若关于x的方程g（x）﹣m＝0在上有两个不等实根，则实数m的取值范围为（　　） A．（﹣2，2] B． C． D． 8．（2024•天府新区校级模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在区间上单调递增，直线和为函数f（x）的两条对称轴，则＝（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024•东阳市模拟）已知函数的部分图象如图所示，则（　　） A． B．ω＝2 C．为偶函数 D．f（x）在区间的最小值为 （多选）10．（2024•花溪区校级模拟）已知f（x）＝sin+cos2﹣，ω＞0，下列结论正确的是（　　） A．若f（x）的最小正周期为π，则ω＝2 B．若f（x）的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则ωmin＝1 C．若f（x）在[0，2π）上恰有4个极值点，则ω的取值范围为 D．存在ω，使得f（x）在上单调递减 （多选）11．（2024•安顺二模）已知函数，，则（　　） A． B． C．f（x）在上单调递减 D．f（x）的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称 三．填空题（共3小题） 12．（2024•东城区一模）已知角α，β的终边关于直线y＝x对称，且sin（α﹣β）＝，则α，β的一组取值可以是α＝　 　，β＝　 　． 13．（2024•衡阳县校级模拟）已知，则＝　 　． 14．（2024•抚顺模拟）已知x1，x2是函数的两个零点，且，若将函数f（x）的图象向左平移个单位后得到的图象关于y轴对称，且函数f（x）在内恰有2个最值点，则实数θ的取值范围为 　 　． 四．解答题（共5小题） 15．（2023•海淀区校级三模）已知函数f（x）＝ （I）如果f（α）＝，试求sin2α的值； （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间． 16．（2023•威海二模）已知偶函数的部分图象如图所示，A，B，C为该函数图象与x轴的交点，且D为图象的一个最高点． （1）证明：2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC； （2）若，CD＝2，，求f（x）的解析式． 17．（2023•济宁二模）已知函数． （1）求函数f（x）在上的单调递增区间； （2）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于点成中心对称，在上的值域为，求α的取值范围． 18．（2023•辽宁二模）已知函数的图象如图所示．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得函数g（x）的图象． （1）求g（x）的解析式； （2）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，C＝2A，a＝3，求△ABC的面积． 19．（2023•徐汇区校级三模）如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC．该曲线段是函数y＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0），x∈[﹣4，0]时的图象，且图象的最高点为B（﹣1，2），赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD∥EF；赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧． （1）求ω的值和∠DOE的大小； （2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，求“矩形草坪”面积的最大值，并求此时P点的位置． 三角函数专题训练-2025年高三数学上学期一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•道里区校级期中）某圆拱桥的拱高为5m，现有宽10m，水面以上的高度为3米的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位：m）在下列哪个区间内（　　） A．（12，13） B．（13，14） C．（14，15） D．（15，16） 【解答】解：由题意，建立平面直角坐标系如图所示， 则G（0，5），C（﹣5，0），D（5，0），E（﹣5，3），F（5，3）， 其中H为圆拱桥的圆心．设拱桥所在的圆的方程为x2+（y﹣a）2＝r2， 则，解得， 则圆形拱桥的水面跨度为． 故选：B． 2．（2024秋•玉山县校级月考）已知，则sin2α＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为， 所以． 故选：C． 3．（2024秋•石家庄月考）已知sin（α+β）＝2cos（α﹣β），，则tanα•tanβ＝（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 【解答】解：∵sin（α+β）＝2cos（α﹣β）， ∴sinαcosβ+cosαsinβ＝2（cosαcosβ+sinαsinβ）， ∴tanα+tanβ＝2（1+tanαtanβ），又， ∴， 解得tanα•tanβ＝． 故选：D． 4．（2023秋•金坛区校级期末）已知，则＝（　　） A． B．3 C． D．﹣3 【解答】解：由可得，sinα＝﹣2cosα， 所以，， 所以，＝． 故选：D． 5．（2024秋•和平区校级月考）设函数f（x）＝3sin（ωx+φ）+1（ω＞0，）的最小正周期为π，其图象关于直线对称，则下列说法正确是（　　） A．f（x）的图象过点 B．f（x）在上单调递减 C．f（x）的一个对称中心是 D．将f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝3sin2x+1的图象 【解答】解：函数的最小正周期为π， 故ω＝2， 其图象关于直线对称， 所以φ＝（k∈Z）， 由于， 故φ＝﹣， 所以f（x）＝3sin（2x﹣）+1． 对于A：当x＝0时，f（0）＝3sin（﹣）+1＝﹣+1＝﹣，故A错误； 对于B：由于， 所以，故B错误， 对于C：当x＝时，f（）＝3sinπ+1＝1，故C错误； 对于D：将f（x）的图象向左平移＝个单位长度得到函数y＝3sin2x+1的图象，故D正确． 故选：D． 6．（2024秋•龙凤区校级月考）函数在区间上恰有2个极值点，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为， 所以， 因为函数在区间上恰有2个极值点， 结合余弦函数的性质可得，，（k∈Z），解得， 故选：D． 7．（2024秋•定州市校级月考）已知函数的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，若关于x的方程g（x）﹣m＝0在上有两个不等实根，则实数m的取值范围为（　　） A．（﹣2，2] B． C． D． 【解答】解：由函数图象可知，A＝2，， 所以， 又， 所以，解得， 由，可得， 所以， 将f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象， 令，由，可得， 函数y＝2sint在上单调递减，在上单调递增，且， 因为关于x的方程g（x）﹣m＝0在上有两个不等实根， 即y＝m与y＝g（x）的图像在上有两个交点， 即y＝m与y＝2sint在上有两个交点， 所以实数m的取值范围为． 故选：B． 8．（2024•天府新区校级模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在区间上单调递增，直线和为函数f（x）的两条对称轴，则＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在区间上单调递增， ωx+φ∈（+φ，+φ）， 直线和为函数f（x）的两条对称轴， ∴+φ＝2kπ﹣，+φ＝2kπ+，k∈Z，且＝﹣． 解得ω＝2且φ＝﹣． 可得f（x）＝sin（2x﹣）， 则＝sin（﹣）＝sin＝． 故选：D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024•东阳市模拟）已知函数的部分图象如图所示，则（　　） A． B．ω＝2 C．为偶函数 D．f（x）在区间的最小值为 【解答】解：由题意得f（x）＝sin（2ωx+φ）， 由图象可得， 又，所以， 由五点法可得， 所以． A：由以上解析可得，故A正确； B：由以上解析可得ω＝1，故B错误； C：，故C正确； D：当时，， 所以最小值为，故D正确； 故选：ACD． （多选）10．（2024•花溪区校级模拟）已知f（x）＝sin+cos2﹣，ω＞0，下列结论正确的是（　　） A．若f（x）的最小正周期为π，则ω＝2 B．若f（x）的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则ωmin＝1 C．若f（x）在[0，2π）上恰有4个极值点，则ω的取值范围为 D．存在ω，使得f（x）在上单调递减 【解答】解：f（x）＝sin+cos2﹣ ＝sinωx+cosωx＝sin（）， 对于A，，又ω＞0，∴ω＝2，故A正确； 对于B，将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到， 若所得图象关于y轴对称，则，得ω＝1+3k，k∈Z，所以ωmin＝1，故B正确； 对于C，由x∈[0，2π），得， 若f（x）在[0，2π）上恰有4个极值点，则， 解得，故C正确； 对于D，由，ω＞0， 结合正弦函数的性质可知，f（x）在上不可能单调递减，故D错误． 故选：ABC． （多选）11．（2024•安顺二模）已知函数，，则（　　） A． B． C．f（x）在上单调递减 D．f（x）的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称 【解答】解：因为函数的图象的一条对称轴方程为， 所以，， 因为，所以，即， 对于A，，A错误； 对于B，因为f（x）图象的一个对称中心为，所以B正确： 对于C，当时，， 所以f（x）在上单调递减，C正确； 对于D，f（x）的图象向左平移个单位长度后， 所得图象对应的函数解析式为， 显然是偶函数，其图像关于y轴对称，D正确． 故选：BCD． 三．填空题（共3小题） 12．（2024•东城区一模）已知角α，β的终边关于直线y＝x对称，且sin（α﹣β）＝，则α，β的一组取值可以是α＝　　，β＝　　． 【解答】解：因为角α，β的终边关于直线y＝x对称，可得α+β＝2•（+kπ）＝+2kπ，k∈Z， 又因为sin（α﹣β）＝，可得α﹣β＝+2k1π或α﹣β＝+2k1π，k1∈Z， 所以，或， 取α＝，β＝． 故答案为：；． 13．（2024•衡阳县校级模拟）已知，则＝　　． 【解答】解： ＝． 故答案为：． 14．（2024•抚顺模拟）已知x1，x2是函数的两个零点，且，若将函数f（x）的图象向左平移个单位后得到的图象关于y轴对称，且函数f（x）在内恰有2个最值点，则实数θ的取值范围为 　（，]　． 【解答】解：由题意，函数 的两个零点，且， 则ωx1+φ＝2kπ+，k∈Z， ωx2+φ＝2nπ+，n∈Z， 所以ω（x2﹣x1）＝+2（n﹣k）π， 即， 所以ω＝2， 所以， 又因为将函数f（x）的图象向左平移个单位后得到的图象关于y轴对称， 所以f（x）＝2sin（2x+）为偶函数， 则+φ＝k，k∈Z， 又因为， 所以φ＝，f（x）＝2sin（2x﹣）﹣， 当 时，2x＜2，函数有且只有两个最值点， 所以＜2≤， 解得． 故答案为：（，]． 四．解答题（共5小题） 15．（2023•海淀区校级三模）已知函数f（x）＝ （I）如果f（α）＝，试求sin2α的值； （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝＝＝， ＝（cosx﹣sinx）， ＝2cos（x+）， f（α）＝，即：2cos（α+）＝， 即cos（（α+）＝， sin2α＝﹣cos（2α+）， ＝﹣cos2（α+）， ＝﹣2cos2（（α+）+1， ＝﹣2×+1， ＝， ∴sin2α＝； （Ⅱ）f（x）＝2cos（x+）， ∴当2kπ﹣π≤x+≤2kπ，k∈Z，f（x）单调递增， ∴x∈[2kπ﹣，2kπ﹣]，k∈Z，f（x）单调递增； 同理x∈[2kπ﹣，2kπ+，]，k∈Z，f（x）单调递减； 故f（x）的单调递增区间为：[2kπ﹣，2kπ﹣]， 单调递减区间为：[2kπ﹣，2kπ+]． 16．（2023•威海二模）已知偶函数的部分图象如图所示，A，B，C为该函数图象与x轴的交点，且D为图象的一个最高点． （1）证明：2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC； （2）若，CD＝2，，求f（x）的解析式． 【解答】证明：（1）在△ABD中，由正弦定理可得， 在△CBD中，由正弦定理可得， 又∠ABD+∠DBC＝π，所以sin∠ABD＝sin∠DBC， 所以，又BC＝2AB， 所以2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC． （2）解：因为，CD＝2，，且2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC， 所以，所以， 在△ACD中，由余弦定理可得， 所以，解得， 在Rt△BCD中， 又，则∠CBD＝30°，所以， 则xD＝BDcos30°﹣1＝2， 所以，则， ， 所以， 所以． 17．（2023•济宁二模）已知函数． （1）求函数f（x）在上的单调递增区间； （2）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于点成中心对称，在上的值域为，求α的取值范围． 【解答】解：（1）＝， ∵，∴， ∴当，即时，函数f（x）单调递增， ∴函数f（x）的单调递增区间为； （2）由题意得， ∵函数g（x）的图象关于点成中心对称， ∴，解得， ∵，∴， ∴， ∴当时，， 又g（x）在上的值域为， 则．解得， 故α的取值范围为． 18．（2023•辽宁二模）已知函数的图象如图所示．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得函数g（x）的图象． （1）求g（x）的解析式； （2）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，C＝2A，a＝3，求△ABC的面积． 【解答】解：（1）由图可知，，解得：T＝π， 所以，即：f（x）＝sin（2x+φ）， 将点代入f（x）＝sin（2x+φ）得， 所以，k∈Z，解得：，k∈Z， 所以， 所以， 因为将函数f（x）的图像向左平移个单位长度后得函数g（x）的图像， 所以． （2）因为g（x）＝cos2x，所以， 由C＝2A，得cosC＝，sinC＝， 因为cos2A＞0， 所以，即：， 所以由cos2A＝1﹣2sin2A，得sinA＝， 所以由cosA＝，得cosA＝， 所以sinB＝sin（A+C）＝， 由正弦定理，得， 所以△ABC的面积S＝＝． 19．（2023•徐汇区校级三模）如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC．该曲线段是函数y＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0），x∈[﹣4，0]时的图象，且图象的最高点为B（﹣1，2），赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD∥EF；赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧． （1）求ω的值和∠DOE的大小； （2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，求“矩形草坪”面积的最大值，并求此时P点的位置． 【解答】解：（1）由条件，得A＝2， ． ∵， ∴． ∴曲线段FBC的解析式为：． ∴当x＝0时，． 又CD＝， ∴． （2）由（1）知． 当“矩形草坪”的面积最大时， 点P 在弧DE上， 故． 设∠POE＝θ，， “矩形草坪”的面积为： ＝． ∵， 故， ， S取得最大值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$