福建省厦门市翔安区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

翔安区2024-2025学年度第一学期九年级期中联考 数学科 试卷 满分：150分；考试时间：120分钟 出卷校：厦门市翔安第一中学 命题人：杨娇缘 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题有且只有一个选项正确） 1.2024年巴黎奥运会的运动项目图标采用大胆的对称美学，下列是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2.函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 3.下列方程中，无实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 4.要得到抛物线，可将抛物线（　　） A．向上平移4个单位 B．向下平移4个单位 C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位 5.关于的一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 6.用配方法解方程x24x＝2时，左右两边需同时加上的常数是（　　） A．16 B．4 C．2 D．1 7.对于二次函数2，下列说法错误的是（　　）图1 A．图象开口向下 B．图象的对称轴为直线＝﹣1 C．当1时，随的增大而增大 D．图象与轴的交点坐标为（0，2） 8.抛物线的部分图象如图1，对称轴为直线，则当时，的取值 范围是（　　） A． B． C． D．1 9.如图2，用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，场地 的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用 其它材料），若设垂直于墙的一边长为x m，那么可列方程为（　　）图2 A． B． C． D． 10.如图3，将△ABC绕点C逆时针旋转α度后得到△DEC，点A，B 的对应点分别为点D，E，连接AD，BE，BE与CD交于点F，点图3 A，B，E，F在同一直线上，则下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝DF B．∠BCE+∠CBE＝∠DEC C．BC∥DE D．AB+BC＝AE 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11.如图4，正方形ABCD中，边DC上有一点E，将△ADE顺时针 旋转后得到△ABG，旋转中心是点　 　，旋转了　 　°．图4 12.抛物线y＝mx2与的形状相同，而开口方向相反，则m的值是 　． 13.已知，是方程2x25x+2＝0的两根，则　 　，　 　． 14.已知抛物线的对称轴为直线x，且经过点（，），（，）， 试比较和的大小：　　（填“”、“ ”或“”． 15.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　． 16.如图5，抛物线与轴交于，，交 轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点， 则下列结论：①；②；③使是等腰三角 形的值有个；④若点是抛物线上第一象限上的动点， 当的面积最大时，，其中正确的有 . （填序号）图5 三．解答题（本大题有9小题，共86分） 17.（本题满分8分） 解方程：（1）； （2）． 18.（本题满分8分） 如图，点A（0，1），B（3，3），C（1，3）． （1）求△ABC面积； （2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1， 直接写出点C1的坐标为 　 　； 19．（本题满分8分）已知二次函数y＝x24x+3． （1）补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 1 … （2）根据图象回答： 当0＜x＜3时，y的取值范围是 　 　 . 20．（本题满分8分）中考百日誓师大会后，数学陈老师考虑到本学期仅剩下三次“大考”（市质检、区质检、中考），为了激励本班学生提高数学成绩，设计两种提分方案：方案①，在上学期质检数学成绩的基础上，每次“大考”增加10分；方案②，在上学期质检数学成绩的基础上，每次“大考”增加10%. （1）已知本班小王，小李两位学生上学期质检数学成绩都是50分，小王选择方案①，小 李选择方案②，若两位学生都恰好达到方案要求，求第二次“大考”中两人的数学成绩； （2） 若本班学生小明上学期质检数学成绩50分，经过努力，第二次“大考”的数学成绩 72分，求两次“大考”成绩的平均增长率？若此平均增长率不变，小明第三次“大考”的数学成绩是多少分？ 21．（本题满分8分）定义：若关于的一元二次方程的两个根为和（），分别以、为横、纵坐标得到点，，则称点为该方程的“两根点”． （1）求方程的“两根点”的坐标； （2）已知点是关于的一元二次方程的“两根点”，若 点在直线上，求的值． 22．（本题满分10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′）． （1）用尺规作图作出△A′O′B；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：点C、O、O′和A′四点共线． 23．（本题满分10分）研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．该试剂挥发过程中剩余质量（克)随时间（分钟）变化的数据（），并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示： （1） 经过描点构造函数模型来模拟两种场景下随变化的函数关系，发现场景的图象 是抛物线的一部分，场景的图象是直线的一部分， 分别求出场景、相应的函数表达式； （2） 查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂 在哪种场景下发挥作用的时间更长？ 24．（本题满分12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CP′，连接PP′，AP′． （1）判断线段AP′与BP的数量关系，并说明理由； （2）当∠APB＝135°时， ①求∠P′AP的度数； ②若M为AB的中点，连接PM，依题意补全图形， 判断PM与PP′的数量关系，并说明理由． 25．（本题满分14分）已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B． （1）若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6）． ①求抛物线的解析式； ②已知当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围； （2）若点P在第一象限，且PA＝PO，过点P作PD⊥x轴于D，将抛物线y＝x2+bx+c平 移，平移后的抛物线经过点A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形OABC的形 状，并说明理由． 九年级 数学科试卷 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$九年级 数学科评分标准 第 1页 共 6页 翔安区 2024-2025 学年度第一学期期中联考 九年级数学科参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.每小题都有 4 个选项，其中有且只 有一个选项正确） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C A B D C D B 二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. A ， 90 12. 2 3 13. 5 2 ， 1 14. ＜ 15. � >− 1且� ≠ 0 16.①②③ 三、解答题（共 86 分） 17.（本题满分 8 分） （1）（4 分）�2 − 9 = 0 方程整理得：�2 = 9， ……………………2分 解得：�1 = 3；�2 =− 3 ……………………4 分 （2）（4 分） 22 4 1 0x x   ， 方法一：公式法 ∵ � = 2, � =− 4, � = 1 ……………………1 分 ∴ ∆ = �2 − 4�� = 16 − 4 × 2 × 1 = 8 > 0 ∴方程有两个不相等的实数根 ……………………2 分 ∴ � = −�± � 2−4�� 2� = 4±2 2 4 ……………………3分 ∴�1 = 1 + 2 2 ；�2 = 1 − 2 2 ． ……………………4分 方法二：配方法 方程整理得：2�2 − 4� =− 1 �2 − 2� =− 1 2 �2 − 2� + 1 =− 1 2 + 1 （� − 1） 2 = 1 2 ……………………2分 解得：� − 1 = 2 2 或 � − 1 =− 2 2 ∴�1 = 1 + 2 2 ；�2 = 1 − 2 2 ……………………4 分 18.（本题满分 8 分） 解：（1）由图可得：�△��� = 1 2 × 2 × 2 ……………………2分 = 2； ……………………3分 九年级 数学科评分标准 第 2页 共 6页 （2）点C1（ − 1， − 3）； ……………………4分 ……………………7分（点 A1、B1、C1各 1 分） 如图所示，∆A1B1C1即为所求. ……………………8分 19.（本题满分 8 分） 解：（1） 0 ， 3 ……………………2分（每空 1 分） 描点、连线画出函数图象如图： … …………………5 分（描点正确 2 分，抛物线正确 1 分） 如图所示，抛物线即为所求. ……………………6 分 （2）﹣1≤�＜3 . ……………………8 分 20.（本题满分 8 分） 解：（1）小王：50+10+10=70（分） ……………………1 分 小李：50+50×10%=55（分），55+55×10%=60.5（分） ……………………2分 答：在第二次“大考”后，小王的数学成绩为 70 分，小李的数学成绩为 60.5 分. ……………………3分 （2）解：设平均增长率为�. 由题意可得 50（1 + �） 2 = 72 ……………………5 分 解得：�1 = 1 5 , �2 =− 11 5 < 0（舍去） ∴这两次数学成绩的平均增长率为 20%. ……………………6 分 ∴ 72 ×（1 + 20%） = 86.4（分） ……………………7分 ∴若平均增长率不变，第三次“大考”后的中考数学成绩是 86.4 分.……………………8 分 九年级 数学科评分标准 第 3页 共 6页 21.（本题满分 8 分） 解：（1）�2 = 5�，方程整理得：�（� − 5） = 0 ∵ �1 ≤ �2 ，解得�1 = 0，�2 = 5， ……………………2分 ∴ “两根点” P（0，5）； ……………………3 分 （2）方法一：利用公式法或十字相乘法解方程 ∵ �2 − (2� − 1)� + �2 −� = 0， ∴ (� − �)(� − �+ 1) = 0， ∵ �1 ≤ �2， ∴ �1 = �− 1，�2 = �， ……………………5分 ∴ �(� − 1,�)， ……………………6分 点 P在直线 y x  上， ∴ � =− �+ 1， ……………………7分 ∴ � = 1 2 ……………………8 分 方法二：利用一元二次方程根与系数的关系解决问题 ∵ �2 − (2� − 1)� + �2 −� = 0， ∴ �1 + �2 = 2� − 1 ……………………5 分 由题意得：点 P（�1，�2）在直线 y x  上 ∴ �1 + �2 = 2� − 1 = 0 ……………………7 分 ∴ � = 1 2 ……………………8 分 22.（本题满分 10 分） （1）解： ……………………4分（点 A′、O′各两分） 如图所示，△A′O′B即为所求； ……………………5分 （2）证明：连接 OO′ 由旋转的性质可得：∠BO′A′＝∠BOA＝120°，BO＝BO′，∠OBO′＝60° ……………………6 分 ∴△OBO′是等边三角形， ∴∠BOO′＝∠BO′O＝60°， ……………………7分 ∵∠COB＝∠BO′A′＝120°， ∴∠COO′＝∠COB+∠BOO′＝180°， ∠A′O′O＝∠BO′A′+∠BO′O＝180°， ……………………9 分 ∴点 C、O、O′和 A′四点共线． ……………………10 分 九年级 数学科评分标准 第 4页 共 6页 23.（本题满分 10 分） 解：（1）场景 A：把 (0,21)， (10,16)代入 20.04y x bx c    ， 得： 2 21 16 0.04 10 10 c b c        ， 解得 0.1 21 b c     ， ……………………2分（�、�各 1 分） 20.04 0.1 21y x x     ； ……………………3 分 场景 B：把 (0,21)， (5,16)代入 y ax c  ， 得： 21 5 16 c a c     ， 解得 1 21 a c     ， ……………………5分（�、�各 1 分） 21y x    ； ……………………6 分 ∴场景 A的函数表达式为 20.04 0.1 21y x x    ，场景 B的函数表达式为 21y x   ； （2）场景 B中： 当 3y  时， 3 21x   ，解得 18x  ， ……………………7分 场景 A中： (法一)当 3y  时， 23 0.04 0.1 21x x    ， 解得： 1 20x  ， 2 22.5x   （舍去）， ……………………9分 (法二)由函数图象可得：当 0 ≤ � ≤ 20时，�随�的增大而减小，且抛物线过（20,3） ∴ 当 3y  时，� = 20 ……………………9分 20 18 ， 化学试剂在场景 A下发挥作用的时间更长． ……………………10 分 24.（本题满分 12 分） 解：（1）BP＝CP′，理由如下： ……………………1分 ∵CB＝CA，∠BCA＝90°， ∴∠BCP+∠ACP＝90°， ∵将线段 CP绕点 C顺时针旋转 90° 得到 CP′， ∴CP＝CP′，∠PCP′＝90°， ……………………2分 ∴∠ACP′+∠ACP＝90°， ∴∠BCP＝∠ACP′， ∴△BCP≌△ACP′（SAS） ……………………3 分 ∴AP′＝BP； ……………………4分 （2）①当∠APB＝135° 时，则∠PAB+∠PBA＝180°−∠APB＝45°， ……………………5分 ∵CB＝CA，∠BCA＝90° 九年级 数学科评分标准 第 5页 共 6页 ∴∠CBA＝∠CAB＝45°，即∠PBA+∠PBC＝45°， ∴∠PAB＝∠PBC， ……………………6 分 ∵△BCP≌△ACP′， ∴∠PBC＝∠CAP′， ∴∠PAB＝∠CAP′， ……………………7 分 又∵∠CAB＝∠CAP+∠PAB＝45°， ∴∠CAP+∠CAP′＝45°，即∠P′AP＝45°. ……………………8分 ②PM=1 2 PP′，理由如下： ……………………9 分 延长 PM到 N，使 PM＝MN，连接 BN、AN， ∵M 为 AC 的中点，∴BM＝AM， ∴四边形 PBNA为平行四边形， ……………………10 分 ∴PN＝2PM，NA∥BP且 NA＝BP， ∴NA＝P′A，∠NAB＝∠PBA， ∵∠PAB+∠PBA＝45°， ∴∠NAB+∠PAB＝45°， ∴∠NAP＝45°＝∠P′AP， ∵AP＝AP，NA＝P′A， ∴△P'AP≌△NAP（SAS）， ……………………11 分 ∴PP′＝PN＝2PM， ∴PM=1 2 PP′． ……………………12 分 25.（本题满分 14 分） 解：（1）①∵抛物线 y＝x2+bx+c的顶点 P的横坐标为 1， ∴− � 2×1 ＝1， ……………………1分 解得：b＝−2． ……………………2 分 ∴y＝x2−2x+c， ∵抛物线 y＝x2−2x+c经过点 B（3，6）， ∴6＝32−2×3+c，解得：c＝3． ……………………3 分 ∴抛物线的解析式为 y＝x2−2x+3； ……………………4 分 九年级 数学科评分标准 第 6页 共 6页 ②由 y＝x2−2x+3＝（x−1）2+2得，顶点 P（1，2），对称轴是直线 x＝1. ……………………5 分 ∴点 B（3，6）关于对称轴 x＝1的对称点 B′的坐标为（−1，6），如图 1， ……………………6 分 ∵当 m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为 2，最大值为 6， ∴−1≤m≤1； ……………………8 分 （2）如图 2，由 PA＝PO，OA＝c，可得 PD＝� 2 ． ∵抛物线 y＝x2+bx+c的顶点坐标为 P（− � 2 ， 4�−�2 4 ）， ∴ 4�−�2 4 = � 2 ． ∴� = 1 2 �2． ……………………9分 ∴抛物线� = �2 + �� + 1 2 �2，�（0， 1 2 �2），�（ − 1 2 �， 1 4 �2），�（ − 1 2 �，0）． 可得直线 OP的解析式为 y＝− 1 2 ��． ……………………10 分 ∵点 B是抛物线� = �2 + �� + 1 2 �2与直线 y＝− 1 2 ��的图象的交点， 令− 1 2 �� = �2 + �� + 1 2 �2，解得�1 =− �，�2 =− 1 2 �． 可得点 B的坐标为（−�，1 2 �2）． ……………………11 分 由平移后的抛物线经过点 A（0， 1 2 �2），可设平移后的抛物线解析式为� = �2 +�� + 1 2 �2． 将点�（ − 1 2 �，0）的坐标代入� = �2 +�� + 1 2 �2，得 m＝3 2 �． 则平移后的抛物线解析式为� = �2 + 3 2 �� + 1 2 �2． ……………………12 分 令�＝0，即�2 + 3 2 �� + 1 2 �2 = 0． 解得�1 =− �，�2 =− 1 2 �． 依题意，点 C的坐标为（ − �，0）．则 BC＝1 2 �2．则 BC＝OA．……………………13 分 又∵BC∥OA， ∴四边形 OABC是平行四边形． ∵∠AOC＝90°， ∴四边形 OABC是矩形． ……………………14 分