假期作业十三 三角恒等变化及三角函数的应用-【快乐假期】2024-2025学年高一数学寒假作业

　　假期作业十三　三角恒等变换及三角函数的应用　　　　　　　　　　　　 １．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (１)sin(α±β)＝　　　　　　　　． (２)cos(α±β)＝　　　　　　　　． (３)tan(α±β)＝　　　　　　　　． ２．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (１)sin２α＝　　　　． (２)cos２α＝cos２α－sin２α＝　　　　　　　 ＝　　　　． (３)tan２α＝　　　　． ３．有关公式的变形、逆用 (１)公式 T(α±β)的变形: ①tanα＋tanβ＝　　　　　　　　; ②tanα－tanβ＝　　　　　　　　． (２)公式C２α的变形: ①sin２α＝１２ (１－cos２α); ②cos２α＝１２ (１＋cos２α)． (３)公式的逆用: ①１±sin２α＝(sinα±cosα)２; ②sinα±cosα＝ ２sinα±π４ æ è ç ö ø ÷． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．(１)sinαcosβ±cosαsinβ　(２)cosαcosβ∓ sinαsinβ　(３) tanα±tanβ １∓tanαtanβ ２．(１)２sinαcosα　(２)２cos２α－１　１－２sin２α (３)２tanα １－tan２α 　３．(１)tan(α＋β)(１－tanαtanβ) tan(α－β)(１＋tanαtanβ) １．三角函数是定义域到值域的多对一的映射, 时刻关注角的范围是防止增解的有效措施． ２．拆角、拼角技巧:２α＝(α＋β)＋(α－β),α＝(α＋β) －β,β＝ α＋β ２ － α－β ２ ,α－β ２ ＝α＋ β ２ æ è ç ö ø ÷－ α２＋β æ è ç ö ø ÷． ３．化简技巧:切化弦,“１”的代换等． ４．变角:设法沟通所求角与 已 知 角 之 间 的 关系． ５．变名:尽可能减少函数名称,其方法是“弦切 互化”“升幂与降幂”等． ６．变式:对式子变形要尽可能有理化、整式化、 降低次数等． １．cos２１５°－sin２１５°的值为 (　　) A．１２　　　B． ２ ２　　C． ３ ２　　D． ６ ２ ２．函 数 y ＝sin ２x＋π３ æ è ç ö ø ÷ 􀅰cos x－π６ æ è ç ö ø ÷ ＋ cos２x＋π３ æ è ç ö ø ÷ 􀅰sin π６－x æ è ç ö ø ÷ 的图象的一条对 称轴方程是 (　　) A．x＝π４　　　　　　B．x＝ π ２ C．x＝π D．x＝３π２ ３．若函数f(x)＝sin２x－１２ (x∈R),则f(x)是 (　　) A．最小正周期为π２ 的奇函数 B．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为２π的偶函数 D．最小正周期为π的偶函数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３􀅰 ４．y＝sin２x－π３ æ è ç ö ø ÷－sin２x的一个单调递增区 间是 (　　) A．－π６ ,π ３ é ë êê ù û úú B． π １２ ,７π １２ é ë êê ù û úú C．５π１２ ,１３π １２ é ë êê ù û úú D． π ３ ,５π ６ é ë êê ù û úú ５．已知sinα－π６ æ è ç ö ø ÷＝３５ ,则sin２α＋π６ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．１８２５　　B．－ １８ ２５　 　C． ７ ２５　　D．－ ７ ２５ ６．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数 学之父”,他倡导的“０．６１８优选法”在生产 和科研实践中得到了非常广泛的应用．黄金 分割比t＝ ５－１２ ≈０．６１８ ,现给出三倍角公 式cos３α＝４cos３α－３cosα,则下列有关t与 sin１８°的关系式正确的为 (　　) A．２t＝３sin１８° B．t＝２sin１８° C．t＝３sin１８° D．t＝４sin１８° ７．(多选)下面各式中,正确的是 (　　) A．sin π４＋ π ３ æ è ç ö ø ÷＝sinπ４cos π ３＋ ３ ２cos π ４ B．cos５π１２＝ ２ ２sin π ３－cos π ４cos π ３ C．cos －π１２ æ è ç ö ø ÷＝cosπ４cos π ３＋ ６ ４ D．cosπ１２＝cos π ３－cos π ４ ８．(多选)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的部分图 象如图,则它的振幅A 与最小正周期T 分 别是 (　　) A．A＝３ B．T＝５π３ C．T＝５π６ D．A＝ ３ ２ ９．已知α是第二象限角,sinα＋π３ æ è ç ö ø ÷＝－３５ ,则 cosα＝　　　　． １０．tan７０°＋tan５０°－３tan５０°tan７０°＝ 　． １１．将 函 数 f (x)＝ sin (ωx ＋ φ) ω＞０,－π２≤φ≤ π ２ æ è ç ö ø ÷图象上每一点的横 坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再 向右平移π ６ 个单位长度得到y＝sinx 的 图象,则f(x)的解析式为　　　　　　; f π６ æ è ç ö ø ÷＝　　　　． １２．已知α∈ π２ ,π æ è ç ö ø ÷,sinα＝ ５５． (１)求sin π４＋α æ è ç ö ø ÷的值． (２)求cos５π６－２α æ è ç ö ø ÷的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６３􀅰 １３．设函数f(x)＝sinx＋cosx(x∈R)． (１)求 函 数 y＝ fx＋π２ æ è ç ö ø ÷ é ë êê ù û úú ２ 的 最 小 正 周期． (２)求函数y＝f(x)f x－π４ æ è ç ö ø ÷在 ０,π２ é ë êê ù û úú上 的最大值． １４．近年来,我国逐渐用 风能等清洁能源替代 传统能源,目前利用 风能发电的主要手段 是风车发电．如图,风车由一座塔和三个叶 片组成,每两个叶片之间的夹角均为２π ３ , 现有一个风车,塔高１００米,叶片长４０米． 叶片按照逆时针方向匀速转动,并且每５ 秒旋转一圈,风车开始旋转时某叶片的一 个端点P 在风车的最低点(此时P 离地面 ６０米)．设点P转动t(秒)后离地面的距离为 S(米),则S关于t的函数关系式为S(t)＝ Asin(ωt＋φ)＋B(A＞０,ω＞０,|φ|＜π)． (１)求S(t)的解析式; (２)求叶片旋转一圈内点P 离地面的高度 不低于８０米的时长． １．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷,４)已知cos(α＋β)＝ m,tanαtanβ＝２,则cos(α－β)＝ (　　) A．－３m B．－m３ C．m３ D．３m ２．(２０２４􀅰上海卷,１４)下列函数中,最小正周 期是２π的是 (　　) A．y＝sinx＋cosx B．y＝sinxcosx C．y＝sin２x＋cos２x D．y＝sin２x－cos２x ３．(２０２３􀅰 新课标 Ⅱ 卷,１６)已 知 函 数 f(x)＝sin(ωx＋φ),如 图,A,B是直线y＝１２ 与曲线y＝f(x)的两个交点,若|AB|＝π６ ,则 f(π)＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７３􀅰 １３．解:(１)当θ＝－π６ 时, f(x)＝x２－２３３x－１＝ x－ ３ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ －４３ ,x∈[－１,３]． 所以当x＝ ３３ 时,f(x)取得最小值,为－４３ ; 当x＝－１时,f(x)取得最大值,为２ ３３ ． (２)函数f(x)＝(x＋tanθ)２－１－tan２θ的图象的对称轴 为x＝－tanθ． 因为y＝f(x)在区间[－１,３]上单调, 所以－tanθ≤－１或－tanθ≥ ３, 即tanθ≥１或tanθ≤－ ３． 又因为θ∈ －π２ ,π ２( )． 所以θ的取值范围是 －π２ ,－π３ ]∪ π ４ ,π ２[( )． １４．解:(１)因为f(x)＝cos２x－１＋１２cosx＋ １ ２ ＝cos２x＋１２cosx－ １ ２＝ cosx＋ １ ４( ) ２ －９１６ , cosx∈[－１,１],所以当cosx＝１时,f(x)max＝１, 当cosx＝－１４ 时,f(x)min＝－ ９ １６ , 所以函数f(x)的值域为 －９１６ ,１[ ]． (２)因为f(x)≤０,所以 cosx＋１４( ) ２ －９１６≤０ , 则－３４≤cosx＋ １ ４≤ ３ ４ , 所 以 －１≤cosx ≤ １２ ,得 f (x)≤０ 的 解 集 为 π ３＋２kπ ,５π ３＋２kπ[ ](k∈Z)． (３)当m＝－１２ 时,方程在 －π２ ,３π ２[ ] 内的实根最多,最 多有５个． 高考冲浪 １．C　[由题意可得:y＝２sin ３x－π６( ) 可知最小正周期T＝ ２π ３ ,画出y＝sinx和y＝２sin ３x－π６( ) 在[０,２π]上的函数 图象,观察即可得到６个交点．] ２．BC　[A错,代x＝０便知;B显然对,两者值域相同;C显 然对,两者最小正周期都为 π;D 错,前者对称轴为x＝ π ２＋kπ ,后者是x＝３π８＋kπ． ] ３．A　[f(x)＝sin３ωx＋π３( )＝sin(３ωx＋π) ＝－sin３ωx,由T＝２π３ω＝π ,得ω＝２３ , 即 f (x)＝ － sin ２x,当 x ∈ －π１２ ,π ６[ ] 时,２x ∈ －π６ ,π ３[ ], 画出f(x)＝－sin２x图象,如图, 由图 可 知,f(x)＝ －sin２x 在 －π１２ ,π ６[ ] 上单调递减, 所以,当x＝π６ 时, f(x)min＝－sin π ３＝－ ３ ２． ] 假期作业十三　三角恒等变换 及三角函数的应用 技能提升台　技能提升 １．C　[由题可知,cos２１５°－sin２１５°＝cos３０°＝ ３２． ] ２．C　[y＝sin ２x＋π３( )－ x－ π ６( )[ ]＝sin π ２＋x( ) ＝cosx,当x＝π时,y＝－１．] ３．D　[f(x)＝sin２x－１２＝ １ ２ (２sin２x－１) ＝－１２cos２x ,∴T＝２π２＝π ,f(x)为偶函数．] ４．B　[y＝sin ２x－π３( )－sin２x ＝sin２xcosπ３－cos２xsin π ３－sin２x ＝－１２sin２x－ ３ ２cos２x ＝－sin ２x＋π３( )．当x＝ π １２ 时,ymin＝－１; 当x＝７π１２ 时,ymax＝１． ∴f(x)的单调递增区间为 π１２ ,７π １２[ ] 且T＝π．] ５．C　[sin ２α＋π６( )＝sin π ２＋２α－ π ６( )[ ] ＝cos２α－π６( )[ ]＝１－２sin ２ α－π６( )＝ ７ ２５． ] ６．B　[由三倍角公式得cos５４°－４cos３１８°－３cos１８° ＝sin３６°＝２sin１８°􀅰cos１８°, 化简得４cos２１８°－３＝２sin１８°, ∴４sin２１８°＋２sin１８°＝０, 解得sin１８°＝ ５－１４ (负值舍去),∴t＝２sin１８°．] ７．ABC　[∵sinπ３＝ ３ ２ ,∴A正确; ∵cos５π１２＝－cos ７π １２＝－cos π ３＋ π ４( ),∴B正确; ∵cos －π１２( )＝cos π ４－ π ３( ),∴C正确; ∵cosπ１２＝cos π ３－ π ４( )≠cos π ３－cos π ４ ,∴D不正确．] ８．BD　[由图象可知最大值为３,最小值为０,故振幅为３２ , 半周期为π ２－ － π ３( )＝ ５π ６ ,故周期为５π ３． ] ９．解析:因为α是第二象限角,sinα＋π３( )＝－ ３ ５＜０ , 所以α＋π３ 是第三象限角,所以cosα＋π３( ) ＝－４５ ,所以cosα＝cos α＋π３( )－ π ３[ ] ＝１２cosα＋ π ３( )＋ ３ ２sinα＋ π ３( )＝－ ４＋３ ３ １０ ． 答案:－４＋３ ３１０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１５􀅰 １０．解析:∵tan７０°＋tan５０°＝tan１２０°(１－tan５０°􀅰 tan７０°)＝－ ３＋ ３tan５０°􀅰tan７０°, ∴原式＝－ ３＋ ３tan５０°􀅰tan７０°－ ３tan５０°􀅰tan７０° ＝－ ３． 答案:－ ３ １１．解析:将y＝sinx的图象向左平移π６ 个单位长度可得y ＝sinx＋π６( ) 的图象,保持纵坐标不变,横坐标变为原 来的 ２ 倍 可 得 y＝sin １２x＋ π ６( ) 的 图 象,故f(x) ＝sin １２x＋ π ６( ), 所以f π６( )＝sin １ ２× π ６＋ π ６( )＝sin π ４＝ ２ ２． 答案:f(x)＝sin １２x＋ π ６( )　 ２ ２ １２．解:(１)因为α∈ π２ ,π( ),sinα＝ ５５, 所以cosα＝－ １－sin２α＝－２ ５５ ． 故sin π４＋α( )＝sin π ４cosα＋cos π ４sinα ＝ ２２× － ２ ５ ５ æ è ç ö ø ÷＋ ２２× ５ ５＝－ １０ １０ ． (２)由(１)知sin２α＝２sinαcosα ＝２× ５５× － ２ ５ ５ æ è ç ö ø ÷＝－４５ , cos２α＝１－２sin２α＝１－２× ５ ５ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝３５ , 所以cos５π６－２α( )＝cos ５π ６cos２α＋sin ５π ６sin２α ＝ － ３２ æ è ç ö ø ÷×３５＋ １ ２× － ４ ５( )＝－ ４＋３ ３ １０ ． １３．解:(１)f(x)＝sinx＋cosx＝ ２sinx＋π４( ), y＝ f x＋π２( )[ ] ２ ＝ ２sinx＋３π４( )[ ] ２ ＝２sin２ x＋３π４( )＝１－cos２x＋ ３π ２( )＝１－sin２x, 所以T＝２π|ω|＝ ２π ２＝π． (２)y＝f(x)f x－π４( )＝ ２sin x＋ π ４( )􀅰 ２sinx ＝２sinx＋π４( )sinx ＝２sinx􀅰 ２ ２sinx＋ ２ ２cosx æ è ç ö ø ÷ ＝ ２sin２x＋ ２sinxcosx ＝ ２􀅰１－cos２x２ ＋ ２ ２sin２x ＝ ２２sin２x－ ２ ２cos２x＋ ２ ２ ＝sin ２x－π４( )＋ ２ ２ , 令２x－π４＝t ,x∈ ０,π２[ ],所以t∈ － π ４ ,３π ４[ ],所以 sint∈ － ２２ ,１[ ],故y∈ ０,１＋ ２２[ ], 所以函数y＝f(x)f x－π４( ) 在 ０, π ２[ ] 上的最大值为 １＋ ２２． １４．解:(１)以风车塔底为坐标原点建立如图 所示平面直角坐标系, 当t＝０时,风车开始旋转时某叶片的一个 端点P 在风车的最低点,设为P０, 则P０(０,６０), 由题意得ω＝２π５ , 且 A＋B＝１００＋４０, －A＋B＝１００－４０, S(０)＝Asinφ＋B＝６０, { 解得 A＝４０, B＝１００, φ＝－ π ２ , ì î í ï ï ïï 所以S(t)＝４０sin ２π５t－ π ２( )＋１００,t∈[０,＋∞)． (２)令S(t)≥８０, 则S(t)＝４０sin ２π５t－ π ２( )＋１００≥８０, 即cos２π５t≤ １ ２ , 所以２kπ＋π３≤ ２π ５t≤２kπ＋ ５π ３ (k∈Z), 解得５ ６＋５k≤t≤ ２５ ６＋５k (k∈Z)． 当k＝０时,５６≤t≤ ２５ ６ ,２５ ６－ ５ ６＝ １０ ３ , 所以叶片旋转一圈内点P 离地面的高度不低于８０米的 时长为１０ ３ 秒． 高考冲浪 １．A　[由tanαtanβ＝２,得sinαsinβ＝２cosαcosβ, cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－cosαcosβ＝m, 故cosαcosβ＝－m,所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ＝３cosαcosβ＝－３m．] ２．A　[对于A,sinx＋cosx＝２ ２ ２sinx＋ ２ ２cosx æ è ç ö ø ÷ ＝２sinx＋π４( ),则T＝２π,满足条件,故A正确; 对于B,sinxcosx＝１２sin２x ,则T＝２π２＝π ,不满足条件,故B 错误; 对于C,sin２x＋cos２x＝１,为常值函数,则不存在最小正周期, 不满足条件,故C错误; 对于D,sin２x－cos２x＝－cos２x,则T＝２π２＝π ,不满足条件, 故D错误,故答案选A．] ３．解析:设A x１, １ ２( ),B x２, １ ２( ),则ωx１＋φ＝ π ６ ,ωx２＋φ＝ ５π ６． 因为x２－x１＝ π ６ ,所 以ω＝４．由 曲 线y＝f(x)过 ２π ３ ,０( ),得 ４×２π３ ＋φ＝２π,即φ＝ － ２π ３ ,所以f(x)＝ sin４x－２π３( ),f(π)＝sin４π－ ２π ３( )＝－sin ２π ３＝－ ３ ２． 答案:－ ３２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２５􀅰