假期作业十一 任意角和弧度制、三角函数的概念及诱导公式-【快乐假期】2024-2025学年高一数学寒假作业

　　 假期作业十一　任意角和弧度制、 三角函数的概念及诱导公式 　　　　　　　　 １．角的有关概念 (１)从运动的角度看,可分为正角、　　　和 　　　． (２)从终边位置来看,可分为　　　　和轴 线角． (３)若α与β 角的终边相同,则β用α 表示为 β＝α＋２kπ(k∈Z)． ２．弧度的定义和公式 (１)定义:长度等于　　　　的弧所对的圆心 角叫做１弧度的角,弧度记作rad． (２)角度与弧度的换算:①１°＝ π１８０rad ; ②１rad＝ １８０π æ è ç ö ø ÷°． (３)弧长、扇形面积的公式． 设扇形的弧长为l,圆心角大小为α(rad), 半径为r,则l＝　　　　　,扇形的面积 为S＝１２lr＝ １ ２r ２α． ３．任意角的三角函数 (１)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位 圆交于点P(x,y),那么sinα＝　　,cosα ＝　　,tanα＝yx． (２)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数 的几何表示,正弦线的起点都在 　 上,余弦线的起点都是　　　　,正切线的 起点都是(１,０)． ４．同角三角函数的基本关系 (１)平方关系:sin２α＋cos２α＝１． (２)商数关系:tanα＝sinαcosαα≠ π ２＋kπ ,k∈Z æ è ç ö ø ÷． ５．六组诱导公式 一 二 三 四 五 六 角 ２kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α π２－α π ２＋α 正弦 sinα 　　　 　　　 　　　 　　　 　　 余弦 cosα 　　　 　　　 　　　 　　　 　　 正切 tanα 　　　 　　　 　　　 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变, 符号看象限 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．(１)负角　零角　(２)象限角 ２．(１)半径长　(３)r|α| ３．(１)y　x　(２)x轴　原点 ５．－sinα　－sinα　sinα　cosα　cosα －cosα　cosα　－cosα　sinα　－sinα　 tanα　－tanα　－tanα １．三角函数值在各象限的符号规律:一全正、 二正弦、三正切、四余弦． ２．在利用三角函数定义时,点P 可取终边上 任一 点,如 有 可 能 则 取 终 边 与 单 位 圆 的 交点． ３．利用诱导公式进行化简求值时,要注意函数 名称和符号的确定．在利用同角三角函数的 平方关系时,若开方,要注意判断三角函数 值的符号． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９２􀅰 １．已知sinθcosθ＜０,那么角θ是 (　　) A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第一或第四象限角 ２．已知扇形的周长是６cm,面积是２cm２,则 扇形的圆心角的弧度数是 (　　) A．１或４　　B．１　　　C．４　　　D．８ ３．已知α∈ π２ ,π æ è ç ö ø ÷,且sinα＝３５ ,则tanα＝ (　　) A．３４ B．－ ３ ４ C． ４ ３ D．－ ４ ３ ４．若θ是△ABC 的一个内角,且sinθcosθ＝ －１８ ,则sinθ－cosθ的值为 (　　) A．－ ３２ B． ３ ２ C．－ ５ ２ D． ５ ２ ５．已知α为锐角,cosα＝１＋ ５４ ,则sinα２＝ (　　) A．３－ ５８ B． －１＋ ５ ８ C．３－ ５４ D． －１＋ ５ ４ ６．若函数f(x)同时满足:①对于定义域内任 意实数x,都有f(１＋x)＋f(１－x)＝０; ②对于定义域内任意实数x１,x２,当x１≠x２ 时,恒有(x１－x２)􀅰[f(x１)－f(x２)]＞０,则 称函数f(x)为“DM 函数”．若“DM 函数” f(x)满足f(２－sinα)＋f(cosα)＞０,则锐 角α的取值范围为 (　　) A．０,π４ æ è ç ö ø ÷ B．０,π３ æ è ç ö ø ÷ C．π４ ,π ３ æ è ç ö ø ÷ D．π４ ,π ２ æ è ç ö ø ÷ ７．(多选)已知f(x)＝sinx,下列式子中不成 立的是 (　　) A．f(x＋π)＝sinx B．f(２π－x)＝sinx C．fx－π２ æ è ç ö ø ÷＝－cosx D．f(π－x)＝－f(x) ８．(多选)若角α的终边在直线y＝－２x上,则 sinα＝ (　　) A．－２ ５５ B．± ５ ５ C．２ ５５ D．± １ ２ ９．已知α的终边经过点(３a－９,a＋２)且cosα ≤０,sinα＞０,则a的取值范围是　　　　． １０．已知tanα＝４３ ,且α 为第一象限角,则 sin(π＋α)＋cos(π－α)＝　　　　． １１．已知角θ的终边过点(４,－３),则cos(π－θ)＝ 　　　　, sinθsinθ＋cosθ＝　　　　． １２．已知cos π２＋θ æ è ç ö ø ÷＝１２ ,求 cos(３π＋θ) cosθ[cos(π＋θ)－１] ＋ cos (θ－４π) cos(θ＋２π)cos(３π＋θ)＋cos(－θ) 的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０３􀅰 １３．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝ ２３ π ２＜α＜π æ è ç ö ø ÷． 求下列各式的值: (１)sinα－cosα． (２)sin３ π２－α æ è ç ö ø ÷＋cos３ π２＋α æ è ç ö ø ÷． １４．已知sinθ＋cosθ＝１５ ,其中θ是△ABC 的 一个内角． (１)求sinθcosθ的值,并判断△ABC 是锐 角三角形还是钝角三角形; (２)求sinθ－cosθ的值． １．(２０２４􀅰全国甲卷(文),９)已知 cosαcosα－sinα ＝ ３,则tanα＋π４ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．２ ３＋１ B．２ ３－１ C．３２ D．１－ ３ ２．(２０２４􀅰北京卷,１２)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边 关于原点对称．若α∈ π６ ,π ３ é ë êê ù û úú,则cosβ的最 大值为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３􀅰 假期作业十一　任意角和弧度制、 三角函数的概念及诱导公式 技能提升台　技能提升 １．C　[由题意知,sinθcosθ＜０,所以角θ在第二或第四 象限．] ２．A 　 [设 扇 形 的 半 径 和 弧 长 分 别 为 r,l,则 易 得 l＋２r＝６, １ ２lr＝２ ,{ 解得 l＝４,r＝１,{ 或 l＝２,r＝２．{ 故扇形的圆心角的弧度 数是４或１．] ３．B　[α∈ π２ ,π( ),且sinα＝３５,∴cosα＜０, cosα＝－ １－sin２α＝－ １－ ３５( ) ２ ＝－４５ , ∴tanα＝sinαcosα＝－ ３ ４． ] ４．D　[由题意知θ∈ π２ ,π( ),所以sinθ－cosθ＞０, sinθ－cosθ＝ (sinθ－cosθ)２ ＝ １－２sinθcosθ＝ ５２． ] ５．D　[由半角公式可知sin２ α２＝ １－cosα ２ , 解得sinα２＝ ５－１ ４ ． ] ６．A　[由(x１－x２)􀅰[f(x１)－f(x２)]＞０,可知函数y＝ f(x)是增函数．由f(１＋x)＋f(１－x)＝０,得f(１＋x)＝ －f(１－x)．由题设得f(２－sinα)＞－f(cosα)． 又∵－f(cosα)＝－f(１－(１－cosα)) ＝f(１＋(１－cosα)),∴f(２－sinα)＞f(２－cosα)． ∵函数y＝f(x)是增函数, ∴２－sinα＞２－cosα,即sinα＜cosα． 又∵α为锐角,则cosα＞０,∴０＜tanα＜１,则α的取值范 围是 ０,π４( )．] ７．ABD　[f(x＋π)＝sin(x＋π)＝－sinx,f(２π－x)＝ sin(２π－x)＝ －sinx,f x－π２( ) ＝sin x－ π ２( ) ＝ －sinX π２－x( )＝－cosx,f(π－x)＝sin(π－x)＝sinx ＝f(x)．故 A,B,D不成立．] ８．AC　[在α的终边上任取一点P(－１,２),则r＝ １＋４＝ ５,所以sinα＝yr ＝ ２ ５ ＝２ ５５ ． 或者取P′(１,－２),则r＝ １＋４＝ ５,所以sinα＝yr ＝－ ２ ５ ＝－２ ５５ ． ] ９．解析:由 cosα≤０ , sinα＞０,{ 得 ３a－９≤０, a＋２＞０,{ ∴－２＜a≤３．即a的取值范围是(－２,３]． 答案:(－２,３] １０．解析:∵tanα＝４３ ,α为第一象限角, ∴sinα＝４５ ,cosα＝３５ , ∴sin(π＋α)＋cos(π－α)＝－sinα－cosα＝－７５． 答案:－７５ １１．解析:∵角θ的终边过(４,－３), ∴cosθ＝４５ ,sinθ＝－３５． ∴cos(π－θ)＝－cosθ＝－４５． sinθ sinθ＋cosθ＝ －３５ －３５＋ ４ ５ ＝－３． 答案:－４５　－３ １２．解:因为cos π２＋θ( )＝－sinθ,所以sinθ＝－ １ ２． 原式＝ －cosθcosθ(－cosθ－１)＋ cosθ cosθ(－cosθ)＋cosθ ＝ １１＋cosθ＋ １ １－cosθ＝ ２ １－cos２θ ＝ ２ sin２θ ＝８． １３．解:由sin(π－α)－cos(π＋α)＝ ２３ , 得sinα＋cosα＝ ２３ ,两边平方, 得１＋２sinα􀅰cosα＝２９ ,故２sinα􀅰cosα＝－７９． 又∵π２＜α＜π ,∴sinα＞０,cosα＜０． (１)(sinα－cosα)２＝１－２sinα􀅰cosα ＝１－ －７９( )＝ １６ ９ , ∴sinα－cosα＝４３． (２)sin３ π２－α( )＋cos ３ π ２＋α( )＝cos ３α－sin３α ＝(cosα－sinα)(cos２α＋cosα􀅰sinα＋sin２α) ＝－４３× １－ ７ １８( )＝－ ２２ ２７． １４．解:(１)由sinθ＋cosθ＝１５ ,等式两边平方 得sin２θ＋cos２θ＋２sinθcosθ＝１２５ , 即１＋２sinθcosθ＝１２５ , 所以sinθcosθ＝－１２２５． 由θ是△ABC的一个内角,得０＜θ＜π,则sinθ＞０, 而sinθcosθ＜０,则cosθ＜０,有π２＜θ＜π , 所以△ABC是钝角三角形． (２)由(１)知,sinθ＞０＞cosθ, sinθcosθ＝－１２２５ , 所以sinθ－cosθ＝ (sinθ－cosθ)２ ＝ sin２θ＋cos２θ－２sinθcosθ ＝ １－２× －１２２５( ) ＝ ７ ５． 高考冲浪 １．B　[因为 cosαcosα－sinα＝ ３ ,所以tanα＝１－ ３３ , tanα＋π４( )＝ tanα＋１ １－tanα＝２ ３－１． ] ２．解析:∵α∈ π６ ,π ３[ ],∴cos π ３≤cosα≤cos π ６ , 即１ ２≤cosα≤ ３ ２ ,又β－α＝π＋２kπ,k∈Z, ∴cosβ＝cos(α＋π＋２kπ)＝cos(α＋π)＝－cosα, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９４􀅰 ∴－ ３２≤cosβ≤－ １ ２ ,∴cosβ的最大值为－ １ ２． 答案:－１２ 假期作业十二　三角函数的 图象与性质 技能提升台　技能提升 １．D　[A是非奇非偶函数,故排除;B是偶函数,但没有零 点,故排除;C是奇函数,故排除;y＝cosx是偶函数,且有 无数个零点．] ２．B　 ３．D　[因为f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间 π ６ ,２π ３( ) 单调递增, 所以T ２＝ ２π ３－ π ６＝ π ２ ,且ω＞０, 则T＝π,ω＝２πT＝２ , 当x＝π６ 时,f(x)取得最小值, 则２􀅰π６＋φ＝２kπ－ π ２ ,k∈Z, 则φ＝２kπ－ ５π ６ ,k∈Z, 不妨取k＝０,则f(x)＝sin ２x－５π６( ), 则f －５π１２( )＝sin － ５π ３( )＝ ３ ２． ] ４．A ５．C　[a＝cos９π５＝cos ９π ５－２π( )＝cos － π ５( ) ＝cosπ５＝sin ３π １０ , b＝sin２０π７ ＝sin ２π＋ ６π ７( )＝sin ６π ７＝sin π ７ ,因为y＝sinx 在 ０,π２( ) 上 单 调 递 增,所 以 sin π ７ ＜sin ３π １０ ,又 c＝ tan１９π３ ＝tan ６π＋ π ３( )＝tan π ３＝ ３ , 所以b＜a＜１＜c．] ６．B　 [对 于 甲:因 为 y＝tant 的 单 调 递 增 区 间 为 －π２＋kπ ,π ２＋kπ( ),k∈Z,t＝x＋θ关于x 单调递增, 所以不存在任何区间使得f(x)单调递减,故甲错误． 对于乙:因为y＝tanx的图象不存在对称轴, 而函数f(x)＝tan(x＋θ)的图象是由函数y＝tanx的图象 向左平移θ个单位长度得到的, 所以函数f(x)＝tan(x＋θ)的图象也不存在对称轴,故乙 错误． 由题意甲、乙、丙、丁四人对函数f(x)的论述中有且只有 两人正确, 故只能丙、丁论述正确． 若丙论述 正 确,即 当x∈ －π２ ,０( ) 时,函 数f(x)单 调 递增, 则当０＜θ≤π２ 时,t＝x＋θ∈ －π２＋θ ,θ( ) 且t关于x 单 调递增, 由复合函数单调性可知此时应该有 －π２≤－ π ２＋θ , θ≤π２ , ì î í ïï ï 解得０≤θ≤π２ , 所以此时０＜θ≤π２ 满足题意; 当π ２＜θ＜π 时,t＝x＋θ∈ －π２＋θ ,θ( ) 且t关于x 单调 递增, 但０＜－π２＋θ＜ π ２＜θ ,即存在t＝x＋θ∈ －π２＋θ ,θ( ), 使得y＝tant无意义, 所以此时π ２＜θ＜π 不满足题意, 综上所述,满足题意的θ的取值范围为 ０,π２( ]． 若丁论述正确,则π ６＋θ＝ kπ ２ ,k∈Z, 解得θ＝kπ２－ π ６ ,k∈Z, 结合θ的取值范围 ０,π２( ] 可知,只能k＝１,θ＝ π ３． 综上所述,实数θ的值为π３． ] ７．BCD　[对于 A,∵cos４x＋π２( )＝cos(２π＋４x)＝ cos４x,∴T＝π２ ;对于B,∵sin２x＋π２( )＝sin(π＋２x) ＝－sin２x,∴T≠π２． 同理可知C,D的周期均不是π２． ] ８．ABC　[由题意,可得f(x)＝－cosx,根据余弦函数的图 象可知 D是错误的,A,B,C是正确的．] ９．解析:f(１)＋f(２)＋􀆺＋f(８)＝０,f(９)＋f(１０)＋􀆺＋f(１６) ＝０,依此循环,f(１)＋f(２)＋􀆺＋f(１００) ＝０＋f(９７)＋f(９８)＋f(９９)＋f(１００) ＝ ２＋１． 答案:２＋１ １０．解析:y＝１＋２sin π６－x( ) ＝１－２sin x－ π ６( )．令u＝ x－π６ ,根据复合函数的单调性可知,所给函数的单调递 增区间就是y＝sinu 的单调递减区间．令 π２ ＋２kπ≤ x－π６≤ ３π ２＋２kπ (k∈Z),得２π３＋２kπ≤x≤ ５π ３＋２kπ (k∈Z), 故 函 数 y＝１＋２sin π６－x( ) 的 单 调 递 增 区 间 是 ２π ３＋２kπ ,５π ３＋２kπ[ ](k∈Z)． 答案:２π ３＋２kπ ,５π ３＋２kπ[ ](k∈Z) １１．解 析:由 题 意 知 a＋b＝１ , －a＋b＝－３,{ 或 a＋b＝－３, －a＋b＝１,{ 解 得 a＝２, b＝－１,{ 或 a＝－２, b＝－１．{ 故函数g(x)的最大值为a－b＝a＋１, 即最大值为３或－１,函数g(x)的最小值为a＋b＝a－１,即最 小值为１或－３． 答案:－１或３　１或－３ １２．解:当x∈ －π２ ,π ２[ ] 时, g(x)＝f x２( )＝cosx＋ π ３( )． 因为x＋π３∈ － π ６ ,５π ６[ ], 所以由g(x)＝ ３２ ,解得x＋π３＝－ π ６ 或π ６ , 即x＝－π２ 或－π６． 又因为g(x)的最小正周期为π, 所以g(x)＝ ３２ 的解集为 x x＝kπ－π２ 或x＝kπ－π６ ,k∈Z{ }． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０５􀅰