假期作业九 对数与对数函数-【快乐假期】2024-2025学年高一数学寒假作业

假期作业九　对数与对数函数　　 以下１－５题中,a＞０,M＞０,N＞０,n∈R． １．对数式与指数式的转化:ax＝N,则logaN＝ 　　　． ２．loga１＝　　　　　,loga ＝　　　　　, alogaN＝　　　　　． ３．loga(M􀅰N)＝　　　　　,loga M N ＝　　 　　　,logaMn＝　　　　． ４．换底公式logaN＝　　　　． ５．对数函数y＝logax(a＞０且a≠１)的图象与 性质 a＞１ ０＜a＜１ 图 象 性 质 定义域　　　　 值域　　　　 单调性　　　　 定义域　　　　 值域　　　　 单调性　　　　 函数图象都过点　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．x　２．０　１　N　３．logaM＋logaN　logaM －logaN　nlogaM　４． logbN logba 　５．(０,＋∞) R　在(０,＋∞)上为增函数　(０,＋∞)　R 在(０,＋∞)上为减函数　(１,０) 底数对对数函数图象的影响以及图象的特点 (１)依据:对数函数y＝logax(a＞０且a≠０)的 图象与直线y＝１的交点是(a,１)． (２)对图象的影响:比较图象与y＝１的交点, 交点的横坐标越大,对应的对数函数的底 数越大．也就是说,沿直线y＝１由左向右 看,底数a增大(如图)． (３)对数函数图象的特点:函数y＝logax(a＞０ 且a≠１)的图象无限靠近y 轴,但永远不 会与y轴相交;在同一坐标系内,y＝logax (a＞０且a≠１)的图象与y＝log１ax(a＞０且 a≠１)的图象关于x轴(即直线y＝０)对称． １．计算２log６３＋log６４的结果是 (　　) A．log６２　　　　　　　B．２ C．log６３ D．３ ２．函数f(x)＝ １ln(x＋１)＋ ４－x ２的定义域为 (　　) A．[－２,０)∪(０,２] B．(－１,０)∪(０,２] C．[－２,２] D．(－１,２] ３．函 数 y＝logax,y＝ logbx,y＝logcx,y＝ logdx 的图象如图所 示,则a,b,c,d 的大 小顺序是 (　　) A．c＜d＜１＜b＜a B．d＜c＜１＜a＜b C．１＜d＜c＜a＜b D．c＜d＜１＜a＜b 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２􀅰 ４．设a＝log２０．３,b＝log１２０．４,c＝０．４ ０．３,则a, b,c的大小关系为 (　　) A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b ５．荀子«劝学»中说:“不积跬步,无以至千里; 不积小流,无以成江海．”所以说学习是日积 月累的过程,每天进步一点点,前进不止一 小点．我们可以把(１＋１％)３６５看作是每天的 “进 步”率 都 是 １％,一 年 后 是 １．０１３６５ ≈ ３７．７８３４;而把(１－１％)３６５看作是每天的 “退 步”率 都 是 １％,一 年 后 是 ０．９９３６５ ≈ ０．０２５５．这样,一年后的“进步值”是“退步 值”的１．０１ ３６５ ０．９９３６５ ≈１４８２倍．那么当“进步值”是 “退步值”的５倍时,大约经过(参考数据: lg１０１≈２．００４３,lg９９≈１．９９５６,lg２≈０．３０１０) (　　) A．７０天 B．８０天 C．９０天 D．１００天 ６．已知函数f(x)＝ (２－a)x－３a＋３,x＜１, logax,x≥１{ 满足 x１≠x２ 时恒有 f(x１)－f(x２) x１－x２ ＞０成立,那么 实数a的取值范围是 (　　) A．(１,２) B．１,５４ æ è ç ù û úú C．(１,＋∞) D．５４ ,２é ë êê ö ø ÷ ７．(多选)函数f(x)＝loga(x＋２)(０＜a＜１) 的图象过 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ８．(多选)下列函数不满足f(log３２)＝f(log２３) 的有 (　　) A．f(x)＝２x＋２－x B．f(x)＝x２＋２x C．f(x)＝x ２＋１ x D．f (x)＝x－１x＋１ ９．计算log２３􀅰log３４＋８ ２ ３＋log１３２７＝　　　　． １０．设g(x)＝ ex,x≤０, lnx,x＞０,{ 则gg １ ２ æ è ç ö ø ÷ æ è ç ö ø ÷＝　　　． １１．函数y＝２x－log１２ (x＋１)在区间[０,１]上 的最大值为　　　　,最小值为　　　　． １２．(１)已知loga １ ２＞１ ,求a的取值范围． (２)已知log０．７２x＜log０．７(x－１),求x的取 值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２􀅰 １３．已知函数f(x)＝loga x＋１ x－１ (a＞０且a≠１)． (１)求f(x)的定义域． (２)判断函数的奇偶性和单调性． １４．已知函数f(x)＝loga m x－１ æ è ç ö ø ÷的图象恒过 定点(１,０),其中a＞０且a≠１． (１)求实数m的值,并研究函数y＝f(x＋１) 的奇偶性; (２)函数g(x)＝loga x＋ k２＋k＋２ x －２ (k＋１)é ë êê ù û úú, 关于x的方程f(x)＝g(x)恰有唯一解,求 实数k的取值范围． １．(２０２４􀅰北京卷,７)生物丰富度指数d＝ S－１ lnN 是河流水质的一个评价指标,其中S, N 分别表示河流中的生物种类数与生物个 体总数,生物丰富度指数d越大,水质越好． 如果某河流治理前后的生物种类数S 没有 变化,生物个体总数由 N１ 变为 N２,生物丰 富度指数由２．１提高到３．１５,则 (　　) A．３N２＝２N１ B．２N２＝３N１ C．N２２＝N３１ D．N３２＝N２１ ２．(２０２４􀅰全国甲卷(文),１５)已知a＞１且 １ log８a － １loga４ ＝－５２ ,则a＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２􀅰 火曼快乐暖湖 c900 高考冲浪 1.B [f(r)=-2+(e-e)sinr. (2)aVa÷a8.√a(a>0 f(-t)=-(-x)2+(e-er)sin(-x) =(a·a)÷(a号，a) =-x2+(e-e-)sin r=f(r) =af÷ai=l. ∴y=f(x)为偶函数，排除A,C: 2 13.解：1)fx)=1+22-1≠0r≠0. ∴.函数f(x)的定义域为{xx∈R,且x≠0. =e-ef->0… (2)证明：任意设x1x2∈（一∞，0）且t1<r2: fx1)-fx)=24-12- 2 2 故排除D,B正确.] 2.C[由题意可知所得利润y=25.x-(3000+20x 2(2-2) 0.1.x2)=0.1x2+5.x-3000, =2(2,-D 可见函数在区间0<x≤220上是增函数. x1x2∈(-o∞，0)且x1<x2· 当x=220时，利润最大，ymx=0.1×2202+5×220- .2>25且2<1.2<1. 3000=2940(万元).] .f(x1)-f(x2）>0,即f(x1)>f(x2). 假期作业八 指数与指数函数 .函数f(x)在（一∞.0）上为减函数. 14.(1)证明：设xx2是R上任意两个实数，且x2>x1, 技能提升台技能提升 1.D 则->0，f(x)-f()=51-25-」 25+12,+1 2.D[①中底数一8<0，所以不是指数函数：②中指数不是 自变量x,所以不是指数函数：③中，只有规定a>0且a 2(25-25) ≠1时，才是指数函数：④中3前的系数是2，而不是1， (25+1)(25+1) 所以不是指数函数，门 x2>x1.2>2.2-2>0. 3.B 又(25+1)(25+1)>0，∴.f(x2)-f(x1)>0, .B[:<21<4台21<2r1<2台-1Kx+1<2 f(x)是R上的增函数. 2解：-1行 2 台-2<x<1,∴.N={x-2<x<1,x∈Z}={-1,0}. 2+1 又：M={-1,1,∴.M∩N={-1}.] 5.A[函数y=二的定义战（一0，十e四）关于原点对 +1>102.脚-2240… 2r+1 2∠1 .-1<1-2+1 称，且-=2二12安11-2 1 ∴.f(x)的值城为(-1,1). 2+1+11+2 (3)g(x)为偶函数. x_2+1 =一(x),所以该函数是奇函数.] 由题意知g(x)=7一2·r, 6.B[由函数y=x是增函数，且1.44<√3，故1.44F< 函数g(.x)的定义域为(-o∞，0)U(0,十∞)， (3),即c>a；又函数y=1.2r是增盛数，所以1.44回 g(-)=(-).名(-.1+2 2f-1 =(1.22)E=1.22>1.25.即a>b.故c>a>b.] 1-2 2+1 7.BC[由W/一a.x成立可知-a.x3≥0，当a>0时，得x3≤0， 24-ig(), =I 即x≤0.因此√一ax=V√一ar·x=√一ac·√元= 画数g(x)为偶函数 √一a.x·x=-x√一a.x,同理，当a<0时√/-ax3 高考冲浪 x√az,故选B.C.] 1.B[因为y=4.2在R上递增，且-0.3<0<0.3， 8.BD[由指数函数的定义得函数y=2一1不是指数函数， 所以0<4.2-0,3<4.20<4.20.3， 所以0<4.2-03<1<4.20.3，即0<a<1<h, -x+2x A错误：函数y= ,设4(x)=-x2+2x= 因为y=l0g.2x在(0，+∞)上递增.且0<0.2<1， 所以1og1.20.2<1og4.21=0,即c<0, 一（x-1)2+1,则u(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1.十∞) 所以b>a>c.] 上单调递减，又y= (付)广在R上单调递减，国光画数y 2.D[由y=1.01r在R上递增， 则u=L.010.5<b=1.0106, () +2t 的单调递增区间是(1，十∞)，B正确：当0 由y=x0.5在(0，十0∞)上递增，期a=1.0105>c=0.65. 所以b>a>c.故选D.] <a<1时，由am>a”,得m<n,C错误；在函数f(x) 假期作业九 a-2-3(a>0,a≠1)中，由x-2=0,得x=2,f(2)=a0 对数与对数函数 -3=1-3=一2，即函数f(x)的图象必过定点(2，-2)， 技能提升台技能提升 D正确.] 1.B2.B 9.4a10.0<h<a<1<d<c 3.D[由图可知，直线y=1与x轴上半部分图象交，点的横 (合） 坐标从小到大依次为c,d,a,b,由此可知0<c<d<1< (1,十∞) a<b. 12.解：1(3)-(8.14-x)+1反-21-22 4.D[log20.3<1og21=0,∴.a<0, 2+2 :log40.4=-1log30.4=l0g:号>1og2=1. =-3-1+2-2-2(22@ .b>1. 4-2 0<0.40.3<0.40=1,.0<c<1 =-2-√2-(2-2)=-4. a<c<6. ·46· 三022 高一数学的) 5.B[设x天后的“进步值”是“递步值”的5倍，则0L =5 0.99- a>1时，f(x)=log 中()=5：两边同时取时得()了=g5化简 调递减； 当0<<1时，/x)=l0g,在(-oo,-1D.1,+o∞)上 得ig(0)了=k0=g1o1-g9)=lg5· x-1 单调递增。 所以x lg 5 1-lg2 1g101-1g99 1g101-1g99 14.)国为通数)=1g(性-)的图象恒过定点1,0， 1-0.3010 所以1og(m-1)=0,则m-1=1.得m=2, 2.0043-1.9956≈80. 故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天，门 所以=og(层-1 6.D[因为画数f(x)满足≠时恒有)-20 所以y=f+)=log(异一）log青 x12 成立，所以函数f)=2-a)r3知+3<1·在R上 由>0，得-1<<1，即y=fx+1D的定义找为 logar,x≥1 (一1,1)，关于原点对称。 2-a>0, 单调递增，应有 a>1, 解得 1-x h()=f(r+1)-log. (2-a)-3a+3≤1og1. ae[2门 因为(-)=g者=lg() 7.BCD 8.ABD [由于log2= 0g23故问题等价于满足f(x) 所以h(x)为奇函数，即函数y=f(x十1)为奇函数. f()的画数，对于A选预（日）-2+2≠ 2由fx)=g,得1og(是-） =1ogr+++2-2+1D, 不特合题意：对于B选项f(）子+是≠，不符 x 2+2+6+2-2k+1D= 一1 合通意：对于C选项x)=x+子f(）是十r 所以 2-1>0. 1 由2-1>0，样2>0，解特0<<2 由r+2++2-2k+1D=2-1, f(x),不符合题意.故选A,B,D.] T 93101.31 得x2+k2+k+2-2(k十1)x=2-x, 整理得x2一(2k+1)x十k2+k=0, 得(x-k)[x一(k+1)]=0. 12.解：由1og.>1.得1og。号>1oga. 解得x=k或x=k十1. ①当a>1时，有a<号此时a∈： 因为关于x的方程f(x)=g(x)恰有唯一解， ②当0<a<1时，有<a,从而<a<1 所a合12 解得1≤k<2(舍去)或一1<k≤0. 六的取值范国是（合） 综上，实数k的取值范围为（一1,0们. 高考冲浪 (2),函数y=1og0.7x在(0，十∞)上为减函数， 2.1=S-1 logo.72x<logo.7(r-1), In Ni' 1.D[由题意可得 2.x>0, S-1 得{x-1>0,解得x>1. 3.15=nN2 2.x>x-1. 两式相除得2.1lnN1=3.15lnN2, 13.解：(1)要使此画数有意义，则有十0：或 所以lnN1=lnV经15，即1=N修5，故(V)小.= {x-1>0, (N4).6,即N-Ng.] +10解得>1或x<-1, 1 1 3 1 5 x-1<0, 之解折：国为og。0限一og。一专ou=一受，所以 此函数的定义域为（一∞，一1）U(1,十∞， (log2a十1)(log2a-6)=0,而a>1,故log2a=6,a=64. 答案：64 2-)=lglo司 假期作业十 函数的应用（二） =-l告-)为寺画数。 技能提升台技能提升 1.D2.C fc)=g告le+名)函数u=1+名 3.D[对于A,显然f(.x)=lnx十x在定义域上单调递增， 在区间（一00，一1）和区间(1，十0∞)上单调递减.所以当 且（日）-1+是<0）=1>0，可以使月二分法， ·47·