假期作业六 函数的基本性质-【快乐假期】2024-2025学年高一数学寒假作业

　　假期作业六　函数的基本性质　　　　　　　　　 １．函数的单调性 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I, 对于任意x１,x２∈D,且x１＜x２,则有: (１)f(x)在区间D上单调递增⇔　　　　　　． (２)f(x)在区间D上单调递减⇔　　　　　　． ２．单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D 上是　　　　或 　　　　,则称函数y＝f(x)在这一区间上 具有(严格的)单调性,　　　　叫做y＝ f(x)的单调区间． ３．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存 在实数 M, 满足 条件 ①对于任意x∈I, 都有　　　　; ②存在x０∈I,使 得　　　　 ①对 于 任 意 x∈ I,都有　　　　; ②存在x０∈I,使 得　　　　 结论 M 为最大值 M 为最小值 ４．函数的奇偶性 奇偶性 定　义 图象特点 偶 函 数 如果对于函数f(x)的定 义域内任意一个x,都有 　 　 　 　,那 么 函 数 f(x)是偶函数 关 于 　 　 　　对称 奇 函 数 如果对于函数f(x)的定 义域内任意一个x,都有 　 　 　 　,那 么 函 数 f(x)是奇函数 关 于 　 　 　　对称 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．(１)f(x１)＜f(x２)　(２)f(x１)＞f(x２) ２．单调递增　单调递减　区间D　３．①f(x)≤M ②f(x０)＝M　①f(x)≥M　②f(x０)＝M ４．f(－x)＝f(x)　y轴　f(－x)＝－f(x)　原点 函数的奇偶性与单调性的关系 (１)奇函数在对称区间上的单调性相同． (２)偶函数在对称区间上的单调性相反． (３)在公共区域上:增＋增＝增,减＋减＝减, 增－减＝增,减－增＝减． １．函数f(x)＝(x)２ 是 (　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 ２．若奇函数f(x)在[１,３]上为增函数,且有最 小值０,则它在[－３,－１]上 (　　) A．是减函数,有最小值０ B．是增函数,有最小值０ C．是减函数,有最大值０ D．是增函数,有最大值０ ３．设函数f(x)＝２x(x－a)在区间(０,１)上单调递 减,则a的取值范围是 (　　) A．(－∞,－２] B．[－２,０) C．(０,２] D．[２,＋∞) ４．设f(x)是定义在[－６,６]上的偶函数,且f(４) ＞f(１),则下列各式一定成立的是 (　　) A．f(０)＜f(６) B．f(４)＞f(３) C．f(２)＞f(０) D．f(－１)＜f(４) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１􀅰 ５．已知函数f(x)为定义在 R上的偶函数,当 x２＜x１≤０时,[f(x２)－f(x１)](x２－x１)＜０恒 成立,设a＝f(－２),b＝f(－１),c＝f(３), 则a,b,c的大小关系为 (　　) A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＞a＞b D．b＞c＞a ６．已知f(x)是定义在R上的增函数,则 (　　) A．函数f(x)＋f(－x)为奇函数,且在R上 是增函数 B．函数f(x)＋f(－x)为偶函数,且在R上 是减函数 C．函数f(x)－f(－x)为奇函数,且在R上 是增函数 D．函数f(x)－f(－x)为偶函数,且在R上 是减函数 ７．(多选)已知函数y＝x２－２x＋３在区间[０,m]上 有最大值３、最小值２,则m的值可以是 (　　) A．１　　　B．２　　　　C．３　　　D．４ ８．(多选)下列函数中,既是偶函数又在区间 (０,＋∞)上单调递增的是 (　　) A．y＝２＋ x B．y＝x２＋２ C．y＝x＋１x D．y＝|x|＋１ ９．已知函数f(x)＝x３(a􀅰２x－２－x)是偶函数, 则a＝　　　　． １０．若函数f(x)＝x２－(２a－１)x＋a＋１是(１,２) 上的单调函数,则实数a的取值范围为 　． １１．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在 (－∞,０)上是增函数,若f(－３)＝０,则f(３) ＝　　　　,f (x) x ＜０ 的解集为　　　　． １２．已知∀x∈R,都有f(－x)＋f(x)＝０,且 当x＞０时,f(x)＝４－x２． (１)求函数f(x)的解析式,并画出f(x)的 简图(不必列表); (２)求f(f(３))的值; (３)求xf(x)＞０的解集． １３．已 知 定 义 在(－１,１)上 的 奇 函 数 f(x) ＝ x １＋x２ ． (１)用定义证明f(x)在(－１,１)上是增 函数． (２)解不等式f(t－１)＋f(t)＜０． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１􀅰 １４．已知f(x)是定义在[－１,１]上的奇函数, 且f(１)＝１,若a,b∈[－１,１],a＋b≠０时, 有f(a)＋f(b) a＋b ＞０ 恒成立． (１)判断f(x)在[－１,１]上的单调性,并加 以证明． (２)若f(x)≤m２－２nm＋１对任意n∈ [－１,１]恒成立,求实数m 的取值范围． １．(２０２４􀅰天津卷,４)下列函数是偶函数的是 (　　) A．f(x)＝e x－x２ x２＋１ B．f(x)＝cosx＋x ２ x２＋１ C．f(x)＝e x－x x＋１ D．f(x)＝sinx＋４xe|x| ２．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷,６)已知函数f(x)＝ －x２－２ax－a,x＜０ ex＋ln(x＋１),x≥０{ 在R上单调递增,则a 的取值范围是 (　　) A．(－∞,０] B．[－１,０] C．[－１,１] D．[０,＋∞) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１􀅰 快乐假期 c900= 8.AC[因为fx)= 1+x 1- ,所以f(-x=1+(- 1-(-x)2 =f(x) 2.解析：由题意知，f(3)=√5. 答案：v③ +() 2+1 假期作业六 函数的基本性质 f(r). -(】 2-1 技能提升台 技能提升 1.D2.D +(】 x2+1 3.D[由题意得.号>≥l,所以a的取值范国是[2，十o∞).门 =一f心x),故选A,C] 2-1 4.D 5.C[当x2<x1≤0时，[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒 9.[2,11]10,2x-号或-2x+11.21或3 成立，则函数f(π)在（一∞，0]上单调递减，而-3<一2< -1,因此f(-3)>f(-2)>f(-1). 12.解：1)由题意得（受） 文函数f(x)为偶函数，所以f(3)=f(一3)，因此f(3)> f(一2)>f(-1),所以c>a>b.] 6.C[令F(x)=f(x)+f(-x),则F(-x)=f(-x)+f(x) =F(x),且F(x)的定义战为R,故F(x)-f(x)+f(一x) =(+1）f(2)2×2+1=2. 为偶函数，则F(x)的图象关于y轴对称，则F(x)不可能 (2)当0<a<2时，由f(a)=2a+1=4, 在R上单调，故A,B错误：令H(x)=f(x)一f(一x),则 H(一x)=f(一)一f(x)=一H(x),且H(x)的定义域 得a= 为R,故H(x)是奇函数，因为f(:x)是定义在R上的增函 当a≥2时，由f(a)=a2-1=4,得a=5或 数，所以由复合函数单调性可知，f(一x)在R上是减函 数，故H(x)=∫(x)-f(一x)在R上是增函数，故C正 a=-5(含去).综上所迷a=2或a=5, 确D错误.] 13.解：(1)设1=元+1，则x=(1-1)(1≥1)， 7.AB 代入原式，有f(1)=(1-1)十2(1-1) 8.BD[y=2十√匠的定义城是[0，十o),故函数为非奇非 =2-21+1+21-2=t2-1,所以f(x)=x2-1(x≥1). 偶函数，故A错误：y=x2十2的定义战为R,其图象的对 (2)因为f(x)是一次函数，可设f(x)一ar十b(a≠0)， 称轴为直线x=0,故函数是偶函数且在区间(0，十∞)上 所以3[a(x十1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17. 即r十(5u+月=2x+17,因此应有=2， 单调递增，故B正确：个)=+子x≠0，则/（一） {5a+bh=17, 解得{公会故)的解折式是)=2+7. 数，故C错误：令g(x)=x+1x∈R,则g(-x)=|一x+ (3)因为2x)+/(）3 0 1=x十1=g(x),则y=x|十1为偶函数，当x>0时， y=x+1=x+1单调递增，故D正确.] 所以起用换，得2（白）十)= 3 ② .110.u≥号或a≤号 由①②解得f(.x)=2.x 1(x≠0)， 1L.0(-3,0)U(3,+∞) 12.解：(1)因为Vx∈R,f(-x)+f(.x)=0: 即f(x)的解析式是f代x)=2-1(x≠0). 令x=0,可得f(0)=0. 14.解：(1)因为每件产品售价为5元，则x万件商品销售收 设x<0,则-x>0,f(-x)=4-（-x)2=4-x2, 入为5x万元，依题意得，当0<x<8时， 又f(-x)=-f(x). L)=5x-(2+3=-子2+4r-3, 所以f(x)=-f(-x)=x2-4, 4-x2,x>0, 当≥8时，a)=5r一(6+lg9-38）-3 所以f(x) 0,x=0, x2-4x<0, =35-（x+100) 故函数f(x)的简图如图所示。 卡y 3r2+4-3.0r<8 所以L(x) 35-(x+100) x≥8. (2)当0<r<8时y=-号(x-62+9≤9 因此当x=6时，y取得最大值9： 4-3-210 12345 1 当≥8时y=35-(+l1）飞35-2…0=15. x 当且仅当工=100，即工=10时y取得最大值15. 因为15>9，所以年产量为10万件时，小王在这一商品 的生产销售中所获利润最大，最大利润是15万元， (2)因为f(3)=4-32=4-9=-5 高考冲浪 所以f(f(3)=f(-5)=-f(5)=-(4-52)=21. 1.C[由f)=1+,可得f-)1+2 （8)由题得>0即为90文0由图 2+所以得f-)+)--1.] 2 可知0<x<2或-2<x<0, 2r+1 故xf(.x)>0的解集为(-2,0)U(0,2). ·44· 三0022 高一数类 13.(1)证明：任取x1x2∈(-1,1)，且x1<x2, 假期作业七 幂函数 则f(.x1)-f(x2)= 1+x1+x 与函数的应用（一） x(1+x3)一x2(1十x)_(1一x2)(1一x1x2) 技能提升台技能提升 1.D2.B3.D4.C (1十x1)(1十x5) (1+x)(1+x) 因为-1<x1<x2<1, 5.A[由题意，h=-3.6t2+28.8t =-3.6(1-4)2+57.6, 所以x1-x2<0,1-x1x2>0,(1十x)(1十x号)>0， 则当1=4时，妇花达到最高点，即爆裂的时刻是第4秒，] 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(.x1)<f(x2). 6.C[因为()-=[（元）2]-于=x子， 所以函数f(x)在（一1,1）上是增函数. (2)解：由函数「(x)是定义在（一1,1）上的奇函数且 3=(√5)- f(t-1)+ft)<0,得f(t-1)<-ft)=f(-t). 又y=x音在(0，十∞)上单调递减，x>2>√， 又由(1)可知函数f(x)在（一1,1）上是增函数， 所以元<2<(3)， -11-1<1, 所以3>2手>()-寺.] 所以有-1<-<1,0<1K2 1 7.BD (t-1<-t, 8.BC[根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线 所以不等式的解集是{0<1<号} 向上平移说明当乘客量为0时，收入是0，但是支出变少 了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确：由 14.解：(1)f(.x)在[-1,1]上单调递增.证明如下： 图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜 任取x1x2∈[-1,1，且x1<x2,则-2∈[-1,1]. 角变大，即乘客量相同时收入变大，票价提高了，说明此建议 又因为f(x)是奇函数， 是提高票价而保持成本不变，故C正确.门 所以f(x1)-f(x2)=f(x1)十f(-x2) 9.[20,45]10.19060500 11.②③ =f八x)十f-x2) x1十(-x2) ·(x1一x2) 12.解：：f(x)是偏函数，.一2m2+m+3应为偶数. 又：f(3)<f(5),∴.f(x)在(0，十∞)上为增函数. 由已知得)+二>0,1-<0， x1+(-x2） 六-2m2+m十3>0，解得-1<m<号 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 又“，m∈Z,.m=0或1. 所以f(.x)在[一1,1门上单调递增. 当m=0时，-2m2+m十3=3为奇数（舍去）： (2)因为f1)=1,且f(x)在[一1,1]上单调递增，所以 当m=1时，-2m2+m十3=2为偶数. 在[-1.1]上f(x)≤1. 故m的值为1，，f(x)=x2. 问题转化为m2一2m十1≥1，即m2一2nm≥0对任意 13.解：(1)由题意知m2-5m+7=1,解得m=2或m=3. n∈[-1,1门恒成立. 又因为f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数， 设g(n)=一2m十m2,则 从而m=2. ①若m=0,则g(n)=0≥0对n∈[一1,1]位成立： (2)由(1)知f(x)=x2,则g(x)=f(x)-2√Tx) ②若m≠0，则g()为关于1的一次函数，若g(n)≥0对 =x2-2√x2=x2-2lx. nE[-1,1门恒成立，则必须有)≥0·解得m<-2 当x≥0时，g(x)=x2-2x=x2-2x 1g(1)≥0， 因为y=x2一2x图象的对称轴为直线x=1, 或m≥2.综上所述，实数m的取值范国为(-∞，一2]U 所以g(x)在[0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增： [2,+∞)U{0}. 当x<0时，g(x)=x2-2x=x2+2.x, 高考冲浪 因为y=x2十2x图象的对称轴为直线x=一1， 1B[对A,设代)=千画数定义钱为K,但-D 所以g(x)在（一∞，一1）上单调递减，在(-1,0)上单调 递增. =e1-1 )=号，则f(-D≠D,故A错误：对 因此，g(x)的单调递增区间为（一1,0），(1，十∞). 2 14.解：(1)设每个零件的实际出厂价格为51元时，一次订 B,f(x)=o+x,函数定义城为R,且f(-c) 购量为0个，则0=10+60一51=550（个），因此.当 0.02 x十1 一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降 cos(-r)+(-r)2cos z+a2 x2+1=f八x),则f(x)为偶画 为51元. (-x)2+1 (2)当0<x≤100时，P=60: 数，故B正确：对C,fx)=+,函数定义城为x工力 当100x≤550时，P=60一0.02(.x-100) 一1，不关于原点对称，则∫(x)不是偶函数，故C错误： =62-前：当>550时，P=51. 对D,(x)=sin十4虹，函数定义城为R.国为f(-x)= 60,0x100, .P=f(x)= sin(-x+4(-r2=-sinx+4红=-f(x),剩f(x)为奇 62- 0100<≤50.u∈N0 e-r e 51,x>550 函数，f(x)不是偶函数，故D错误.] (3》设销售商一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元， 2.B[由题意知f(x)在R上单调递增，令h(x)=一x2 f20r,0x100, 2a.x一a,则h(x)的对称轴必大于等于0，否则与题意不 则L=(P一40).x= 22x-50100<x≤550.x∈0. 符，即一4≥0→a≤0，排除C、D项；又因为当x=0时， 11x,.x550 f(x)=1,所以当x=0时，h(x)≤1→-x2-2a.x-a≤1， 当=500时，L=6000:当x=1000时，L=11000.因此，当 代入x=0,得-a≤1→a≥-1，所以-1≤a≤0，故a的取 销售商一次订购500个零件时，该工厂获得的利润是6000 值范围是[一1,0].] 元：如果订购1000个，利润是11000元 ·45·