假期作业五 函数的概念及其表示-【快乐假期】2024-2025学年高一数学寒假作业

假期作业五　函数的概念及表示　　 １．函数的概念 给定两个　　　　集A 与B,以及对应关系 f,如果对于集合A 中的　　　　实数x,在 集合B 中都有　　　　的实数y 与x 对 应,则称f为定义在集合A 上的一个函数． ２．函数的有关概念 (１)函数的定义域、值域． 在函数y＝f(x),x∈A 中,x叫做自变量, x的取值范围A 叫做函数的　　　　;与 x的值相对应的y 值叫做函数值,函数值 的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的　　　　． 显然,值域是集合B的子集． (２)函数的三要素:　　　、　　　和　　　　． (３)相等函数:如果两个函数的　　　　和　　 　　完全一致,则这两个函数相等,这是判 断两个函数相等的依据． (４)函数的表示法． 表示函数的常用方法:　　　　、　　　、 　　　． ３．分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同 取值区间,有着不同的　　　　,这样的函 数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部 分组成,但它表示的是一个函数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．非空实数　每一个　唯一确定 ２．(１)定义域　值域　(２)定义域　值域　对 应关系　(３)定义域　对应关系　(４)解析 法　列表法　图象法 ３．对应关系 求函数解析式的五种常用方法 (１)待定系数法:已知函数f(x)的函数类型,求 f(x)的解析式时,可根据类型设出其解析 式,确定其系数即可． (２)换元法:已知 f(g(x))的定义域,要求 f(x)时,可令t＝g(x),再求出f(t)的解析 式,然后用x代替所有的t即可． (３)配凑法:已知 f(g(x))的解析式,要求 f(x)时,可从f(g(x))的解析式中拼凑出 “g(x)”,即用g(x)来表示,再将解析式两 边的g(x)用x代替即可． (４)代入法:已知y＝f(x)的解析式求y＝ f(g(x))的解析式时,可直接用新自变量 g(x)替换y＝f(x)中的x． (５)方程组法:当同一个对应关系中的两个自 变量互为相反数或互为倒数关系时,可构 造方程组求解． １．设f(x)＝ x,０＜x＜１, ２(x－１),x≥１．{ 若f(a)＝f(a＋１), 则f １a æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．２　　　　　　　　B．４ C．６ D．８ ２．若函数f(x)的定义域是[０,２],则函数 g(x)＝f (２x) x－１ 的定义域是 (　　) A．[０,２] B．(１,２] C．[０,１) D．以上都不对 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２１􀅰 ３．下列表示函数图象的是 (　　) ４．若二次函数g(x)满足g(１)＝１,g(－１)＝５,且 图象过原点,则g(x)的解析式为 (　　) A．g(x)＝２x２－３x B．g(x)＝３x２－２x C．g(x)＝３x２＋２x D．g(x)＝－３x２－２x ５．如图中的文物叫做“垂 鳞纹圆壸”,是甘肃礼 县出土的先秦时期的 青铜器皿,科研人员为 了测量其容积,以恒定 的流速向其内注水,恰好用时３０s注满,设 注水过程中,壶中水面高度为h(单位:cm), 注水时间为t(单位:s),则下列选项中最符 合h关于t的函数图象的是 (　　) ６．“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过 x的最大整数,则y＝[x]称为高斯函数,例 如:[－２．１]＝－３,[３．１]＝３．已知函数 f(x)＝ (x＋１)２ x２＋１ －１２ ,则函数y＝[f(x)]的 值域是 (　　) A．{０,１} B．{０,１,２} C．{－１,０,１} D．{－１,０,１,２} ７．(多选)若函数y＝x２－４x－４的定义域为 [０,m],值域为[－８,－４],则实数m 的值可 能是 (　　) A．２　　　B．３　　　C．４　　　D．５ ８．(多选)设f(x)＝１＋x ２ １－x２ ,则下列结论错误 的有 (　　) A．f(－x)＝－f(x) B．f １x æ è ç ö ø ÷＝－f(x) C．f －１x æ è ç ö ø ÷＝f(x) D．f(－x)＝f(x) ９．函数f(x)＝x２＋２(x∈[－１,３])的值域是 　　　　． １０．若f(x)是一次函数,且f(f(x))＝４x－１, 则f(x)＝　　　　． １１．已知函数f(x),g(x)分别由下表给出: x １ ２ ３ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 f(x) １ ３ １ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 x １ ２ ３ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 g(x) ３ ２ １ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 则满足f(g(x))＞g(f(x))的x 的值是 　　　,f(g(x))＜g(f(x))的x 的值是 　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３１􀅰 １２．已知f(x)＝ f(x＋１),－２＜x＜０, ２x＋１,０≤x＜２, x２－１,x≥２． ì î í ï ï ï ï (１)求f －３２ æ è ç ö ø ÷的值． (２)若f(a)＝４且a＞０,求实数a的值． １３．(１)已知f(x＋１)＝x＋２ x,求函数 f(x)的解析式． (２)已知f(x)是一次函数,且满足３f(x＋１) －２f(x－１)＝２x＋１７,求f(x)的解析式． (３)已知f(x)满足２f(x)＋f １x æ è ç ö ø ÷＝３x,求 f(x)的解析式． １４．小王大学毕业后,决定利用所学专业进行 自主创业．经过市场调查,小王公司生产某 小型电子产品需投入年固定成本为３万 元,生产量为x(单位:万件)时,需另投入 流动成本为W(x)(单位:万元)．在年产量 不足８万件时,W(x)＝１３x ２＋x;在年产量 不小于８万件时,W (x)＝６x＋１００x －３８ , 每件产品售价为５元．通过市场分析,小王 生产的商品当年能全部售完． (１)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年 产量x的函数解析式．(注:年利润＝年销 售收入－固定成本－流动成本) (２)年产量为多少万件时,小王在这一商品 的生产销售中所获利润最大? 最大利润是 多少? １．(２０２２􀅰北京卷,４)已知函数f(x)＝ １１＋２x , 则对任意实数x,有 (　　) A．f(－x)＋f(x)＝０ B．f(－x)－f(x)＝０ C．f(－x)＋f(x)＝１ D．f(－x)－f(x)＝１３ ２．(２０２４􀅰 上 海 卷,２)已 知 函 数 f(x)＝ x,x＞０ １,x≤０{ ,则f(３)＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１􀅰 三022 = [510-+80] +75≤-2√/1250+75 14.解：若不等式mx2-2x-m十1<0恒成立， 即盛数f(x)=m.x2一2x一m十1的图象全部在x轴 =75-50w2, 下方. 当且仅当5(10-x)=0-x 250 当m=0时，1一2红<0，则>之，不满足题意： 即x=10一52∈(0,5)时，等号成立， 当m≠0时，函数f(x)=m.x2一2.x一m十1为二次函数， 所以△ADP面积的最大值为75-50√2 霄满足开口向下且方程m2一2x一m+1=0无解， 高考冲浪 1.C[当x<一a时x十a<0,当x>-a时x十a>0,当x 即/m≤0， 1△=4-4m(1-m)<0. <1-b时ln(x十b)0, 不等式组的解集为空集，即m不存在. 当x>1一b时1ln(x十b)>0,所以要f(x)恒非负，必须-a 综上可知不存在这样的m. =1-b,即b-a=1, 所以a2+62=（a-b)2+(a+b)21 高考冲浪 1.C[由题意可知A的最小值为3，B中等号的成立条件 2 2 不成立，D无最小值，] 当a=-1 6=号时取等.] 2.解析：将不等式分解因式得(x一3)(x十1)<0，解得一1< 2.解析：x-2<1→-1<x-2<1→1<.x<3. x3. 答案：(1,3) 答案：(-1,3) 假期作业四二次函数 假期作业五 函数的概念及表示 与一元二次方程、不等式 技能提升台技能提升 技能提升台技能提升 1.C2. 1.C2.A3.C4.B 3.C[根据函数的定义选C.] 5.C[依题意，每天有(300一10.x)套礼服被租出，该礼服租 4.B[设g(x)=a.x2+bx+c(a≠0)，图为g(1)=1, 绩公司每天租绩礼服的收入为(300一10.x)·(200十10x) g(-1)=5,且图象过原点， =-100.x2+1000.x+60000(元). a+b+c=1, a=3, 因为要使该礼服租绩公司每天租赁礼服的收入超过6.24 所以{a-b+c=5,解得b=一2， 万元， c=0, c=0, 所以-100.x2+1000.x+60000>62400. 所以g(x)=3x2-2.x.] 即x2-10.x十24<0，解得4<x<6. 5.A[圃壶的结构是底端与上端细、中间粗，所以在注水水 因为1≤x≤20且x∈Z,所以x=5, 流速度恒定的情况下，开始时水的高度增加的快，中间增 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元.] 加的慢，最后水的高度增加的速度又变快，由图可知选项 6.C[不等式x2-(a+1)x+a<0,可化为(x-a)(r-1) A符合题意，] <0. 当a=1时，不等式x2-(a+1)x十a<0的解集为空集， 6.C[里格0)=之当x≠0时)=- x2+12 不符合题意； 当a>1时，不等式x2-(a十1)：x十a<0的解集为{x|1< -2x+1)2=（2+1D-2+4红+1-号+2 2(.x2+1） 2(x2+1)2 1 x<a}, x+ 要使不等式x2一(a十1)x十a<0恰有四个整数解，则5< a≤6： 当a<1时，不等式x2一(a十1)x十a<0的解集为{xa< 令1=当0时1=+≥2 当且仅当工=1时等号成立， x<1}, 要使不等式：x2-(a+1)x+a<0恰有四个整数解，则一4 0<<日号+2x-： ≤d<-3. 综上可得，实数a的取值范围是{a|-4≤a<一3或5<a 6}. 当x<0时4=+长-20(）-2 7.ACD 8.ACD 当且仅当x=一1时等号成立， 9.③⑤1 11.-2-3 12解：原不等式可化为{亿8-3≥0或一2=0，解得 蜂上所连)的值城为[一司，受]，所以，旅据高斯函 ≥3或x≤1或x=2. 数的定义，函数y=[f(.x)门的值战是{一1,0,1}.] 所以原不等式的解集为{xx3或≤1或x=2. 7.ABC[函数y=x2-4x一4的图象如图，f(0)=f(4)= 13.解：原不等式可化为(x-a)(x一a2)>0. 一4，f(2)=一8.因为函数y=x2一4x一4的定义城为 当a<0时，a<a2,解集为{xx<a或x>a2}: [0,m],值城为[一8，一4]，所以实数m的取值范围 当a=0时，a2=a,解集为{x1x≠0}： 是[2,4].] 当0<a<1时，a2<a,解集为{xx<a2或x>a}: 当a=1时，a2=a,解集为{.xx≠1}： -4x-4 当a>1时，a<a2,解集为{xx<a或x>a2}. 综上所述，当a<0,或a>1时， 解集为{xx<a或x>a2}； 当0<a<1时，解集为{xx<a2或x>a}: 当a=0时，解集为{xx≠0： 当a=1时，解集为{xr≠1}. ·43· 快乐假期 c900= 8.AC[因为fx)= 1+x 1- ,所以f(-x=1+(- 1-(-x)2 =f(x) 2.解析：由题意知，f(3)=√5. 答案：v③ +() 2+1 假期作业六 函数的基本性质 f(r). -(】 2-1 技能提升台 技能提升 1.D2.D +(】 x2+1 3.D[由题意得.号>≥l,所以a的取值范国是[2，十o∞).门 =一f心x),故选A,C] 2-1 4.D 5.C[当x2<x1≤0时，[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒 9.[2,11]10,2x-号或-2x+11.21或3 成立，则函数f(π)在（一∞，0]上单调递减，而-3<一2< -1,因此f(-3)>f(-2)>f(-1). 12.解：1)由题意得（受） 文函数f(x)为偶函数，所以f(3)=f(一3)，因此f(3)> f(一2)>f(-1),所以c>a>b.] 6.C[令F(x)=f(x)+f(-x),则F(-x)=f(-x)+f(x) =F(x),且F(x)的定义战为R,故F(x)-f(x)+f(一x) =(+1）f(2)2×2+1=2. 为偶函数，则F(x)的图象关于y轴对称，则F(x)不可能 (2)当0<a<2时，由f(a)=2a+1=4, 在R上单调，故A,B错误：令H(x)=f(x)一f(一x),则 H(一x)=f(一)一f(x)=一H(x),且H(x)的定义域 得a= 为R,故H(x)是奇函数，因为f(:x)是定义在R上的增函 当a≥2时，由f(a)=a2-1=4,得a=5或 数，所以由复合函数单调性可知，f(一x)在R上是减函 数，故H(x)=∫(x)-f(一x)在R上是增函数，故C正 a=-5(含去).综上所迷a=2或a=5, 确D错误.] 13.解：(1)设1=元+1，则x=(1-1)(1≥1)， 7.AB 代入原式，有f(1)=(1-1)十2(1-1) 8.BD[y=2十√匠的定义城是[0，十o),故函数为非奇非 =2-21+1+21-2=t2-1,所以f(x)=x2-1(x≥1). 偶函数，故A错误：y=x2十2的定义战为R,其图象的对 (2)因为f(x)是一次函数，可设f(x)一ar十b(a≠0)， 称轴为直线x=0,故函数是偶函数且在区间(0，十∞)上 所以3[a(x十1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17. 即r十(5u+月=2x+17,因此应有=2， 单调递增，故B正确：个)=+子x≠0，则/（一） {5a+bh=17, 解得{公会故)的解折式是)=2+7. 数，故C错误：令g(x)=x+1x∈R,则g(-x)=|一x+ (3)因为2x)+/(）3 0 1=x十1=g(x),则y=x|十1为偶函数，当x>0时， y=x+1=x+1单调递增，故D正确.] 所以起用换，得2（白）十)= 3 ② .110.u≥号或a≤号 由①②解得f(.x)=2.x 1(x≠0)， 1L.0(-3,0)U(3,+∞) 12.解：(1)因为Vx∈R,f(-x)+f(.x)=0: 即f(x)的解析式是f代x)=2-1(x≠0). 令x=0,可得f(0)=0. 14.解：(1)因为每件产品售价为5元，则x万件商品销售收 设x<0,则-x>0,f(-x)=4-（-x)2=4-x2, 入为5x万元，依题意得，当0<x<8时， 又f(-x)=-f(x). L)=5x-(2+3=-子2+4r-3, 所以f(x)=-f(-x)=x2-4, 4-x2,x>0, 当≥8时，a)=5r一(6+lg9-38）-3 所以f(x) 0,x=0, x2-4x<0, =35-（x+100) 故函数f(x)的简图如图所示。 卡y 3r2+4-3.0r<8 所以L(x) 35-(x+100) x≥8. (2)当0<r<8时y=-号(x-62+9≤9 因此当x=6时，y取得最大值9： 4-3-210 12345 1 当≥8时y=35-(+l1）飞35-2…0=15. x 当且仅当工=100，即工=10时y取得最大值15. 因为15>9，所以年产量为10万件时，小王在这一商品 的生产销售中所获利润最大，最大利润是15万元， (2)因为f(3)=4-32=4-9=-5 高考冲浪 所以f(f(3)=f(-5)=-f(5)=-(4-52)=21. 1.C[由f)=1+,可得f-)1+2 （8)由题得>0即为90文0由图 2+所以得f-)+)--1.] 2 可知0<x<2或-2<x<0, 2r+1 故xf(.x)>0的解集为(-2,0)U(0,2). ·44·