辽宁省东北育学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

东北育才高中2024—2025学年度上学期 高二年级数学科期中考试试卷 答题时间：120分钟 满分：150 命题人：来洪臣 校对人：魏春新 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（ ） A. B. ，，两两垂直 C. D. 2. 已知直线：，直线：，则命题：是命题：的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知双曲线的离心率为，则的值为（ ） A. 18 B. C. 27 D. 4. 若方程表示圆，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的两焦点分别为为椭圆上一点且，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 在平面直角坐标系中，已知向量与关于轴对称，若向量满足，记的轨迹为，则（ ） A. 是一条垂直于轴的直线 B. 是两条平行直线 C. 是一个半径为1的圆 D. 是椭圆 7. “十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图①是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”有两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图②所示的空间直角坐标系，则（ ） A. B. 点的坐标为 C. ，，，四点共面 D. 直线与直线所成角的余弦值为 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若空间向量，，则在上的投影向量为 B. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 10. 已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（ ） A. 若，则的面积为 B. 使为直角三角形点有6个 C. 的最大值为 D. 若，则的最大、最小值分别为和 11. 四叶草又称“幸运草”，有一种说法是：第一片叶子代表希望､第二片叶子表示信心､第三片叶子表示爱情､第四片叶子表示幸运.在平面直角坐标系中，“四叶草形”曲线的方程为，则下列关于曲线的描述正确的有（ ） A. 其图象是中心对称图形 B. 其图象只有2条对称轴 C. 其图象绕坐标原点旋转可以重合 D. 其图象上任意两点的距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，点，若平面ABC，则点P的坐标为______． 13. 已知直线与圆相交于两点，当的面积取得最大值时，直线的斜率为，则______. 14. 已知椭圆，过椭圆右焦点F作互相垂直两条弦，，则的最小值为_______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程； （3）求边上的中线所在的直线方程. 16. 已知以点为圆心的圆与直线相切. （1）求圆的方程; （2）过点的直线与圆相交与两点， 当时，求直线方程； （3）已知实数满足圆的方程，求的最小值. 17. 如图，在三棱柱中，，，，，点是中点，平面. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 18. 设常数且，椭圆：，点是上的动点． （1）若点的坐标为，求的焦点坐标； （2）设，若定点的坐标为，求的最大值与最小值； （3）设，若上另一动点满足（为坐标原点），求证：到直线PQ的距离是定值． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为，． （1）当时， ①求证：； ②求平面和平面所成角的余弦值； （2）是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 东北育才高中2024—2025学年度上学期 高二年级数学科期中考试试卷 答题时间：120分钟 满分：150 命题人：来洪臣 校对人：魏春新 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）. 【16题答案】 【答案】（1） （2）或 （3） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【18题答案】 【答案】（1）； （2）最大值为5，最小值为； （3）详见解析. 【19题答案】 【答案】（1）①证明过程见解析；② （2），理由见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$