北京市铁路第二中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

北京市铁路第二中学2024-2025学年第一学期 高三数学期中考试试卷 2024.11 (试卷满分150分 考试时长120分钟) 一、选择题(共10个题,每题4分,计40分) 1. 设全集U=R,集合A=(xx<2),B=(x{x<1),则集合(C.A)UB=( A. (-co,2) B. [2,+) C. (1,2) D(-o,1) U[2,+o) 2. 函数f)--是( A.奇函数,且值域为(0,+co) B. 奇函数,且值域为R C. 偶函数,且值域为(0,+o) D. 偶函数,且值域为R 3.已知三条不同的直线l,m.n和两个不同的平面②,B,下列四个命题中正确的为 _ A. 若mlla,n/lg,则mlln B. 若l/lm,mca,则l/la C. 若l//g,1/B.则all{ D.若/a,11B,则a1B _ A. 函数(n)的图象关于(0)中心对称 B. 函数f(x)的图象关于直线x--匹对称 8 C. 函数f(x)在区间(一z,)内有4个零点 5.已知x<-1,那么在下列不等式中,不成立的是( _ A.x2-10 B.x+1<-2 C. sinx-x>0 D. cosx+x>0 6.设向量满足==1,=,则+(R)的最小值为( _ _ 7. 已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1){}+y2-5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=( A.-2 B.1C.2D. 8. 设fa.为等比数列,则“对于任意的meN’,a>a.”是“(a.)为递增数列”的( _. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9.中国茶文化博大精深.茶水口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85C的 水泡制,再等到茶水温度降至60C时饮用,可以产生最佳口感.已知室内的温度为25C,设 茶水温度从85C开始,经过x分钟后的温度为yC.y与x的函数关系式近似表示为 y=60x0.923{+25,那么在25C室温下,由此估计,刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才 能达到最佳口感( )(参考数据:ln0.923~-0.08,ln12-ln7~0.54) A.8 B.7 C.6. D.5 10.如图,在校长为1的正方体ABCD-4.B.CD中,点P是对角线AC.上的动点(点P与 A,C.不重合).则下面结论中错误的是( A. 存在点P,使得平面A.DP/平面B.CD B. 存在点P,使得AC1平面A.DP C. S.S分别是△A.DP在平面A.BC.D,平面BB.CC上 的正投影图形的面积,对任意点P,S.S 二.填空题(共6个题,每题4分,计24分) 11.设aeR,若直线l:ax+2y-8-0与直线l:x+(a+1)y+4-0平行,则实数a的值 为. 13. 在等差数列(an)中,若a+a=16,as=1,则a=_-;使得数列(an)前n项的和S.取到 最大值的n-___. 14.在长方形ABCD中,|AB]=1,BE=-BC,且AB·AE=AD·AE,则|AD]- AE.AC-__ C_au 其中C。表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量(单位:ind./L),C.表示经口罩过滤 后,单位体积气体中含有的颗粒物数量(单位:ind./L).某研究小组在相同的条件下,对两 种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试,测试结果如图所示,图中点A的横 坐标表示第i种口掣第/次测试时C.的值,纵坐标表示第i种口罩第/次测试时C。的值 (1-1,2,/-1,2,3,4). C(nd/L) Cind/L) (第15题图) 该研究小组得到以下结论 ①在第1种口罩的4次测试中,第4次测试时的颗粒物过滤效最高; ②在第2种口罩的4次测试中,第3次测试时的颗粒物过滤效率最高; ③在每次测试中,第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高; 3 ④在第3次和第4次测试中,第1种口的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过 滤效率低. 其中,所有正确结论的序号是 设函数f(x)- [a(x+1),x<0, 16. 2-。+2^-→,x>0. 给出下列四个结论; ①对Va>0,teR,使得f(x)-t无解; ②对Vt>0,习aeR,使得f(x)-t有两解 ③当a<0时,Vt>0,使得f(x)=t有解; ④当a>2时,习teR,使得f(x)=t有三解 其中,所有正确结论的序号是__ 三.解答题(共6个大题,共计86分) 17.(本小题满分13分). 在△ABC中,c-2,C=30*.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为 已知,使其能够确定唯一的三角形,求: (I)a的值;(II)△ABC的面积. 条件①:2b-3a;条件:A-45o;条件③:b-23. 注:如果选择的条件不符合要求,得0分:.如果选择多个符合要求的条件分别解答,按 第一个解答计分. _ 18.(本小题满分14分) 如图,在三校锥V-ABC中,平面VAC1平面ABC, △ABC和△VAC均是等腰直角三角形,AB=BC. AC=CV-2,M,N分别为VA,VB的中点 (1)求证:AB//平面CMN: (II)求证:AB1VC B (III)求直线VB与平面CMN所成角的正弦值 19.(本小题满分14分) 近年来,随着5G网络、人工智能等技术的发展,无人驾驶技术也日趋成熟.为了尽快 在实际生活中应用无人驾驶技术,国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路 安全行驶测试,某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车,按照每辆车的行驶 里程(单位:万公里)将这些汽车分为4组:[5.6),16.7),[7,8),[8,9]并整理得到如下的频 率分布直方图: 举 距 a-......---. 6-里程(乃公里) (I)求a的值; (II)该机构用分层抽样的方法,从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本,从 样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆,其中有X辆汽车行 驶里程不小于8万公里,求X的分布列和数学期望; (II)设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为,若用分层抽样的方法从 上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本,其行驶里程的平均数为:若用简 单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本,其行驶里程的平均 数为,有同学认为一-, ,你认为正确吗?说明理由. 5 20.(本小题满分15分) 已知函数f(x)-e*-ax.(aeR) (I)求函数f(x)的单调区间; (II)若a-3,f(x)的图象与y轴交于点A,求y=f(x)在点A处的切线方程; (III) 在(II)的条件下,证明:当x>0时,f(x)>x2-3x+1恒成立 21.(本小题满分15分) 己知函数f(x)=2sinx-xcosx-ax(aeR). (I)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为1. (1)求a的值; (ì)证明:函数/(x)在区间(0,x)内有唯一极慎点; (II)当a<1时,证明:对任意xE(0,n),f(x)>0. 22.(本小题满分15分) 已知数列{a.)是由正整数组成的无穷数列.若存在常数keN,使得a.+。三ka.对 任意的neN成立,则称数列(a.)具有性质P(). (I)分别判断下列数列fa.)是否具有性质(2);(直接写出结论) ①=1; ②a-2”. (II)若数列{a.)满足an.=a.(n=1,2.3..),求证:“数列{)具有性质r(2)”是“数列{a 为常数列”的充分必要条件; (III)已知数列(a.)中a,=1,且a>a.(n=1,2,3..).若数列{a)具有性质r(4),求数列 .(a.的通项公式 ,_。